Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 45
Текст из файла (страница 45)
- 1 ! + ! гх ! < ! гх ! + ! гх ! е э ! ! ! ° 1х ! поэтому !' + )'(ен» вЂ” ! — Вх) — 616„(х) ( < — в х' А - !е"' — 1 — йх ! < !. + )' —, с(6„„(х) < — В х А - 1 2!г! л < 2!г!( ) + 1 — В6, (х)) < ( Х + эсс6и (х)) < — в !х! " à — В 2 !г! < — шах 3'с16н„(х), Г ~<с<" где Г = ийп(!А!, В). Так как вариации функций 6„(н) равномерно ограничены, то, каково бы нн бьшо е ) О, мы можем, выбирая А и В достаточно большими, добиться выполнения неравенства ! А е )'(»нх — ! — 1гх) —,с)6иа( ) / <— (б) — В для всех г, заключенных в каком-либо конечном интервале, и для всех й.
Гл. 9. Теория безгранично делимых законов 270 по определению интеграла Стилтьеса является пределом сумм пх Е (е ' — 1 — 1(х,) —, (6(х„1) — 6(хе)) а=1 х,' где х, = е, х„„= 1!е, х, < х, < хе + 1, и шах(х„, — хз) - О. Каждое слагаемое этой суммы является логарифмом характеристической функции некоторого закона Пуассона. Согласно теоремам 2 и 3 интеграл (6) является логарифмом характеристической функпии некоторого безгранично делимого закона. Переходя к пределу при е -'О, мы убеждаемся, что то же самое имеет место для интеграла 1 / (еих — 1 -- 1гх) —, 176(х) . х>о х' (7) Подобным же образом доказываем, что ннте1 рал 1 (е"х — 1 — 17х) —, Й6(х) хко х есть логарифм характеристической функции некоторого безгранично делимого закона. Интеграл, стояший в правой час~и формулы (!), равен сумме интегралов (7) и (8) и величины з 1'7 г — — 1 (6 (+0) — С ( — 0) ) .
Из (4) и (5) следует, что, каково бы ни было е > О, для всех г,заклю- ченных в произвольном конечном интервале, при достаточно больших л имеет место неравенство 1 о. ! ((е"х — 1 — 17х) —, е(6„„(х) — ((ее™ вЂ” 1 — 1гх) —, 116(х) ! < е, т.е.„иными словами, 1ппг)'(еегх — ! — йх) — е(6еа(х) = 1 (ее™ вЂ” 1 — 1гх) — - е(6(х), а-. х' х Мы доказали, таким образом, что логарифм характеристической функ- ции любого безгранично делимого закона может быть записан в виде (1). Нам предстоит теперь доказать обратное предложение, что всякая функ- ция, логарифм которой представим по формуле (1), является характе- ристической функцией некоторого безгранично делимого закона.
Длялюбого е (0< е < 1) интеграл ! 1" (еегх — 1 — 1гх) — 116 (х) (6) е х' ттз а 43. Каноническое прелстлвленне Последнее слазаемое есть логарифм характеристической функции нормального закона. Из теоремы 2 следует, что функция у(г), представимая формулой (1), является характеристической функцией некоторого безгранично делимого закона ч) . Нам остается теперь убелиться, что представление 1п р(г) формулой (1) единственно, т.е. что функция С(х) и постоянное Т однозначно определянзтся з ад а н не м р(г). Путем дифференцирования формулы (1) находим, что ,(г — 1л тэ(г) = - 1 Р г(6 (х) сй (9) Из теории характеристических функций мы знаем, что функция С(х) (2 в этой формуле однозначно определяется через — 1пзэ(г).
В процессе с(г доказательства теоремы мы вид ли, что пос~оянное Т является математическим ожиданием н, значит, так же однозначно определяется посредством функции р(г). Отметим. наконец, вероятностный смысл полной вариации функции С(х). Мы знаем, что если случайная величина е распределена по закону ф(х), то (см. (6) й 33) ,(з 0$= — ~ —, !п р(г) из (9), следовательно, намекает, что О~ = ) с(С( ) = С(+ (О для х( О, 7=а и С(х)= о' для х) О "1 Мы талька чга доказали, чта всакий безгранично деллмый закон является либо кампозипией копечнога числа законов Пуассона и нормального закона, либо пределом равномерно схпллпкйсл последовательности тзких законов.
