Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Перейдем к пределу, положив Гтт -а О. В силу предположения о равномерной сходимости к пределам в (2) и (3), заключаем, что предыдушее равенство может быть записано в виде ь д)'(г,х;т,у) )' А(у) гу = а дт 1 = ]' Г(г, х; т, у) и(т, у) А '(у) + — Ь (т, у) А "(у) агу. 2 Так как А'(у) = А" (у) = О дляу <а и у ~ 1Ь, то ь ду"(г, хг т, у) А (у) г(у = а дт ь 1 ,(.г (г, х; т,у) ~а(т, у)А'(у)+ — Ь(т,у)А"(у) г(у. а 2 Воспользовавшись формулой интегрирования по частям и равенст- й 54. Непрерывный случайный пропесс вами (7), находим,что ь ь д )' )' (», х; г, у) а(т, у) А '(у) с»у = — )»» (у) — [п(т, у) 7 (», х; т, у)] с»у, а а ду ь ь д' ]' )(», х, т, у) Ь(г, 1)»» (у) с»у — ]' А(у) ]Ь(т, у) Х(», х; т, у)] с»у.
а а ду' В результате подстановки полученных выражений в (8) получаем. ь д»'(»,х; г,у) / — А(у) с»у = а дт ь 1 д — ]а(т,у)»(»,х»т,у)] + а ду 1 д2 2 дуг Это равенство может быль записано, очевидно, в таком виде: ь ] дУ(»,х;т,у) д )' 1 ' ' ' + — ]а(т,у)»(»,х;т,у)]— а 1 дт ду дз — — ]Ь(т, у)»(», х, т, у)] Л(у) с»у — О. 2 ду (9) Так как функция Я(у) произвольна, то из последнего тождества вытекает (6) .
Действительно, предположим, что это не так. Тогда существует такая четверка чисел (», х; т, у), при которой выражение, стоящее в (9) в фигурных скобках, отлично от нуля. В силу сделанных предположений это выражение представляет собой непрерывную функцию; следовательно, найдется интервач а < у < б, где оно сохраняет знак. Если а <чх и .Ь ) б, то мы полагаем»с(у) = О при у < о и у ~ б и к(у) ) О при се < у < б. При таком выборе А(у) интеграл, стоящий в левой части равенства (9) должен быть отличен от нуля. Мы пришли к противоречию.
Таким образом, сделанное нами предположение ошибочно и, следовательно, из (9) вытекает (6) . Естественно, что основная задача, которую приходится решать, состоит не в проверке того, что данная функция»(», х; т, у) удовлетворяет уравнениям Колмогорова, а в разыскании неизвестной функции ~(»,х» г,у) по этим уравнениям, в которых коэффициенты а(»,х) и Ь(», х) предполагаются известными. При этом, конечно, разыскивается не какое-нибудь решение уравнений Колмогорова, а лишь те из 11* Гп. »О.
Теория стохастическия пропессов 324 ннх, которые удовлетворяют следующим требованиям; 1. » (», х; т,у) = 0 при всех», х, т, у. 2. ( Г(»,х;т,у)»»у=1 и при любом Ь > 0 3, !пп ( Д»,х»т,у)»»у=О. т е ~у — «!З6 (10) (2 ) 1 1пп — ! (у — х)'»» Ь(» — б»,х;»,у) = Ь(»,х). а»-о б» (3 ) Остальные требования, а также окончательные выводы от замены (1) на (1) не изменяются. Так как )'(у — х) с» „Ь (» — »!», х; », у) = М !Ц») — Ц» — »г»)] является математическим ожиданием изменения $ (») за время»г», а )'(у — х)т~»,Р(» — Ы, х; », у) = М Ц(») — Ц» — б»)1' есть математическое ожидание квадрша изменения е (») и, следовательно, пропорционально кинетической энергии (в предположении, что 1(») есть координата движущейся под влиянием случайных воздействий точки), то из (2') и (3') ясно, что а(», х) есть средняя скорость изменения е (»), а Ь(», х) пропорционально средней кинетической.энергии изучаемой нами системы.
Мы заключим этот параграф рассмотри»ием частного случая уравнений Колмогорова, когда функция»(», х; т, у) зависит от», т н Мы не будем останавливаться на выяснении тех условий, которые нужно наложить на функции а(», х) и Ь(», х), чтобы существовало решение уравнений Колмогорова, удовлетворяющее перечисленным требованиям и было бы при этом единственным. Мы несколько усилим требование непрерывности с тем, чтобы выяснить физический смысл коэффициентов а(», х) н Ь(», х).
