Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Сули по всему, это бьшо озарение только для данного примера. Повидимому, Кардаио хотел выяснить вопрос: что чаще происходит — при бросании одной кости выпадение заданного числа очков или же лри бросании двух костей выпадение этого числа очков хотя бы на одной кости? Ответ был найден и на этом Кардано успокоился. Единичное наблюдение он не сцелал основой для общего заключения. В результате он не заметил, что стоял на пороге введения важного понятия лля всего дальнейшего развития большой главы математики, да и всего количественного есшствознания.
Этот вывод подкрепляется тем. что в следующей главе, в которой рассматривается бросание трех костей, Кардано уже не обращается к отношению числа благоприятствующих шансов к числу всех возможных. Все усилия Кардано затратил на подсчет числа возможных случаев. В тринадцатой главе "О сложных числах, как до шести, так и свыше и как цля двух, так и для трех костей", Кардано вновь возвратился к рассмотрению отношений числа благоприятствующих слУчаев к числУ всех возможных случаев. Однако и здесь Кардано не заметил, что он находилсн на грани введения важного для науки понятия. Вот его подлинные слова: "Десять очков (в сумме — БоП) может получиться из двух пятерок и из шестерки н четнсрки. Последнее сочетание возможно при этом в двух видах.
Таким же образом девять очков может получиться из пятерки и четверки и из 389 4 2. Исследования Лж. Кардано и Н. Тарталья шестерки и тройки, так что это составляет 1/9 всей серии *) и две девятых ее половины. Восемь же очков получается из двух четверок, из 3 и 5 и из 6 и 2. Всего же 5 возможных случаев составляет приблизительно 1/7 часть из всей серии ... 7 очков составляется из 6 и 1, из 5 и 2, из 4 и 3. Всего, стало быть, имеетси 6 возможных случаев, составляющих 1/6 всей серии, А 6 получается по такому же расчету, как и 8; 5— как 9; 4 — как! 0; 3 — как 11 и 2 — как 12".
Вновь Кардано оперирует фактически классическим понятием вероятности, но не замечает его значения для изучаемых им задач. Рассматриваемые им отношения воспринимаются им скорее чисто арифметически, как доля случаев, чем как характеристика возможности появления случайного события лри испытании. В главе Х1 имеется одно предложение, которос рядом автором трактуется весьма широко, хотя, как мы сейчас увицим, его формулировка достаточно неопределеннал.
Вот эти слова Кардано: "Целая серии игр не дает отклонения, хотя в одной игре это может случиться ... при большом числе игр оказывается, что действительность весьма приближается к этому предположению". Ссылаясь па это место, В.В. Бобынин*а) сделал далеко идущий вывод; *'этот закон (больших чисел — Б.Г.) уже с достаточной ясностью был выражен в ХЧ! столетии Карцаном в его статье РПе !пдо а!еае51 Позднее О.
Оре~~ ) в книге, посвященной Кардано, писал, что этот последний формулировал и испольэовал закан больших югсел в рудиментарной форме. Вполне возможно, что мнение Оре имеет некоторые основания, ио следует заметить, что формулировка Кардано весьма неопределенна. В той же книге Кардано приблизился к определению безобидной игры, что видно из слепуюшего предложения, заимствованного из этой книги: '*Итак, имеется одно общее правило для расчета: необходимо учесть общее число возможных выпадений и число способов, которыми могут появиться цанные выпадения, а затем найти отношение последнего числа к числу оставшихся возможных выпадений, приблизительно в такой же пропорлии определяются относительные размеры ставок для того, чтобы игра шла на равных условиях". Однако мнение ряда авторов относительно того, что в этом месте Карлано приблизился к классическому определению понятия вероятности, мне представляется ошибочным.
Задача Пачоли о разделе ставки до окончания игры интересовала также и Кардано. В книге "Практика обшей арифметики", иэцанной в !539 г., Кардано привел ряд критических замечаний в связи с решением Пачоли. Он указы! на то, что Пачолн, предлагая делить ставку пропордионалы~о числу уже выигранных партий, никак не учитывает, как много партий еше н>жно выи!Рать каждому из игроков. Согласно мнению Кардано, если з — число партий, которое следует выиграть, а р и д — числа фактически выигранных партий первым и вторым игроками, то ставка должна делиться между игроками в отношении !1+ 2+ ... +(з — 7)!: [1+ 2+ ...
+(з — РП. Как мы увидим позднее, решение, предложенное Карданом, в общем случм ошибочно и лень в некоторых весьма частных слУчаях оно привопит к правильному рю эультату. *) Под серией Кардано принимал все возможные исходы, г.е. 36 прн бросании двух костей и 216 при бросании трех костей, а ) Б о б ы н и н В.В. Яков ! Бернулли и теория вероятностей//Мат.
