Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 47
Текст из файла (страница 47)
См, об этом уже упоминавшуюся монографию Б.В. Гнеденко и А.Н. Колмогорова. В 48. Суммирование независимьгх случайных величин в случайном числе В разнообразных задачах практики приходится сталкиваться с задачей суммирования случайных величин не в заранее заданном, а в случайном числе. Приведем примеры. За смену в магазин приходит случайное число покупателей и сумма, на которую каждый из них делает покупки, также случайна, Выручка магазина за смену является суммой случайного числа случайных слагаемых.
Заметим, по число покупателей и суммы, которые они оставляют и магазине, представляют собой независимые случайные величины. Возвратимся к задаче, рассмотренной в й 38. Там речь шла о длительности безотказной работы дублированной системы с восстановлением. Внимательно разберемся в структуре величины à — длительное~и безотказной работы резервированной системы. Заметим, что Т в зависимости от случая может принимать различные значения, а именно. Г = $ з + $ з — сумма времен безотказной работы основного и резервного элементов, если Лз ) $з !восстановление основного элемента продолжалось дольше, чем проработал резервный элемент); з = е з + чз + аз ° если т1з < аз, но Пз > аз, т е восстановленный основной элемент проработал меньше, чем длился ремонт резервного элемента; вообще при и ~- 2 будет Г =чз + чз + ...
+ч„с вероятностью и" ~(1 — а) (первые и — 2 раз элемент восстанавливался прежде, чем работающий элемент отказывал, в последний же раз ремонт занял больше времени, чем проработал вступивший в работу элемент) . Мы вновь видим, что длительность безотказной работы дублированной системы с восстановлением представляет собой сумму независимых случайных величин в случайном числе.
Число слагаемых не зависит от значений, принимаемых слагаемыми и распределено по геометрическому закону. Теорема о сходимости к показательному распределению после только что сделанного замечания должна нами восприниматься как предельная теорема о сходимости функции распределения последовательных сумм случайного числа случайных слагаемых. Вот какую формулировку ей следует придать. Т е о р е м а.
Пусть случайные величины последовательности (е„) независимы, одинаково распределены с функцией распределения с (х) Гл. 9. Теория безгранично делнмых законов и математическим оэпсданием а ) О. Пусть, далее, (ги) — последовательность целочисленных случайных величин, причем ри имеет геометрическое распределение с параметром а„; Р(я„= сс) =(1 — и„) и„ Если и„-с 1, то функции распределения сумм (и $! ! чт + ° ~ чи сходятся к показательному распределению.
Рассмотрим следующую задачу: счетчик Гейгера (см. задачу 4, $ 8) начинает свою работу в момент времени О. Найти время его работы до первого пропуска частицы, Мы сейчас несколько обобщим условия задачи по сравнению с тем как она была поставлена в гл. 1. Предположим, что промежутки времени $ь между поступлениями пощседовательных частиц в счетчик независимы и имеют распределение Е(х). Длительность разряда, вызы. ваемого зарегистрированной частицей является случайной величиной Л„ с распределением С(х).
Все рассматриваемые и только что упомянутые величины независимы между собой. Обозначим через ! и длительность искомого промежутка времени. Легко подсчитать, что Ги = «! + $т + ... + $„, где и — случайная величина, независимая от $» и распределенная геометрически. Рассмотрим теперь последовательность (еиь) независимых и одинаково распределенных при каждом и случайных величин.
Введем обозначения Е„(х) = Р(сия < х), у'„(т) = (' есс~с(Е„(х), Рассмотрим далее неограниченно возрастающую последовательность целых положительных чисел (сси) и последовательность (я„) целочисленных положительных случайных величин, которые обладают тем свойством, что при каждом и величины я „независимы от („я, 1 < 1с < Наша цель состоит в выяснении условий, при которых сходимость функций распределения сумм (при и -'м) "и !и= т сс = 1 влечет за собой схоцимость функций распределения сумм (и — с ) 48. Суммирование в случайном числе Предложение, которое сейчас буде! доказано, носит название теоремы переноса. Теорема переноса. Еслиприп- А) Р( Х $л„< х) — Ф(х) ( рл Б) Р~ — < х -~ А(х) (причем будем считать, что А (+ О) = О.), то "л В) Р( л' С„Ь < Х) - !Р(Х).
ь=! Функция распределения чт(х) определяется через свою характеристическую функцию !(!(т) посредством формулы !(!(т) = ( и'(г) А(з), о где ч! (т) — характеристическая функция для Ф (х) ил До к а за тел ьство. Характеристическаяфункпиясуммы Е ь=! равна где р„; = Р(рл = /), Положим Ал(х) = Р(ал < х); тогда очевидно, что !(!„(О ) = (Хл(т)с(Ал(х). о Пусть теперь (и„ Ал(г) = Р~ — < х = Ал((слз)„ Гл. 9. Теория безгранично делимых законов 286 тогда ф (г) = ,( У (т)) «1А»(г ) О В математическом анализе известна теорема *), согласно которой, если последовательность равностепенно ограниченных непрерывных функций Ув (х) сходится к функции Х(х) во всех точках прямой, а монотонные ограниченные функции А„.(х) при всех х сходятся к функции А(х), то при н ) Ях)т1Аи(х) -~ 3'~(х)«1А(х).
