Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Элементы статистики 356 тической надежностью можно было утверждать, что а <а(о и, соответственно. о <о<о'. Функции е',а "(о,о") называютоя доверительными границами для а(о). Впоследствии мы изложим два подхода к решению этих задач. 4. Проверка статистических гипотез. Задача, которую мы здесь рассмотрим, ставится так: на основании некоторых соображений можно считатть что функция распределения случайной величины $ есть Г(х); спрашивается, совместимы ли наблюденные значения с гипотезой, что Р действительно имеет распределение Е(х)? В частности, если вид функции распределения не вызывает сомнений и в проверке нуждаются только значения некоторых параметров, характеризующих зта распределение, то в задаче спрашивается: не опровергают ли результаты наблюдений ту гипотезу, что параметры распределения имеют предположенные значения? Это — задача прове р кн простой ги пот е з ы. Если проверяемая гипотеза состоит в том, что параметры принимают не точно определенные значения, а какие-то из некоторых определенных множеств (например, в случае биномиального распределения, гипотеза р ( рс), то гипотеза называется с л о ж н о й.
В качестве второ~о примера статистической гипотезы приведем проверку однородности статистического материала. Частым случаем этой задачи является следующий: имеются две последовательности независимых наблюдений над случайной величиной $ с функцией распределения г", (х) хи ха,...,хл и над случайной величиной и с функцией распределения г'т (х) У»Уг..
Ум- Функции распределения Е~(х) иана(х) неизвестны; требуется оценить правдоподобность гипотезы Р'~(х) =Ге(х). 5. Оценка з аз н с и мости. Производится последовательность наблюдений сразу двух случайных величин $ и и. Результаты наблюдений даны следующими парами значений; х„ум ха,уз,...,х„,у„, Выяснить наличие функциональной или корреляционной связи между С и э) . 6. У пр ав ление и ро ц е с а ми.
Пусть имеется случайный процесс от дискретного или непрерывного времени $(г). Процесс под влиянием тех или иных причин может нарушить свое нормальное протекание и стать иным, скажем сг(г). Это нарушение нормального течения может привести к нежелательным последствиям и нам нужно своевременно заметить 357 5 б1, Классический метод опенки параметров момент "разладки" и оказать управляющее воздействие с целью восстановления нормального хода процесса. В качестве примера мы можем указать на действие технологической линии, которая вырабатывает определенную продукцию. Время от времени в силу различных причин процесс выходит из нормального состояния.
Зтими причинами могут быть затупление инструмента, нарушение ~силового илн электромагнитного режима. Они приводят к ухудшению качества продукции. По наблюдениям нужно уловитымомент разладки н восстановить ход процесса. Заметим, что перечисленными задачами далеко не исчерпываются основные проблемы математической статистики. Совершенно новые задачи пе. ред математической статистикой ставит промышленная и научная практика.
В частности, само планирование испьпаний является одной из основных задач математической статистики. з 61, Классический метод определения параметров распределения Классический метод определения неизвестных параметров функции распределения случайной величины $ состоит в том, что до наблюдения эти подлежащие оценке величины считаются случайными величинами, подчиненными некоторому "априорному*' (доопытному) закону распределения вероятностей. Предполагая этот априорный закон распределения известным, можно вычислить, пользуясь теоремой Байеса, "апостериорный" (послеопытный) закон распределения параметров при условии, что резулыаты наблюдений над с оказались равными х,, х,,..., х„. Как мы уже говорили раньше, все последующее изложение будет относиться к определению неизвестных параметров а и о нормального закона распределения (х — а)' зс' Р(х!а о)- — — зе пал которому подчинена наблюдаемая случайная величина $.
Плотность распределения вероятностей того, что в результате л независимых наблюдений над величиной $ будут получены значениях,, х,,... ..., х„ при условии, что неизвестные параметры имеют значения а н о, равна 1 7(х!,хэ,...,хе!а, а) = (ох/Зл)и' где л !э= Х (х1,— а) . !с = 1 Гл. 11. Элементы статистики 358 Если ввести обозначения л х= — Х хю л »=т л т1 = — Х (х„— х)', л»=т то простой подсчет показывает, что 1 — л (а,'+(х-а)' ( г" (х,..... х„~а, о) = та (о х/2и п)л После подстановки вместо функции т' ее значения по формуле (1) и по- следующих очевидных сокращений находим, что л(и — х) е т" р,(л) |р,(а~х,,хт,...,хл;о)— л(а — х ) Хе ' д,(а)с(а (2) Во второй и третьей задачах соответствующие формулы имеют вид: Г(х,, хт,..., х„!л, о) р, (о) р,(о 1хю хт,..., хл; о) = (/'(х,,хт,...,х„!а, о)ест(о)сЬ .((хю хт,..., х.
(л. о)рз(л. о) )сэ(а, о~х,, х,,..., хл) = Дг (х,, ха,..., х„~а, о) рз(а, о) йа сЬ где функции )ст(о) и (ез(а, о) обозначают априорные плотности распре- деления вероятностейвеличины о и пары (а, о). Напомним, что в й бО были поставлены следующие три з;дачи: 1) о известно, требуется определить а; 2) л известно, требуется определить о; 3) а и о неизвестны,требуется их определить. Если предположить, что о известно и р,(а) означает априорную плотность распределения величины а, то лля условной плотности распределения вероятностей величины а при заданном о и найденных значениях хы хз,..., хл получим такое выражение; 2'(х,, Х,,..., хл(а, о))т, (а) р, (а!х,, х,, хл; о) = (т'(х,,хт,...,хл1а, о) р,(л)т(а а 6 К Классический метод опенки нараметроа После подстановки в зти формулы значения Г по формуле (1) и по- следующих простых сокращений находим, что 3 о»е " чс,(о) ест(о(х,, хт,..., х„; а) = ,) о "е о рт(о)Ио о — —, (е', е(а — х) ) о чсз(а, о) Фз(а.