образование. — 1914, йт 4. ***) О те О. Сыпало. Тне йашЬВпй аспо(ет. — Рппсе!оп, 1953. 390 Гл. 1. Предыстория понятия вероятности К задаче о разделе ставки вновь вернулси Н.Тарталья в книге "Общий трактат о мере и числе", которая была опубликована в 1556 году. Его подход изложен в 6 20 книги, озаглавленном *'Ошибка брата Луки из Борго". Критические замечания Тарталья верны и имеют под собой серьезный здравый смысл. Вот его слова: "Это его правило мне не кажется ни красивым, ни хорошим, потому что если бы одна из этих сторон имела 10, а другая вообще не имела никакого очкд то действуя по такому правилу, получ>пось бы, что одна сторона, имеюшая указанные 10 очков, дол яна была бы взять все. а другая не получила бы ничего, что было бы совершенно лишено смысда." Для первой задачи Пачоли (с измененным условием) Тартальн предложил следуюшее решение: первый игрок, набравший 1О очков, должен получить, во-первых, поло.
вину всей ставки и, во-вторыл, (!Π— 0) /60 всей ставки, или 22/6 дуката, т.е. всего 14 и 2/3 дуката, а второй 7 и ! /3 дуката. Мы увидим, что решение, предложенное Тарталья, также ошибочно. Но следует согласиться с тем, что трудна было бы требовать от него самого и его предшественников правильного решения, посколаку в на> кс для этого еше не было выработзио необ. ходимых понятий — понятия вероятности и математического ожидания. Следуюшее замечание Тарталья убедительно показывает, что он и сам не доверял своему решению. Вот эти слова; "Разрешение такого вопроса является скорее делом юриспруденции, чем раз>мд так что при любом способе решения этой задачи найдутся поводы для споров, но тем не менее наименее спорным, как мне кажется, будет следуюшее ... ", Далее он предложил делить ставку по такомУ правилу: отклонение выигрыша от половины ставки должно быть лропориионально разности выигранных партий.
В только что приведенном примере, в котором игра шла до шестидесяти очков и ставка равнялась 22 дукатам, первый игрок выиграл 10 партий, а второй — О, доли игроков согласно предложению Тарталья таковы: 14 и 2/3 = 11 ч (10 — 0)/60 ° 22 и 1! + (Π— 10),'60 22 = 7 и 1/3. В 1558 г. была опубликована книга Г.Ф Певероне "Два коротких и легких тракта. та по началам арифметики и основам геоме>рии". В этой книге без указания пред. шесгвенников была рассмотрена задача о разделе ставки Формулировка задачи такова два лица А и В играют в мяч цо выигрыша одним из них 10 партий. в тот момент, когда игрок А выиграл 7 партий, а игрок  — 9, они решллн прекрати >ь игру Как следует разделить ставку между игроками".
Певероне предлохсил раздедить ставку в отношении 1 к 6, т.е, игроку А отдать 1/7 ставки, а игроку  — 6/7 ставки. Зто решение неправильно. Легко годсчигать, что А должен получить 1/8, а игрок  — 7/8 ставки. В то же время он дал правильное решение в двух случаях, когда игроки А н В выиграли по 9 партий, а также в случае, когда игрок А выиграл 8 партий, а игрок  — 9 партий.
б 3. Исследонания Галилео Галилея Мы видим, что уже в ХЧ! веке возникли задачи чисто вероитностного характера и упорно разыскивались подходы к их решению. Зто неизбе>хно приводило к необходимости развития, с одной стороны, комбинаторных методов, а с другой стороны— к поиску тех понятий, в терминах которых было бы можно одисывать возникающие сит>алии. Ошибки, допущенные опиями исследователями, лодмечались другими.
Эти другие предлагали свои способы решения, которые в свою очередь подвергались критическому аню>изу. Постепенно вырабатывались подходы, которые позднее стано вились основой новой теории и, во всяком случае, позволяли решать отдельные задачи. 39! Ф 3, Исследования Галилео Галилея Таблица 19 !о ~ 9 ' 8 7 3 4!1 3 321 6 222 1 3!1 3 211 3 111 1 221 3 611 3 51! 3 521 6 421 6 431 6 331 3 422 3 322 3 332 3 621 6 531 6 522 3 441 3 432 6 333 1 631 6 622 3 541 6 532 6 442 3 433 3 21 !$ !о б 3 1 Заслуживает внимания вклад в этот прогресс известного естествоиспытателя, ученого широких интересов и взглядов — Галилео Галилея (1564 †!642), Его работа "О выходе очков при игре в кости", увидевшая свет только в ! 718 г., была посвящена подсчету числа возможных случаев при бросании трех костей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