о о В силу этой теоремы и условий А) и В) теоремы переноса при и ~ ~ Теорема доказана. Укажем теперь некоторые следствия из теоремы переноса. С ле дст вне 1. Пусть функция Ф(х) — безгранично делима и р(т)— ее характеристическая функция; тогда функция 1 Ит) = 1 — 1л Ф(т) являетса также характеристической (и, как позднее будет показано, также безгранично делимой ) . Действительно, мы знаем, что для любой безгранично делимой функции Ф(х) можно найти такую последовательность (К„) н независимых величин $„», что выполняется условие А) теоремы переноса. Выберем теперь такие и„, чтобы А(х) = 1 — е ". Это можно сделать многими способами, например, выбрав п„распределенными геометрически с соответственным значением параметра. Этим самым выполнено и условие Б) теоремы переноса.
«1 См. Д у б ров е к ай В.М. О некоторых свойствах впопнеаддюнвных функпий множеезва и их предеиьном переходе поп знаком ннтюрала б Изв. АН СССР Серия мат. — 1945. — Т. 9. — С. 311 — 3201 1947. — Т, ! 1. — С. 1О1 — 104. гвт й 48. Суммирование в случайном числе Тогда мы знаем, по, в силу В), функция 1 ф(г) 1- [ с(г)[ес(А(г) 1 е- е(1 — !о ес!))аг 1-. )л р(т) является характеристической. 1 В частности, если функция Ф(х) являешься нормальной (че(т) =е ' 12), то д(г) = Соответствующая ей функция распределения Ф (х) опре2+гз делается формулой ~ 0,5еи'~2 прн х < О, !р(х) = 1 — 05е 'ч'2 лрн х > О. Обычно распределение Лапласа определяют, указывая его плотность распределения.
В нашем случае она равна р(х) = е Позднее мы увидим, что при А(х) = 1 — е ' распределение Лапласа при суммировании до случайного индекса играет такую же роль, как и нормальное распределение в классической постановке предельных теорем для сумм одинаково распределенных независимых слагаемых. С л е ц с т в и е 2. Условия, при которых функции распределения сумм тл СЛ! + СИ2 + ° ° ° + Слал одинаково распределенных независимых слагаемых сходятся к предельному распределению Ф(х) достаточны для того, чтобы функции распределения сумм Гии Си! + Си2 + ° ° + сиги сходились к распределению Ф (х) .
Следствие непосредственно вытекает из теоремы переноса. С л е ц с т в и е 3. Пусть ($и) — последовательность одинаково распре- гь — а деленных независимых случайных величин и $иь —— , где дейсгвиВи тельные посгояннь|е а и В„) 0 таковы, что функции распределения сумм Гл. 9. Теория безгранично делимых законов 288 »л — 1 — — — 2; (С» — а) сходятся к Ф(х). Пусть, далее, выполнено услоВл, 1 вие Б) теоремы переноса.
Тогда при вделанная! выборе постоянных а и Вл 1 гл функции распределения сумм з„= — — 2' (»» - а) такхге сходятся Вл»=! Улргмнеяич 1. Доказать, что распрепеления а) Паскаля (упр. !а к гл, 5), б) Полив (упр 1б к гл. 5), в) Коши (прнмер 5 з24) безгранично делимы. 2. Доказать, что случайная величина с плотностью распределения при х < О, р(х) = а х е о — ! -дт Г(а) при х > О. где о > О, р > Π— постоянные, безгранично делима.
П р и м е ч а н н е. Отсюда, в частности, следует, что безгранична делимы распределения Максвелла и распределение х' (при любом значении я) . 3. Доказать, что каковы бы ни были постоянные о > О н й > О, з 1-о !е(г) =(1 + — ~ аз является безгранично делимой характеристической функцией. к предельной Ф(х). Следствие непосредственно вытекает нз теоремы переноса. Заслуживает внимания то обстоятельство, что прн всех возможных предельных распределениях А(х) нормнрующие множители В„н центрирующие козффициенты а могут быть выбраны раз и навсегда одинаковыми, 3 а м е ч а н и е В.Ф е л л е р а. На с. 642 второго тома замечательной книги В.Феллера "Введение в теорию вероятностей и ее приложения'* (Мл Мнр, 1984) имеется такое замечание: если в формуле (1) функция А(х) безгранично делима, то и функция Ф (х) безгранично делима.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
