Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 67
Текст из файла (страница 67)
В письме от 24 августа Паскаль высказал сомнение в том, что метод Ферма можно распространить на число игроков, большее двух. Олнако Ферма показал, что теми же рассуждениями можно решить задачу о разделеиия ставки и цля случая трех игроков. Это решение им было использовано в задаче о грех игроках, когда до окончания игры изреку А недостает линой выигранной партии, а шрокам В и С вЂ” по две. Это решение вновь сопровождается таблицей, смысл которой пояснять уже нет необходимости: Таблица 21 А А А А А А .4 А А В В В С С С В С А В В В С С С С С В А А А В В В С С С А А А А А А С В В В В С В С С С В С А В С А В С А В С А В С А В С А Л В А С В В С А В С С А А А А А А А А А А А А Л А А А А В В В В В С С С С С В своем письме Паскаль отмстил, что Роберваль 11604 1675) спросил его зачем рассматривать црололженне изры до четырех партий в тех случаях, когда уже испо какой нз и~роков выигрывает игру'! Паскаль явно понимал, что это необходимо цля сохранения равновозможности всех перечисляемых случаев.
Так в первых четыре~ исходах первой таблицы игрок А выигрывает всю нзру уже цослс двух партий. Точно также в первых девяти исходах второй таблипы игрок А выигрывает игру после первой партии. Тем не менее Ферма доводит таблицу до конца и рассматривает все возможные случаи исхода четырех партий. Этим самым Паскаль и Ферма избежали ошибки, которую допустил в следующем столетии Даламбер, когда подсчитывал число равновероятных случаев при бросании двух монет. При рассмотрении второй таблицы Паскаль допустил неточность в рассуждениях. А именно он считал, что из 27 возможных исходов бесспорно благоприятствуют игроку А лишь 13, а исходы 5, 11, 19 столбцов, также как 9, 15 и 24 благоприятствуют сразу.
и игроку А и угроку В !как А, так и С), поэтому их следует брать с половинным весом. В результате Паскаль прешзмач целить ставку в отноцюнии 16:5, 5:6, 5. Ошибка Паскаля нам теперь очевидна. Паскаль одноврсыенно с размышлениями иад проблемами, составившими содер. жанне его переписки с Ферма, разрабатывал вопросы комбинаторики. Результатом этого явился "Трактат об арифметическом треугольнике", опубликованный в 1665 г, и внесший серьезный вклад в развитие комбинаторики. В этом трактате имеется параграф, в котором изложены правила использования комбинаторных результатов в задаче о разделе ставки.
Правило. предложенное Паскалем, состоит в следующем: пусть игроку до выигрыша всей игры не хватает т партий, а игроку  — л партий, тогда ставка должна делиться между игроками в таком отношении. л — 1 т — 1 Е С): 2 Сз 1 — П з — 0 й 5. Работа Х, Гюйгенса 397 5 5. Работа Х. Гюйгенса Несомненно, что на развитие теории вероятностей значительное влияние оказала работа Х.
Гюйгенса (1629 — 1695) Интерес Гюйгенса к этим вопросам был вызвав его поездкой в Париж в 1655 г.. где он познакомился с рядом видных ученых н услыщал от них сведения относительно задач о раздоле ставки в азартных играх, которые разрабатывю>ись Паскалем и Ферма. Повидимому, ему стали известны и идеи, которыми они руководствовались при решении. Задачи !"юйгенса заинтересовали и он самостоятельно занялся размышлениями нан подобными же вопросами. Поскольку, как он позднее писал в трактате кО расчетах в азаргнЫх играх", нл Паскаль, ни Ферма не опубликовали разработанных ими методов, ему пришлось самому искать пути решения. Результатом явилась работа Гюйгенса, опубликованная в 1656 г. в виде дополнения к книге его учителя Ф. ван Схоутена "Математические этюды".
Схоутсн настолько высоко оценил эту работу Гюйгенса, что сам перевел ее на латинский язык. Работа Гюйгенса состоит из небольшого ввепения и 14 предложений Эти предложения весьма различны по своему содержанию. Первые трн являются теми принципами, на основе которых Гюйгенс основывал послецующие решения. Предложения 4 — 9 посвящены решению задач. связанных с безобидным делением ставки. Предложения 1Π— 14 содержат различные задачи, связанные с бросанием костей.
В конце мемуара помещены 5 зацач без решений, которые Гюйгенс предложил читателям для самостоятельных размышлений, Их решения были им даны лишь в 1665 г. Несомненно, что первые три предложения составляют идейную основу всего сочинения Гюйгенса н поэтом> приведем их полностью. П р е дл о же ни е !. Если л имею равные шансы получить а или Ь, то ыо мие стоит (4 + Ь) /2. П р с д л о ж е н и е 2.