о~хм хт х») (4) — —,(х, е(а — х) ) Оо "е чс (а, о)с(ась о то равномерно относительно а 1 — — а 1 ~ о ,1 Ч)1(а~х,,х,,...,х»;о)= е т ~1 еО( — ) (1+ 1а(), (5) т/2~г ч хlп где а= — (а .т), о (6) а 'ч),(а~ х,,хы ..., х„; о) обозначает апостериорную плотность распределения величины а. Доказательство.
Действительно,из (б) находим,что ао а =х + (7) Полученные формулы непригодны для практического использования не только в силу их сложности, но главным образом потому, что входящие в них априорные вероятности, как правило, нам бывают неизвестны. Часто, не зная априорных плотностей, делают о них более или менее произвольные допущения и на их основе получают обозримые для практического применения формулы. Мы пойдем по иному пути: сделаем соверщенно общие допущения о характере априорных распределений и из зтих допущений. выведем предельные закономерности (при п -+' ) для апостериорных вероятностей. Т е о р е м а 1. Если априорная плотность распределения р,(а) имеет ограниченную первую производную и чр1(х) Ф О, Гл.
11. Элементы статистики и, значит *), е и/тр, х+— о ч/л — р((а~х,,хт,...,х„;о) = яо ч/л / аО '1 аО р, х + — ) = р,(х)+ — — р',(г), ч/л ч/л По условию теоремы ](с,(т))< С< + поэтому ;/2.1 1(ет (х) + г„] где ]ое-а )тчтц(г)е(о х/2л л Легко сообразить, что 2 Со ]г„] < ч/2ил (8) *) Заметим, что ллстнасть распределении величины а равна а Ф, (о)х,, х „..., хлп а) = — И, (а')х,, х „..., х„; с). л По формуле конечных приращений ао где г=х+Π— и О< 0< 1. ч/л о р'(а ]х „х„..., хл ' о) = ;/л Е е /т Р((Х)+ — Р,(Г) ч/л 36! (5') Доказательство.
Действительно,из (7) находим,что а М(а]В) = х + — М(а]В) х/л о2 М[(а — х) ]В] = — М(аг]В), л М(а]Х1, х 2,..., х„; о) = х + — ] а41(а]х,,..., х„; о) 1та /л 2 М [(а — х)' ~Х1, х,,..., х„; о] = — 1 а' Ф1(а1Х1,..., х„; и) 21а. Подстановка в зти равенства вместо функции 221 ее значения по (5) и последующие несложные подсчеты доказывают теорему. Доказанная теорема позволяет написать следующее приближенное равенство: е-х, средняя квадратическая ошибка которого приближенно равна о~1л, Теорема 1 позволяет получить вероятность того, что а заключается в определенных границах прн условии, что величины о, х,, хз,..., х„при- няли определенные значения.
Действительно, ог Р ]а — х]< — ]х,...,х;о~ =Р(]а]< 21х,...,х;о) 1 ° ° ° ° о о а 61. Классяческяа метод опенки параметров Несложные преобразования приводят нас к равенству 1, о й1(а]хг,хз,...,х„;а)= е "1~ 1+— х/2я х/л Полученное равенство вместе с (8) доказывает теорему Т е о р е м а 2. Вуслоеиях предыдущей теоремы ( О~'1 М(д]х1,хз,...,хо,'о) х +О М [(а — х )' 1Х1, хг,..., х„; о] = — ~ 1 + О л где В означает некоторое событие. Следовательно, ,/л ар(г) —— р(х) + г„ Гл.
11. Элементы статистики и, следовательно, в силу (5) аг ~() -г~ с— /е ~ ггаг~ О~ х/п х/2я и х/й / Фг(г!х,,хг,...,х„;а) = — е ' ~1+0~ — (1+ ~г!), х/и х~п / где фг — апостериорная плотность распределении величины ~/ Т (9) и Т =г/,/п. Доказательство. Действительно,из (9) находим,что о=Х 1+ и что 1+ — ',, ° /„Т+ ™ )3 1-л — г / ~1+ — ) е чгг(о)до /и По формуле конечных приращений гХ 1 гХ 'рг Х+ ) = Фг(Х)+ Фг(и) х/п ~/п Пренебрегая величиной 0(о/х/п) (что можно сделать, вообще говоря, только тогда, когда или о мало или п достаточно велико), мы можем считать,что о 2 и Р 1а — х1< — г!хг,хг,...,хи;о~= — 1 е ' 1~дг. ч/й х/2и и Теорема 3.
Если априорная плотность распределения рг(о) имеет ограниченную первую производную и уг(Т) Ф О, то равномерно относительно г $ б !. Классический метод опенки параметров где и =а +0 — а 0< В < 1. т/л1 Согласно условию теоремы ! 1са (и ) ! < С < + поэтому т12(21х1, хт,..., х„;а) л л т е 2/1е т/и 1 + — ) е м л ~1ст(Т) е — 0(1) т/л Но г л г ! 22 !+в 2 т/л ): (') г 1 — 2 — +3 — —... = — — — г +О( л / 2 ~ ,/л / — и!и (11) Д 2 2! 1+ л л — 3 л-э г р а — л Г-/ +, 1+ — е ~1" Ф!!Лл 2 /г 2 е ат)г= е 1ст(а) / ! е — е /" ' 11!) !+О ',а 1+ ™е ~/л 1+Π— (! +1г!) (10) ф, -л 2(1+ 1+ — ) е ' ~1" 1 е((! ( Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
