Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 51
Текст из файла (страница 51)
+ си. Так как средний срок службы одного прибора равен ./е ~'пт = 11Л, то средний срок службы системы при холодном резервие ровании равен (л + 1)1'Л, т.е. пропорционален общему числу элементов системы. Среднюю продолжительность безотказной работы резервированной системы при нагруженном резервировании вычислим следующим способом: отметим моменты последовательных отказов элементов — г,, гз,... ..., г„»1 и введем обозначения тч = гы тз = тз — 0 тз = гэ — гз = ㄄— г„. Поскольку в первом отрезке времени работают все приборы, вероятность того, что за время т не откажет ни один из ннх, равна е (и ')Л', вероятность того, что во второминтерваленеоткажетниодни из работоспособных элементов, равна е л"". Наконец, вероятность того, что за время г не будет отказов в последнем интервале, равна е л'. Теперь легко подсчитать, что время работы резервированной системы до отказа й 51. Процессы гибели и размножения равно ие! 1/ Х бате = — ~1+ — + + — -/ ь=! Л 2 л Если л велико, то 1 1 1+ — +...
+ — 1п я+с, 2 л где с — постоянная Эйлера, с = 0,577215 ... Пример 2. Система обслуживания с потерями. Мы рассмотрим теперь одну из задач новой прикладной математической дисциплины, получившей название теории массового обслуживания. Первые ее задачи бьии рассмотрены датским ученым Эрлангом — долголетним сотрудником лаборатории Копенгагенской телефонной компании.
Предположим, что на телефонную станцию поступают вызовы от абонентов. Если в момент поступления вызова аппарат вызываемого абонента свободен, то происходит мгновенное соединение и начинается разговор, который продолжается столько, сколько необходимо для его завершения. Если же вызываемый абонент занят, то вызывающий абонент получает отказ. Нам важно подчеркнуть две особенности, с которыми необходимо считаешься при рассмотрении возникающих здесь вопросов. Во-первых, вызовы на станцию поступают в случайные моменты времени, и предсказать заранее, когда поступит очередной вызов, нет возможности.
Во-вторых, длительность разговора не постоянна, а меняется в зависимости от случая. Мы предположим, что имеется л равноправных линий связи у каждого нз абонентов и если хотя бы одна из них свободна, то соединение наступает мгновенно. Каждая линия доступна для любого требования, каждое требование обслуживается лишь одной из линий. Вероятность того, что вызов от какого.то абонента поступит в промежуток времени от ! до г + й равна Ли+ о(и) .
Если в момент г заняты х линий, то вероятность того, что к моменту г+ й освободится одна из них, равна хрл + о(6) . Мы находимся в условиях теории процессов гибели н размножения. В нашем случае Ле = Л, и„= до при 1 </с <пни„жО при й)л. Системацбслуживания может находиться лишь в состояниях Е,, Е,, Е,,..., Е„, Уравнения (1) и !2) для нашей задачи записываются в следующем виде: ро(г) = — ЛроЯ+ рр!(г), (8) при 1И<л р„Я = — 1Л+ йи) рь П) + Лр (г) + (А + 1) ир П) (9) Гл. 1О. Теория стохветических ироиесеов ипри /с=п р„(/) = Лр„,(/) — пир„(/).
К этим уравнениям мы должны добавить еще одно о Х р«(е)=1, «=о (10) смысл которого прост: в любой момент времени возможны только события Ео, Еы, ..,Е„. Обычно интересуются изучением установившегося процесса, т.е, рассматривают решение при г — . Как мы увидим позднее, в условиях нашей задачи существуют пределы рк= йш р(/) откуда находим, что /сир«, =Лрк й=1,2,...,п.
Простые преобразования приводят нас к равенствам к р = ро (/с» 1, р = Л/о). о Теперь (11) позволяет найти нормирующий множитель ро: ро Окончательно -1 р —, 0 < /с < и. /с! к =о /с! и эти предельные вероятности удовлетворяют следующей системе алгебраи- ческих уравнений, получающихся из (8) — (!0) путем замены функций р, (/) на постоянные рк, а производных р (/) на нули: — Лро+ирс =О, Лр — (Л+/со)р„+(й+1)ярк =О, 1 <В<и, Лр„, — пир„иО, и Х рк = 1. (11) Обозначением гк = Лр — йир мы приводим систему наших алгебраик-с к ческих уравнений к следующей: т, =О, тк — зк « =0 при ! </с<п, гя =0 307 а 51.