Если я имею равные шансы на получение а, Ь, илие, то это мне стоит столько же, как если бы я имел (а + Ь + с) /3. П р е д л о же н ив 3. Если число случаев, в которых получается сумма а, равно р, а число случаев, в которых получается сумма Ь, равно Ф то стоимость моего ожидания равна (ар + Ь4)/(р +4). Для нас ясно. что этими предложениями Гюйгенс ввел понятна математического ожидания для случайной величины.
принимающей днз или три значении. Есди использовать современные представления, то в первых двух предложениях значения, принимаемые случайными величинами, равновероятны, а в третьем предложении вероятность значения а равна р((р + 4) и вероятность значения Ь равна 4((р + 4). У Гюйгенса еше понятие вероятности не выделено, и он все время оперирует с числами шансов, благоприятствующих тому или другому событию. Гюйгенс предпочел, так сказать, коммерческую терминологию и говорил о стоимости, за которую он готов уступить свое право на получение выигрыша.
Термин "ожидание'* был введен в употребление учителем Гюйгенса — Схоутеном — при переводю Предложения ! и 2 представляют собой ничто иное как версию зацачи о разцеле ставки. Мы приведем текст Гюйгенса с тем. чтобы читатели убелились насколько близки его расс>ждения к рассуждениям Паскаля "Предположим, что я играю против другого липа на то, кто первым выиграет 3 партии. и что я уже выиграл 2 партии, а он — 1. я хочу знать какая часть ставки причитаетсл мне, когда мы хотим прервать и~ ру н справедливо разделить ставки . Н>жно заметить сначала, что достаточно принять во внимание число партий недостающих той и другой стороне.
Так как верно, что если бы мы играли на то, кто выиграет 20 партий, и если бы я выиграл 19 партий, а мой противник 18, то и имел бы такое же самое преимушество. как и в изложенном случае, где при грел партиях я выиграл Гл. 1. Предыстория понятия вероятности две, а он только одну, а это потому, что в обоих случаях мне недостает только одной партии. а ему двух*) Затем. чтобы вычисднть часть причитающуюся каждому из нас, нужно обратить внимание на то, что произошло бы, если бы мы продолжали игру.
Верно и то, что вьпправ партию, я получил бы полностью сумму ставки, которую обозначу а. Но если перв>ю партию выиграет мой противник, то наши шансы станут равными, принимаю во внимание, что каждому из нас будет недоставать по одной партии; значит, каждый из нас имел бы право на а/2, что согласно первому предложению.
эквивалентно сумме половин, те. (3/4)а, так что моему сопернику остается (1/4)а*> Разделение ставки между тремя игроками Гюйгенс рассмотрел в предложении >гП(, когда первому игроку недостает до выигрыша всей игры одной партии, а второму н третьему — по две партии. В предложении !Х он рассмотрел вопрос о разделе ставки между тремя игроками, но при произвольном состоянии игроков.
Общего выражения для решения этой залачн им дано не было и он изложил только принципы сведения общей зацачи к частным л>чаям. Формулировки предяожений 10 — 14 .ледует признать недостаточно четкими Их содержание полностью проясняется лишь при рассмотрении предложенных Гюйгенсом вопросов. Приведем некоторые из них. П р е д л о ж е и и е 10. Определить при скольких бросаниях можно обязаться выбросить одной костью шесп,очков! Конечно, задача сформулирована весьма неопределенно Нам ясно, цо автору н>жно понятие всроигности для точной формулировки е>о вопроса. а этого понятии ешс нет. Речь жс иде! о вероятности того, что прил бросаниях (и = !.
2,... ) лота бы раз появится на кости шестерка. Решение Гюйгенса состоит в следующем: при бросании ямеегся один шанс выкинуть 6 очков и 5 шансов полу ппь другие грани. Если разьлрывастся сумма а, то шанс получить эту сумму, согласно предло кению 3, будет щонть (1 а ч 5 . О)/6 = а/6. "Тому. кто предложил ему бросить кости, остается 5а/6. Значит, гоз, кто нграсг партию в одно бросание, может ставить только 1 против 5 " Прн двух бросаниях кости вычисления стоимости игры Гюй>тнс проводит следующим путем.
"Если 6 очков получается црн первом бросании. го бросающий получает а, но на эзо у нщо имеется 1 шанс, и нмеетси 5 шансов, что зго не произойдет Но тогда имеется еще второе бргюанис. которос щоит ему, согласно предшествующему вы- 5 численню а/6 Огсюца слсцует что игра должна стоить играющему(1 а + — а)/6 = 6 = 1!я/36.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
