Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Если,г(г,, г,,..., г„) характеристическая функция, а Е(х,, хз, ..., хн) — функция распределения случайной величины гЗ7 й 37. Многомерные характеристические функпии (Я г, )з,..., $л), го Р(аа < га < Ьа. й = 1,2,...,п) = 1 т т етгаеа езгаь» 1нп — — 3' 7' ... — Х т (2л)н — т — г й„ Х У (Гз ° Гя)итгдтз отл где аг, и Ьь — любые вещественные числа, удовлетворяющие единственному требованию: вероятность попадания на поверхность параллелепипеда аь < еь < Ьг, (7с = 1, 2,..., п) равна нулю. Точно так же, как и в одномерном случае, имеют место прямая и обратная предельные теоремы дпя характеристических функций. Мы не будем на атом останавливаться.
П р и м е р 3. Говорят, что пмерная случайная величина (Г г, йз,..., Ся) имеет нееырозяденное (собственное) п-мерное нормальное распределение, если ее плотность распределения имеет вид 1 — — И», « .,«~) р (х,, х,,..., х„) = Се где Я (хз хз ° .. хл) Е Ьб (хг ' а ) (ху а') 7,7 — положительно определенная квадратичная форма, С аг и Ьб — действительные постоянные. Несложные подсчеты показьгваюта), что С = ( „/2п )" и ЪIВ, где Ь„Ь„... Ьчи Ьаз Ьтз ... Ьал 27 = Ьнг Ьят ' ' .
Ьои «) Обычггьгй прием при подобного рода подсчетах заключается в том, что заменой переменных приводят форму 12 к сумме квадратов и все вычисления производят в новых переменных. Гл. 7. Характеристяческне функции 238 Обозначим через РО минор Р, соответствуюший элементу Ь;|, тогда Рб Мс.= а, о = 0$.= — (1= 1,2,...,и), | |' | | Р аа ($| — а|) (С| — а;) РО |;" = — (б | = 1,2,...,п). о;о, ,|Р|,РЛ Определитель Р и главные миноры его положительны. Обычными подсчетами легко проверить, что характеристическая функция величины Д,, ст...., С„) равна н | л н | Е а П вЂ” — — Х Е а|ааОагрь 2'(г,, |,, ..., г„) = е '=' Таким образом, п-мерное нормальное распределение вполне определяется заданием математического ожидания и дисперсии, Из выражения для характеристической функции п.мерной нормально распределенной случайной величины мы видим, что распределение величины Ж,, Ь...Ь„) при любых 1 < |, < Гз « ...
|ь < п будет |с-мерным нормальным распределениемм. а 38. Преобразование Лапласа — Стнлтьеса Для случайных величин, которые принимают только неотрицательные значения, во многих случаях предпочтительнее, чем характеристическими функциями, пользоваться преобразованиями Лапласа — Спглтьеса. Пусть случайная величина 1 — неотрицательная и с (х) — ее функция распре.
деления. Преобразованием Лапласа — Стилтьеса для Р(х) называется интеграл ,((з) = ( е '"с(г(х). -о Преобразование Лапласа — Стилтьеса обладает рядом полезных свойств, в значительной мере повторяющих свойства характеристических функций. 1. Преобразование Лапласа — Стилтьеса является аналитической функцией в правой полуплоскости; для него нечетные производные отрицательны, а четные — положительны; 2.У (0) = 1, 3. Функция распределения однозначно определяется по своему преобразованию Лапласа — Стилтьеса; 239 8 38. Преобразование Лапласа — Стнлтьееа 4.
Чтобы последовательность функций распределения сходилась в каждой точке непрерывности, необходимо и достаточно чтобы последовательность их преобразований Лапласа — Спглтьеса сходилась равномерно в каждом конечном отрезке аргумента; 5. Преобразование Лапласа — Стилтьеса суммы независимых случайных величин равно произведению преобразований Лапласа — Стилтьеса слагаемых; 6,Г<">(О) =( — 1)" ( х"гУЕ(х). — о Приведем преобразования Лапласа — Стилтьеса дпя некоторых распределений, 1.
Единичное распределение: Р(х) = 0 при х < а и Е(х) = 1 при х ) а; ,Г(г) = е-". 2. Показательное распределение; Р(х) = 1 — е Л" при х аь 0; >) Лз) = Лез р"х 3. Гамма-распределение: Р' (х) е а", а и )) — положитель. Г (а) ные постоянные; Ль -л е 4. Распределение Пуассона: рь = ', й = 0,1,2, )с! г(з) е — лΠ— е ) 5.Геометрическое распределение: рь = Р (е = й) =Чр, )с = 01, .
У(з)=,, е) =1-р. 1 — ре' ' Проиллюстрируем использование теории преобразований Лапласа Стилтьеса на примере одной технической задачи. Мы начнем изложение с одной прикладной задачи. Она позволит нам понять важность развития теории суммирования случайного числа слагаемых для прикладных областей знания, а, следовательно, и для теоретической науки. Гл. 7.
Характеристические функнии В современном инженерном деле одним из важнейших свойств технических систем принято считать их высокую надежность, т.е. способность длительное время выполнять без ущерба для дела положенные рабочие функции. Ддя увеличения надежности технических устройств используется широкий спектр мер, в том числе так называемое резервирование с восстановлением. Предположим, что А, представляет собой или техническую систему в целом или какой-нибудь ее элемент.
