Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Для нашей задачи Ле = Л при всех )с, ре = 1ср при 1с <и и ие ж лр при я ~ л. Согласно формулам (!5) и (16), стационарные решения для нашей задачи имеют такой вид: при я ( л Р 310 Гя, 1О. Теория стохеетяческях пропеееов Если же р > л, то ряд, стоящий в скобке, расходится и ро = О. Из только что написанных формул мы заключаем, что р« = О при всех «. Этот результат очень важен; словами его можно сформулировать так: если р > и, го очередь на обслуживание неограниченно растет со временем, П риме р 4. Об сл у жив анис станков бригадой рабочих.
Бригада нз г рабочих обслуживает н однотипных станков. Каждый из этих станков в случайные моменты времени может потребовать к себе внимания рабочего. Станки выходят из рабочего состояния независимо друг от друга: вероятность выхода из рабочего состояния за промежуток времени (г, г + I!) равна ЛЬ + о(/!) . Вероятность того, что за время (с, г + и) будет завершено восстановление рабочего состояния станка равна и1т + о(л). Калспый рабочий одновременно может восстанавливать только один ста.
нок; каждый станок восстанавливается только одним рабочим. Найти вероятность того, что в установившемся процессе обслуживания в данный момент будет простаивать заданное число станков. Обозначим через Е«событие, состоящее в том, что в данный момент неисправны lс станков. Очевидно, что наша система может находиться только в состояниях Ео, Е,,..., Е,. Легко понять, что мы имеем дело с процес. сом гибели и размножения, для которого Л» = (н — /с)Л при О </с < н, Л« = О прин > н; и« =сти при 1 <«<г и и« =гы при я > г. Формулы (15) н (16) приводят к равенствам: при 1 </с < г (р = ЛЪ) и! Р» = Р Ро /с!(н — я)! при г < гс < н и! «' Р« „«,,Рро н! о л! — 1 ро= Х Р" - с „„Р" » -о /с!(л — я)! « =- г+! г" г!(и — /с)! В частносги,при г=! и.
Р«=, Р Ро, (и — /с)! Проиллюстрируем полученные формулы простым числовым расчетом. Пусть обслуживание 8 станков поручено двум рабочим. Как рашюнальнее организовать работу: поручить ли все станки бригаде нз двух рабочих или 311 й 51. Процессы гибели и размножения же каждому из рабочих поручить по четыре определенных станка? Вычисления проведены в предположении р =0,2. Результаты собраны в таблице. Таблица !6 и=а, г=2 Среднее число станков, простаивающих по той причине, что рабочие заняты восстановлением других станков, равно а г (/с — 2) р = 0,3045. к=т Среднее время простоя станков (восстановление и ожидание начала обслуживания) равно а 2' агтрк = 1,6875.
Кча Иными словами каждый рабочий свободен от работы в течение 0,3686 доли рабочего дня. Среднее время непроизводительных простоев станков (ожидание начала восстановления) 1.0,1914+ 2.0,0760 + 3.0,0153 = 0,3893. Вся группа из восьми станков потеряет при этой второй системе организации работы 0,7886 рабочих дня, т.е. потеря времени на ожидание ремонта возрастут более чем вдвое (в первой системе она равна 0,3045 рабочих дня).
Общая потеря времени 4 станками на ожидание и ремонт равна 1.03189 + 20,1914+ 300760 + 400153 = 09909. 2 ! 0 0 О 0 0 0 0 Средняя длительность свободного времени рабочих равна 2.0,2048 + 1.0,3277 = 07373. 0.2048 0,3277 0,2294 0.1417 0,0687 0.0255 0,0083 0,0017 0.0002 312 Гл. 10. Теория стохастических лроцессов Таблица 17 л=4, г=1 Число неработающих Число станков, Число свободных станков ожидающих рабочих обслуживания 0,3984 0,3189 0,1914 0,0760 0,0153 Все восемьстанков теряют, такимобразом, 1,9818 рабочих дня (против 1,6875 при первой системе организации работы).
Несмотря на то, что станки простаивают при второй системе организации труда больше, рабочий в среднем свободен от работы больше, а именно 0,3984 доли рабочего дня (было 0,3686 доли рабочего дня) . Приведенные примеры показывают, что развитая теория позволяет проводить полезные предварительные расчеты и выбирать более разумные приемы работы. 8 52.
Условные функции распределения и формула Байеса Для дальнейших выводов нам необходимо обобщить понятие условной вероятности, введенное в первой главе, на случай бесконечного множества возможных условий. В частности, нам нужно ввести понятие условной функции распределения относительно случайной величины. Рассмотрим некоторое событие В и случайную величину $ с функцией распределения г'(х). Обозначим через А„б событие, состоящее в том, что х — а<((х+р.
В силу определений первой главы Р(ВАсб) = Р(А б) . Р(В ! Аоб ) л (Е(х + б) — Е(х — а)) Р(В 1 А~а), откуда Р (ВАоб) Р(В ! Аоб) = Е(х + б) — и'(х — а) Предел Р(ВА„,) 1нп о,б о г(х+б) — Е(х — а) 51З й 52. Условныс распределения, формула Байеса если он существует *), называется условной вероятностью события В лри условии,.что $ = х, и обозначается символом Р(В ! х). Очевидно, что при х фиксированном Р(В ! х) будет конечно-аддитнвной функцией события В, определенной на некотором поле собьпий.