Таким образом, мы випми, что закалы нормальный и Пуассона являются теми основными элементами, из которых составлен каждый безгранично делимый закан. В качестве примеров мы приведем каноническое представление норма зм ного закона и закона Пуассона. для нормального закона с дисперсией пз и математическим ожиданием и Гл. 9. Теория безгранично лелкмых законов 272 Действительно, эта функция и постоянное Т приводят к данному закону„ так как 1 ) (ессх — 1 — йх) — дС(х) = 2 е"" — ! ни т о 1ип — — — [С(90) - С( — О)) = — —, и о и 2 а в силу единственности канонического представления другие функции С (х) не могут дать нормального закона.
Подобным же способом легко убеди~ься, что закону Пуассона с характеристической функцией л(гиа-с) сьс соответствует функция С(х) с единственным скачком в точке а: (О при х< а, С(х) = (а'Л при х>а и Т=Ь+аЛ, 4 44. Предельная теорема для безгранично делимых законов Мы уже знаем, что если последовательность безсранично делимых законов распределения сходится к предельному закону распределения, то этот предельный закон сам является безгранично делимым Теперь мы укажем условия. при выполнении которых данная последовательность безгранично делимых функций распределения будет сходиться к предельной.
Т е о р е м а 5. Ллл того чтобы последовательность (Фл(х)) безгранично деличых функций рагиределения гходилагь ири п -ч к некоторой функции рагпреде.сения Ф(х) и дисперсии их сходились к дисперсии предельного закона, необходимо и достаточно, ~тобы существовали такие постоянное т и функцич С(х) . для которых ири и 1) Сл(х) сходится в основном к С(х) ( —:- х ~ + ).
2)С()С(), З) Т„ гдс ул и Сн(х) определяются формулой (1) ьч 43 для закона Фл(х), а посточнное у и функция С(х) опредвсяют ио той ягс форму и' прсдельный закон Ф(х). Доказательство. Достаточность условий теоремы является непосредственным следствием второй теоремы Хеппи. Действительно. из 44. Предельная теорема гтг условий теоремы и формулы (1) ьа 43 следует, что при л -ь !ньен(г) ь 1пье(г) равномерно в каждом конечном интервале г. В предыдушем параграфе мы видели. по интегралы )"тт'6н(п) и ) гУ6(и) равны дисперсиям законов Фн(х) и Ф(х); поэтому второе условие теоремы есть не что иное, как требование сходимости дисперсий.
Пусть теперь нам известно, что при л- Фн(х) -ь Ф(х) 6 ( )=6( ). Для зтого установим сначала, что 1 за =)'(еттн — 1 — !гн) —,г)6„„(и)— ! У =)'(енн — ! — пи) —,д6 (и) и (2) при К -~ ° . Пусть А < О и В > 0 — точки непрерывности функций 6 (и); тогда по второй теореме Хеппи при К -ь )' [елн — 1 — 1Ш) — с)6н (и). ) (еьы — 1 — тти) — т)6 (и). (3) С другой стороны, нз неравенства 1ен' .- 1 — ггх1( 21гх! и дисперсии законов Фя(х) сходятся к дисперсии предельного закона Ф(х). Мы докажем, что эти требования влекут за собой выполнение условий теоремы. В отношении условия 2, как мы только что заметили, это не требует дополнительных рассуждений. Отсюда следует, что полные вариации функций 6н(и) ограничены в совокупности.
Мы можем, следовательно, воспользоваться первой теоремой Хелли и из последовательности функций 6н(и) выбрать подпоследовательность 6па(тт). сходяшуюся лри К -ь е к некоторой предельной функции С (и). Наша цель состоит в том, чтобы доказать равенство Гл. 9. Теория безгранично делиыых законов 274 мы видим, что ). +((егев 1 1 ) 1С ( )! — в и' А ( 2171~ )' + ) — Ж;ль(и)~ ( — в 1и1 А 2171 ( — ( 1 + ) е(С„(и)) ( — ) ЫС„(и), г где Г = пцп(-А, В).