Для увеличения ее надежности мы подключаем точно такое же устройство А„которое принимает на себя рабочис функции в момент, когда А, исчерпывает свой рабочий ресурс (отказ элемента А,). В момент отказа А~ немедленно 1)А, отправляется на ремонт (восстановление рабочих функций) и 2) подключается в работу элемент А„который и берет на себя всю рабочую нагрузку.
Спрашивается, какой эффект дает резервирование (введение дополнительного элемента Аэ) и восстановление отказанших элементов, если после ремонта восстановленный элемент немедленно передается в резерв? Ддя решения этой задачи нам придется сделать некоторые предположения. А именно мыпредположим, что 1) длительность безотказной работы представляет собой случайную величину с функцией распределения Р'(х); 2) оба элемента А, и Ат обладают одинаковыми техническими данными и после ремонта полностью восстанавливают свои рабочие свойства: 3) длительность восстановления 77 является случайной величиной с распределением С (х); 4) отказавший элемент после отказа немедленно начинает ремонтироваться; после восстановления элемент немедленно переходит в резерв. Обозначим через 1 длительность безотказной работы пары элементов А, и А, и через Ф(х) ее функцию распределения. Заметим, что под безотказной работой пары элементов мы понимаем период от начала работы до момента, когда оба элемента окажутся в состоянии отказа.
Наша ближайшая задача состоит в том, чтобы вывести уравнения дпя неизвестной функции Ф(х). Нам будет удобно искать не функцию Ф(х), а функцию Ф (х) = 1 — Ф(х). И вообще для функции распрецеления РГ (х) введем обозначение Р1 (х) = 1 — г Г (х) =Р (е > х) .
Событие 1' ~ х может наступить двумя принципиально различными способамн: во-первых, может случиться, что элемент А7 сам проработает время большее, чем х, а, во-вторых, А, может отказать до момента х, но система, состоящая из А, (направленного на ремонт) и Ат (взявшего на себя нагрузку), проработает безотказно оставшееся до момента х время. Обозначим через ьэ (и) вероятность того, что только что описанная еноте.
ма проработает безотказно время, большее и. Собрав все вместе, мы 241 В ЗВ. Преобразование Лапласа — Стилтьеса получаем следующее равенство: Ф (х) = Г(х) + ) ео(х — г) йР(г). о (2) Полученного равенства для решения стоящей перед нами задачи недостаточно, поскольку при его составлении мы ввели дополнительную неизвестную вероятность оэ.
Для ее определении составим новое уравнение. Найдем оэ (х) . Здесь также мажет случиться, что интересующее нас событие может наступить двумя различными путямн: описанная нами система проработает больше, чем время х, поскольку элемент Аз проработает время большее х; элемент А, откажет до момента х, но до э~ого момента будет восстановлен элемент А, и система, состоящая из отказавшего элемента Аз и вступившего в работу отремонтированного элемента А,, проработает по меньшей мере до момента х. Сказанное приводит нас к ра- венству оэ(х) = г" (х) + Г ш(х — г) С(г) сЖ(г).
о (3) Для решения полученных уравнений мы воспользуемсяпреобразованиями Лапласа — Стилтьеса. С этой цельювведем в рассмотрение преобразо- вания ЕЗ(5)= / Е з" НФ(Х), 2'(5)= ) Е "С1Г(Х), о о оз(5) ) е — ех с~оэ (х) п(5) — ) е-з» 6 (х) с1г (х) о о В терминах этих преобразований уравнения (2) и (3) принимают следующий вид: Ф(5) =) (5) оэ(5), ш (5) =У (5) — В(5) + оэ(5) Х(5) Из них находим г (5) — Я(5) ч (5) =Х(5) 1-К(5) (4) Формально задача решена, поскольку мы нашли преобразование Лапласа — Стилтьеса распределения Ф (х) н, значит, по формуле обращения можем найти и саму функцию Ф(х).
Однако полученный результат позволяет получить многочисленные следствия, на которых мы остановимся Гл. 7. Характеристические функции 24? Мы сейчас ограничимся определением средней цлительности безотказной работы системы с резервом.
Из формулы (4) находим й ) Г'(5) 1(5) -К'(5) К'(5) + + у(5) т (5) 5 (5) — фт) 1 — ф(5) Отсюда„положив 5 = О, приходим к равенству 1 ч '(О) = -1'(О) ~1 + 1 — я(0)! Но мы знаем, что Т= Му = -и (0), а = ) ЫР'(х) = -5 (0) о и что а = 1 -«(0) = ) 6(х)Ы'(х) о есть ни что иное как вероятность того, что лпительность восстановления окажется больше, чем длительность безотказной работы элемента. Таким образом, 1~ Т=а 1+ — ). (5) (1 Р ~ —" >х -~е " при хсиО (л-~ »). Из этой формулы мы видим, что среднюю длительность безотказной работы дублированной системы можно повысить двумя различными путями: 1) увеличивать среднюю длительность безотказной работы элементов, 2) уменьшать продолжительность ремонта. Как правило, первый способ достается большой ценой, тогда как второй — нуждается только в хорошей организации работ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
