Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Тогда при и- Р— -+ р =1. Заметим, что теорема Бореля является простейшим частным случаем теоремы А.Н. Колмогорова об усиленном законе больших чисел; здесь же дана только иная формулировка этого частного случая, отличная от общей формулировки теоремы 5 30. ааи '14 Доказательство. События — — р-Ои~ — — р) -О,очевиди и но, эквивалентны.
Введем, как это мы уже неоднократно делали, вспомогательные величины ц;, равные числу появлений собьпия А при бм испьпании. Находим,что (д ч 1 л и и и М~ — -р) = — „Б Х Х Х М(дг-Ир; — р) (иь — р)(и — р) п и" а=а 1=-1 и=1 1=1 Элементарный подсчет показывает, что /и ~а ро 2 М вЂ” — р = — [и1р'+ц')+Зрц(и' — и)) < —, и п 4па Согласно лемме Чебышева Р~ — — р 1 — <гМ вЂ” — р < —,, Отсюда мы заключаем о сходимости ряда Х Р вЂ” — р Применение предыдущей леммы доказывает наше утверждение.
Л е м м а 3. Если событие Е эквивалентно совместному осуществлению бесконечного числа событий Е„Ет,... Е=Е,Е,... и каждое последующее событие Е„+, влечет за собой предыдущее Еао го Р1Е) = 1пп Р(Е„) Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, событие Е, можно двумя следующими способами представить в виде суммы несовместимых событий: Еа = ЕаЕз+ЕтЕэ+ +Е -тЕ + Ел з 31, Теорема В.И.
Гливенко и Ьз =Е,Е2 + Е,Ез+ ..+Еп-1Ел+ЕлЕп+1+ ЬЕ. Отсюда Р(Е,) = Р(Е1Ё2)+ Р(Е2Ез) + . +Р(Еп — збп) + Р(Ел) И Р (Ез) = Р(Е1Е2) ь Р(Е2Ез)+ ° ° ° + Р(Ьл — 1Ел) + + Р(ЕпЕп+,) + ... + Р(Е). Сравнение последних двух равенств приводит нас к соотношению Р (Ь')= Р(Е„) — Х Р(ЕьЕь+1), ь=л Так как вычитаемое в правой части есть остаток сходящегося ряда, то Р(Е) = 1пп Р(Еп). л Л е м лз а 4. Если калсдое из событий конечной ияи бесконечной последовательности Е,, Ез,..., Еп,, ..
имеет вероятность, равную единице, то вероятность их совместного осуществления такясе равна единице. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим сначала два собьпия Е, и Ез, для которых Р(Е1) и Р(Е ) = 1. Так как Р(Е ьЕ2) = Р(Е,)+ Р(Е ) — Р(Е1Е2) и Р(Е, +Ь;) =1, то Р (Ь1Ь2) Отсюда заключаем по индукции, что для любых л событий, для которых Р(Е,) = Р(Е2) = ... = Р(Еп) = 1, выполняется также равенство р (Е1Е2 ... Еп ) —" 1.
Иусть теперь имеется бесконечная последовательность событий Е,, Ез, . Еп,...,для которых Р(Е1) = Р(Е2) = ... = Р(Еп) = ... = 1. Так как очевидно, что Е, Ез Кз ... = Е, (Е, Ез )(Е1 Ь 2 Ез ) .. Гл. 6. Закон Еольсннх чисел и каждый последующий множитель в правой части равенства влечет за собой предыдущий, то согласно предыдущей лемме Р(Е,ЕзЕ,...)= !пп Р(Е,Ет...Е„) . Это равенство доказывает лемму. Т е о р е м а Г л.
и в е н к о, Пусть Е(х) — функция распределения случайной величины $ и'Е„(х) — эмпирическая функиия распределения результатов и независимых наблюдений над величиной $. Тогда при и -« Р ( апр ! Е„(х) — Е(х) 1 -+ О) = 1. Сс< Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через х„«наименьшее х, удовлетворяющее неравенствам Е(х — О) = К(х) < — < Е(х+О) (1с = 1,2,,г). г Пусть А означает событие, состоящее в том, что $ ( х„» . Ясно, что Р(А) = Е(х„«). Р(Е„(х„«) Е(хч»)) = 1. ч (6) Пусть теперь Е» есть событие, состоящее в том, что прн и— Е,(ху») -+ Е(х„») (1=1,2,..., г) Ес Ес Ес Ег ! 2 ° .. Ясно, что событие Е' равносильно тому, что лри п -« п1ах ~ Е„(хо») — Е(х„„) 1 -' О.
1С»сс Так как согласно (6) Р(Е() = Р(Ез ) = ° . = Р( Ег ) = то в силу леммы 4 Р( Е" ) = 1. Пусть далее Е ЕсЕгЕз Так как частота появления события А равна Ен (х, «),то по теореме Боре- ля (лемма 2) Упражнения Согласно лемме 4 Р(Е ) = 1. Обозначим, наконец, через Я событие, состоящее в том, что при и апр 1 Еп (х) — Р(х) ! — О. <х< Для любого х, заключенного между х„„и х„а+1, выполняются неравенства з'л(ХП/с + О) ж з'л(Х) з'п(Хт,а+1) и Е(хая+О) «:. Г(х) <Е(хоае1), причем 0< Нх„а,1) — Р(х, „+О) < 1/г. Отсюда мы заключаем, что Еп(хт а + О) — Г(хо а+1) 4 гл(х) — Р(х) < < Е„(х, а+, ) — Е(х„„+ О), т.е.