1!роцессы гибели и размножения Эти формулы бьши найдены Зрлангом и носят название 95армул Эрланга; они находят широкое применение в задачах телефонии. При 7с = и мы получаем вероятность того, что все линии заняты и, следовательно, вероятность того, что вновь прибывшее требование будет потеряно. Таким образом. вероятность получить отказ равна -1 Для иллюстрюецп быстроты потерь с увеличением р загрузка, приходя- Х ~ шаяся на одну линию равна — ) приведем небольшие таблички. При этом ли мы ограничимся случаями л = 2 и л = 4 и такими значениями р, при которых в соответствующих колонках приходятся одинаковые загрузки на прибор. Таблица !5 ц=2 0,5 1,0 2,0 3,0 4,0 ра 0,0045 0,0335 0,0769 0,2000 0,4000 0,5294 0,6054 е 0,2 О,б 1,О 2,0 4,0 6,0 5,0 р„0,0001 0,0030 0,0!54 0.0952 0,3107 0,4696 0,5746 Из табличек замечаем, что при мзлых загрузках увеличение числа приборов существенно уменьшает вероятность потерь.
Например, при л = 2 и р = 1,0 вероятность потери равна 0,20, а при л = 4 и р = 2 соответствующая вероятность будет только 0,09. По мере же возрастания загрузки на один прибор вероятности потерь постепенно вырав1 иваются и, например, при р = 4 и л = 2 вероятность потери равна 0,6054. а при л = 4 и р = 8 эта вероятность равна уже 0,5746, т.е. различие наступает только во втором знаке. Вернемся к некоторым общим результатам теории процессов гибели и размножения, но изложим их без доказательств.
В случае процесса чистого размноэхения система уравнений (1) — (2) разрешалась очень просто ну~ем последовательного интегрирования, поскольку дифференциальные Гя. 10. Теория стохаетических иронесеов 308 уравнения имели вид простых рекуррентных соотношений. Общие уравнения имеют иную структуру и последовательное определение функций р (т) уже невозможна. В настоящее время условия существования н единственности решений этой системы хорошо изучены в работах Феллера, Рейтера, Карлица и Мак-Грегора.
Оказалось, что равенство Х ре(г) =1 я=о имеет место при всех б если расходится ряд и; Х П вЂ” ' а=с с=с Л; Если вдобавок сходится ряд Л. Х П а=а (12) (13) то при всех с существуют пределы р„= 1пп р„(с). с (14) Интуитивно зто условие ясно: оно означает, что скорость поступления требований в систему не должна превышать скорости их обслуживания. Для вычисления пределов (13) действует следующее простое правило: нужно составить и решить систему алгебраических уравнений, получающуюся из системы (1) — (2) путем замены рь(с) на рь и подстановки О вместо п„(с). Зта система, следовательно, имеет следующий вид: Лоро + "с рс = О - (Л, + .„) Ра + Л„, р„, + иь „р„„= О (й ~ 1).
Обозначения з» = — Ле рь + и„,, рве,, 1с = О, 1, 2,... обращают записанную алгебраическую систему в следующую; зо =О, вь с — сь =О (при/с>1). Из нее вытекает, что при всех (с сь =О. Это условие, в частности, выполнено во всех случаях, когда, начиная с некоторого хо, выполняется неравенство ЛяС'ие,с <а(1. а 51. Процессы гибели н размножения Следовательно, Ле Р = Р =П Ро.
1=1 ПостоЯнное Ро опРеделЯетсЯ из УсловиЯ ноРмиРовки Х Р„= 1: а=о (15) (16) ~ ~л Р е Ро н л? и при )с Л/ю Постоянное р„определяется равенством Р(п, то где Р= Ро = Если Ро = Очевидно, что в полученных формулах содержатся найденные нами ранее формулы Эрланга. Пример 3. Обслуживание с очередью. Пал одинаковых приборов поступает пуассоновский поток требований с параметром (интенсивностью) Л. Требование, поступившее на какой-либо прибор, требует лля всего обслуживания случайного времени с распределением вероятностей Н(х) =! —.
е "". Если в момент поступления требования имеется хотя бы один свободный прибор, оно начинает обслуживаться немедленно. Если же все приборы заняты, то вновь поступающие требования становятся в очередь. Если имеется очередь, то после окончания обслуживания прибор немедленно переключается на обслуживания очередного требования из очереди. Требуется найти вероятности пребывания в системе того или иного числа требований. Мы находимся в условиях теории процессов гибели и размножения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