Именно, предположим вместо (1), что при любом Ь ) О имеет место соотношение 1 !пп — ) (у "х)з с»тЕ(» — »1», х; г, у) = О. (1') а» о д» !у-«!> 6 Легко видеть, что из (1') следует (1). Требования 2 и 3 могут быть теперь записаны иначе, а именно, 1 йт —,( (у — и)»» р (» — »!», х; », у) = а (», х) и». о»т» 325 й 54. Непрерывный случайный процесс Уравнения Колмогорова в рассматриваемом нами случае переписывают. ся в таком виде: д)." дУ 1 дэба' — = — а(г) — — — Ь(г) дг дх 2 дх' (11) д)' дУ 1 .
дгУ = а(т) — + Ь(т) дт ду 2 ду Рассмотрим сначала частный случай, когда а(г) = О и Ь(г) = 1. Уравнения (11) при этом превращаются в уравнение теплопроводности д.г 1 дд'2' дт 2 дуг и ему сопряженное (12) дгу. дг 2 дх' Из обшей теории уравнения теплопроводности известно, что единственное решение этих уравнений, удовлетворяющее условиям (10), дается функцией (г — «) 1 )'(г, х; т, у) = — е г (е — е) ъ~ 2п(г — г) Заменой переменных х =х — ) а(г)с(г, у =у — ) Ь(з)с(г, ) Ь(г) с(г, г' = ) Ь(г) с(г а уравнения (11) сводятся к уравнениям (12). Это дает возможность у — х, но не от самих х и у.
Физически это означает, что процесс протекает однородно в пространстве: вероятность получить приращение сг = у — х не зависит от того, в каком положении х находилась система в момент времени г. Очевидно, что в этом случае функпин а(г, х) и Ь(г, х) ле зависят от х, а явллются функциями только одно~о аргумента г: а(г) = а(г„х); Ь(г) .= Ь(г, х). Гп. ! О.
Теория стохастичесиия пропессов 326 искомое решение уравнений (11) записать в виде (т — а — А) 1 !'(т,х; т,у) = е о ~'2я где обозначено А = ( а(т)с(т, о' = 1' Ь(з) й. З 55. Чисто разрывный процесс. Уравнения Колмогорова — Феллера В современном естествознании большую роль играют процессы, в которых изменение системы происходит не непрерывно, а скачками. Примеры такого рода задач приведены во вводном к настоящей главе параграфе. Мы будем говорить, что случайный процесс $ (!) чисто разрывен, если'в течение любого промежутка времени (г, ! + т1!) величина с (!) остается не. изменной и равной х с вероятностью 1 — р (г, х) б! + о (б!) и лишь с вероятностью р (г, х) т1! + о (тТ!) может претерпеть изменение (при этом мы считаем, что вероятность более чем одного изменения ч (!) за промежуток времени 21! есть о (2т!)) .
Естественно, что поскольку мы ограничиваемся рассмотрением процессов без последействия, функция распределения дальнейших после скачка изменений $(!) уже не зависит от того, какое значение имело $ (!) в моменты, предшествующие скачку. Обозначим через Р(г, х, у) условную функцию распределения $ (!) при условии, что в момент ! произошел скачок и непосредственно до скачка 3(!) было равнох (т.е. $(! — О) =х). функция распределения Р(т, х; т, у) легко может быть выражена через функции р (т, х) и Р(т, х, у), а именно Е(т, х; т,у) = (1 — р(г, х)(т — !)) Е(х,у)+ +(т — !) р(г, х)Р(т, х, у)+о(т — !).
(1) По смыслу определения функций р(г, х) и Р(г, х, у) они неотрицательны, причем для Р(г, х, у), как лля функции распределения, выполнены равенства Р(! х, ' )= О, Р(! х + )'=1. Кроме того, мы предположим, что р(т, х) ограничена, обе функции р(г, х) и Р(т, х, у) непрерывны относительно ! и х (достаточно, на самом деле, предположить, что они измеримы по Борелю относительно х), 327 а 55. Часто раэрьвный прппесс В отношении функции Е(г, х; т, у) мы не станем делать никаких предположений и лишь сохраним ее определение при г = т: 1пп Р(г,х; т,у') = 1лп Р(г,х; т,у) = т т+о с т — о ~ 0 при у~х, = Е(х, у) = ~ 1 при у)х. Одна из задач настоящего параграфа состоит в доказательстве следующей теоремы, Т е о р е м а.
Функция распределения Г(г, х; т, у) чисто разрывного процесса без последейсгвия удовлетворяет двум следующим интегродифференциальным уравнениям: др(т, х;т,у) =р(т,х) [Р(г,х;т,у)— дг (2) — ('Е(г, г; т, у) йг Р(г, х, г)], ар(г, х;., у) — ) р(г,г)дгр(г,х; т,у) + дт (3) + )' р(т, г) Р(т, г, у) с(гр(г, х; т, г) . Уравнение (2) было получено А.Н. Колмогоровым в 1931 г.; в сделанных нами предположениях оба уравнения (2) и (3) бьгли получены В. Феллером в 1937 г.