В силу ограниченности вариаций функций С„(и) в совокупности лля любого е > О можно подобрать столь большие по абсолапной величине А и В, что та( е. (4) Точно так же при любом е > О,для достаточно больших по абсолютной величине А и В имеетместонеравенство А 1 + ( [ели — 1 — 1пе) — е1С (и) ~ ( е — в и (5) Соотношение (2), таким образом, показано. Из (1) видим, что 1 1пп 1пул(1) = 1йп (гУлт+)'(еив — 1 — йи)- —,ВС„(и)) = л л и 1 = 1п~о(г) =17г е.((сии — 1 — ии) — е)С(и), ипн 1 1лн ( гу„+ )' (ел" — 1 — Ои) —, НСла(и)) л ги' = гу + ((еи" — 1 — тйе) — АС(и) .
ги' Из неравенства ил 1 1 1( 7 з12 и ограниченности в совокупности полных вариаций функций Св„(и) Из соотношений (3), (4) и (5) выводим, что„каково бы ни было е > О, при достаточно больших значениях и 12а — У 1( 3е. 275 е 44. Предельная теореме заключаем, что при г - 0 1 и 1 !1(е'~" — 1 --Йи) — 46и„(и)( ~ ( г) (е™ вЂ” 1 — Пи) — б6(и)~ 0 равномерно по п. Поэтому при г -гО (6) дает: (7? 11 7„, л7, е- а, с дру~ой стороны, по (2) и (7) ! 1пзе(г) = 17! + 1 (е — ! — яег) г16 (и).
и' 1пп 6„е„(и) = 6(и). Это противоречит сделанному нами допущению. Таким образом, во всех точках непрерывности функции 6(и) !пп 6„(и) = 6(и); и как мы видели, отсюда немедленно следует, что 1! 7л=7. л Теорема доказана. В силу единственности представления безгранично делимых законов формулой (!) й 43 мы заключаем, что 6 (и) = С(и). Итак, любая сходящаяся подпоследовательность функций 6„ь (и) сходится к функции С(и) и одновременно постоянные 7„„сходятся к 7. Теперь легко цоказать, что вся последовательность 6„(и) также сходится к 6(и) и, значит, одновременно 1гго 7„= 7. Если бы это было не так, то нашлась бы точка непрел рывности функций С(и), назовем ее с, и подпоследовательность функций 6„„(и), которая в точке и = с при й -гее сходится к числу, отличному от С(с), .По первой теореме Хелли мы можем из этой подпоследовательности выбрать сходящуюся подпоследовательность 6ль (и) .
г Из предыдущего следует, что во всех точках непрерывности функции 6(и) Гл. 9. Теория безгранично лелнмых законов 27Ь й 45. Постановка задачи о предельных теоремах для сумм Дана последовательность серий »!1, »12, , »!Я,, 1 »21»22»7!Сс »л1' »л2' ' ' ' ' »л!'и' где ». — М»ь ль ьl Х О», !с=! (! < й(л; л=!,2,. ) В теоремах Бернулли, Чебышева и Маркова о законе больших чисел мы также имели дело с последовательностью серий, в которых в качестве»л, взяты величины »„— м»„ »л !с л независимых в каждой серии случайных величин. Спрашивается, к каким предельным функциям распределения могут сходиться функции распре- деления сумм зл»л!»и2 ' ' »леи при и - и каковы условия этой сходимости? В дальнейшем мы ограничимся изучением элементарных систем, т.е.
последовательностей серий (1), для которых выполнены следующие ус- ловия: 1) величинь!»л„имеют конечные дисперсии, 2) дисперсии сумм ('„ограничены не зависящей от л константой С, 3) Дл = шах О»„„-сО при п !ньсьч Последнее требование означает, что влияние отдельных слагаемых на сумму становится все меныпе и меньше с возрастанием и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