При некоторых условиях, которые практически всегда оказываются выполненными, Р(В ! х) будет обладать всеми свойствами обычной вероятности, удовлетворяющей аксиомам 1 — 3 й 8. Если г! — случайная величина и В означает событие г! < у, то функция Ф(у ! х) = Р(гу < у ! х), которая, как легко видеть, будет функцией распределения, называется условной функцией распределения величины г! лри условии, что $ = х. Очевидно, что если г (х, у) есть функция распределения пары случайных величин ( и П, то р(х+ р,у) — г(х — и,у) Ф(у ! х) = !пп о,а о г(х+(),')- г"(х — и, ) если только этот предел существует.
Если функция Р(В ! х) интегрируема относительно г (х), то имеет место формула полной вероятности Р(В) = /Р(В ! х) гП'(х). Для доказательства этой формулы мы разделим промежуток изменения величины $ точками х;(г = О, + 1, + 2, ... ) на интервалы ху < й < х;+г. Обозначим через А~ собьпие ху <1 < хггег. В силу расширенной аксиомы сложения имеем: Р(В) = Х Р(ВА;) = 2' Р(В ! Аг) (В(хг+г) — г(хг)). г .= с=в Станем теперь подразделять интервалы (хы хг„) на более мелкие таким образом, чтобы максимальная длина получившихся интервалов стремилась к нулю.
В силу определения условной вероятности и интеграла Стилтьеса отсюда получаем: Р(В) =3 Р(В ! х) гИ'(х). В частности, Ф(у) = Р (Л <у) = )'Ф(1 ! х)гК(х). (1) Если существует плотность распределения вероятностей величины л, то (у)=Ь (у!х)й(г(х), (1 ) где р(у ! х) — условнач плотность распределения величины гу.
еу Этот лрсдсл сушсствусг для почти всех значений х в смысле меры. опредсляемой функпией г !х). 3!4 Гл. 10. Теории стохвстических пропессов П р и м е р. В качестве примера использования формулы (1) рассмотрим следующую задачу теории стрельбы. При стрельбе по некоторой цели возможны ошибки двоякого рода: 1)в определении положения цели и 2) ошибки выстрела, происходящие от большо~о числа различных причин (колебания в величине заряда в снаряде, неправильности обточки стакана снаряда, ошибки в наводке, незначительные колебания атмосферных условий и т.д.). Ошибки второго рода носят название технического рассеивания.
Производится л независимых выстрелов по одному определению положения цели. Требуется определить вероятность хотя бы одного попадания в цель. Ради простоты мы ограничимся рассмотрением одномерной цели размера 2п, а снаряд будем считать точкой. Обозначим черезт'(х) плотность вероятностей положения цели и через р,.(х) плотность вероятностей для точек попадания 1тго снаряда. Если центр цели находится в точке т, то вероятность попадания в цель при !'-м выстреле равна вероятности попацания в интервал (т — и, т е и), т.е. равна *) г+а ре(х)с(х. г — а Условная вероятность промаха при 1-м выстреле при условии, что центр цели находится в точке г, равна г+а 1 — )' 1с. (х) г1х.
г- а Условная вероятность промаха при всех л выстрелах (при том же условии) равна и г+а П (1 — )' д,(х)т!х). 1=1 г — а Отсюда заключаем, что вероятность хотя бы одного попадания, при условии, что центр цели находится в точке г, равна и г+а 1 П (1 —,/ рг(х) 1!х). 1=-1 а Безусловная вероятность хотя бы одного попадания в цель (по формуле (1) ), таким образом, равна и г еа Р= !т(г) 11 — П (! — ! тс.(х)1гх)!гтг. 1=1 г — а *! Мы поле~нем при зтпм. по ппрсвслсиис положении пели и юхничсскос ргсссивгние независимы, З15 а 52Ь условные распределения, формула Белеса Если условия стрельбы не изменяются от выстрела к выстрелу, то 1с.
(х) = = р(х) (1' = 1, 2,, л) и, следовательно, Р = Х)'(г) (! - (1 —,( ч (х) с)х)" ) с(т. с- а Пусть попрежнему А; обозначает событие х; < Е < хье 5 . Согласно классической теореме Байеса Р(Ае)Р(В ~ А;) Р(Ае ~ В) = Р(В) Если Р(х) =Р(е < х) иР[Е <х ! В) имеют непрерывные производные пох, то, пользуясь теоремой Т!агранжа, получаем: Р'(х1) Р(В ! А;) Р(А; ~В»=р (х; !В)(хе+1 — х) = (х~1 — хе), Р(В) где х; < х; < х;,ы х; < х; <хееы В пределе,когдах; — х, хс„-ех,получаем Р(х) Р(В ~ х» р (х~В)= Р(В) или р(х)Р(В ! х» р (х)В)= (2) ГР(В ! х»р(х)с)х Это равенство естественно назвать формулой Байеса, Пусть теперь собьпие В состоит в том, что некоторая случайная величи. на л принимает значение между у — а ну+ й н условная функция распределения Ф(у ~х) величины Л имеет при каждом х непрерывную плотность 1 р (у 1х) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