Это обстоятельство приводит нас к естественному наименованию уравнений (2) и (3) уравнениями Коломогорова — Феллера. До к аз а тел ь от в о. В силу обобщенногоуравнения Маркова Г(г,х;т,у) = )Е(г+Ьг,г;т,у)ВР(г,х;т+Ьг,г). Подставив сюда значение Е(г, х; с + Ьг, г) по формуле (1), находим, что Р(г,х;т,у) = )'Е(г+Ьг, г; т,у) д,(! — р(г, х) Ь(г) + то(ьг) ( е(х, г)+ ~ГО+ йг, г; т,у) д,(р(г, х)же о(1ьг)( Р(г, х, г). Так как (' Г(г + Аг, г; т„у) д,Е(х, г) = Е(г + Аг, х; т, у), то Е(г, х;т,у) = [1 — р(г, х) Ьг) Е(г+ Аг, х; т,у) е + Ьтр(г, х) ) Е(г+ Ьг, г; т, у) д,Р(А х, г) + о;Ьг), Гл. ! О, Теории стохастических проиессов 328 Отсюда Р(» +»!», х; т, у) — Е(», х; т, у) = р(», х) Р(» + тЪ», х; т, у) + Ь» + Р(», х) ) Е(» + та», г; т, у)»»,Р(», х, г) + о(1).
Переход к пределу приводит нас к (2) . Уравнение Маркова и (1), а также определение функции Е(х, г) позволяют написать следующую цепочку равенств; Р(», х; т +»тт,у) = 3 Р(т, г; т+ Ьт,у)с» Р(», х;т, г) = = )'(11 — р(т, г)»!т) Е(г,у) + Ьтр(т,г)Р(т, г, у) + + 0(»тт))»»сР(» х; т, г)— У У = )' с»тЕ(»,х; т, г) — Ьт / р(т, г)с»тР(»,х; т, г) + + та» ( р(т, г) Р(т, г,у)с»еЕ(», х; т, г) +о(Ьт). дР Обычным путем отсюда следует существование производной — н равендт ство (3). Мы решим еще одну важную для приложений задачу: с какой вероятностью в течение промежутка времени от» до т(т )») система может изменить свое состояние то или иное число и раз (и = О, 1, 2,...
)? Обозначим через р„(», х, т) вероятность того, что отправляясь от состояния х в момент», система л раз изменит свое состояние до момента т. Решение задачи начнем со случая и = О. С этой целью запишем следующее равенство: Р„(», х, т) = Ро(», х, т +»ат)+р,(», х, т)(1 — ро(т,х, т+Ьт)1, которое означает, чтр отсутствие изменений состояния системы в промежуток времени (», т) может произойти двумя несовместимыми путями: 1) система не изменила состояния за больший промежуток времени (», т +»тт), 2) система не меняла состояния до момента т, но в промежуток времени (т, т т»!т) состояние ее изменилось. Так как по определению чисто разрывного процесса ро(т, х, т+»ат) = 1 --р(т, х) Ьт+ о(»!т), то уравнение (4) может быть записано иначе: ро(», х, т +»!т) — ро(», х„т) Ро(», х, т)Р(т, х)+о(1).
»а» $ 55. Чисто разрывный нронссс дро(г, х, т) Отсюда, положив с5т — О, находим, что существует производная дт н что дро(г, х, т) — = — р,(т, х, т) р(т, х) . дт Проинтегрировав это уравнение, находим т — / р(и, и) Еи ро (г, х, т) = Се ' Так как ро(т,х, т) = 1, то С=1и т — 1 р(и, х)ли ро(г,х, т) = е (5) Теперь мы увидим, что, зная ро (г, х, т), а также функцию Р(г, х, у), определенную раньше, мы можем подсчитать любую вероятность р„(г, х, т). В самом деле, л-кратное изменение состояния происходит следующим образом; !) до момента е(г < з < т) система не меняет состояния (вероятность этого события равна ро (г, х, з) ), 2) в промежуток (е, т + Ьт) система меняет состояние (вероятность этого равна р, (т, х, т+ Ьз) =р(т, х)А~+ + о (сне)), 3) вероятность того, что новое состояние, в котором окажется система, будет заключаться между у и у + Ьу, равна Р(т, х, у + т5у)— — Р(т, х, у) = Ь,Р(е, х, у), 4) наконец, за время (г + Ьт, т) система изменит свое состояние л — 1 раз (вероятность этого события равна р„, (е+ тат,у, т)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