что !Еп(х) — Р(х)1 «; щах ~ Ея(хая) — Р(х, а)! т 1'(г 1«а«т и что, следовательно, апр !Ел(х) — Е(х)( « щах 1 Ел(х, 1,.) — Е(х, а)1 + 1/г, <х< 1«а«т Поскольку г произвольно, то из последнего неравенства вьпекает, что Е СЯ. Этим, очевидно, доказано, что Р( зпр ~ Е„(х) — Е(х) ! — О) =1. — « Упражнения 1. Доказать, что если случайная величина г такова, что ме существует (а > О— а( постоинная), та м е( ее 2.
Пусп 1'(Х) > Π— неубывающая функпня. Доказать, что если существует МЯ Г вЂ” МЦ), то Р(~1 — Ми >е) « 1(е) Гл. 6. Закон больших чисел 3. Последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин (41) определена равенствами а! р(4 2а-!л/с-2!л1в зс) !ь тл 2 ! буй((л46)= !й>2, С' = Х 11'!л' !с ~ 1с=з йз!л' !с / Доказать, что к указанным последовательностям закон больших чисел применим. 4. Доказать, что к последовательности независимых случайных величин ((л) таких,что Р((„=. )=Р(4„=-. )= !!2, закон большюс чисел применим тогда и только тогда, когда а < 0,5. 5.
Доказать, что если независимые случайные величины (4„) таковы, что шах 1 !х !с!Ра(х) О, когда А 1<асл !х1> А то к последовательности (ел ) применим закон больших чисел. 6. Используя резулыат предыдущей задачи, доказать, что если для последовательности независимых слУчайных величин (!'л) стнсествтют такие числа е > 1 и д что м ! е ! ч р, то к последовательности ((а) применим закон больших чисел (теоремы Ма!>коле), 7.
Дана последовательность случайных величин (рв), для которых 04л ч С, !111. О при ! ! — 1'! (Аг) — козффипиент коррелялии между 41 и 4 ). Доказать, по к данной последовательности применим закон больших чисел (теорема С.Н. Бернштейна) . ГЛАВА 7 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Мы видели в предыдущих главах, что в теории вероятностей широко используются методы н аналитический аппарат различных отделов математического анализа. Простое решение весьма многих задач теории вероятностей, особенно тех из них, которые связаны с суммированием независимых случайных величин, удается получить с помощью х а р а к т е р и ст и ч е с к и х ф у н к ц и й, теория которых развита в анализе и известна под именем пре о бразо ва ний Фурье.
Настоящая глава посвящена изложению основных свойств характеристических функций. а 32. Определение и простейшие свойства характеристических функций Характеристической функцией случайной величины е называется математическое ожидание случайной величины етсс *) . Если Р(х) есть функция распределения величины Е то характеристическая функция равна по теореме1 з22 лг) = )'ест'сР(х). Мы условимся обозначать в дальнейшем характеристическую функцию и соответствующую ей функцию распределения одними и теми же буквами, но только соответственно малой и большой.
Из того, что ~ е""! = 1 при всех вещественных г, следует существование интеграла (1) для всех функций распределения; следовательно, характеристическая функция может быть определена для каждой случайной величины Т е о р е м а 1. Характеристическая функция равномерно непрерывна на всей прямой и удовлетворяет следующим соотношениям: это) =1, ~Ф) ~ (1 (- <Г<. ). (2) е) г — действительный параметр. Математическое ожидание для комплексной случайной величины г + гп определяем как м г + тм и легко проверить, что теоремы 1,2 и 3 э 22 справедливы и в этом случае. 210 Гл.
7. Характеристические функаиа Д о к а з а т е л ь от в о. Соотношения (2) немедленно вытекают из определения характеристической функции. Действительно, по (1) т'(О) =,! 1 дР(х) = 1 1у(т) ( = ()' еи»дЕ(х) ) <)'1ег!»1дЕ(х) = )'дЕ(х) = ! Нам остается доказать равномерную непрерывность функции 1(!). С этой целью рассмотрим разность Г(! + Ь) у(!) ) е!т» (е!»ь 1) АЕ(х) и оценим ее по модулю. Имеем: ~1(! + Л) — 1( !) ~ < /'1 е"" — Н дЕ(х), Пусть е ) О произвольно; выберем столь большое А, чтобы ( дЕ(х) <— !»!>А А н подберем столь малое Ь, чтобы для ~ х1 < А ~ е'»" — 11< е/2. Тогда А 11(т+Ь) — у(!)1< )' ~ еы" — Н дЕ(х)+2 ( дяд<я — А !»! ЬА Это неравенство доказывает теорему.
Теорема 2. Если и = а3+ Ь, где аи Ь вЂ” ностолнные, то ) е!ь! где за(!) и 11(!) означают характеристические функции величин ли $. До к а за тел ь ство. Действительно, МеичМен1атчь)е!!Ьайе!гаге!ть(1(в!) Т е о р е м а 3. Характеристическан функция суммы двух независимых случайных величин равна нроизведению их характеристических функций. До к а за тельство. Пусть| ил — независимые случайные величины и Т = й + !1. тогда очевидно, что вместе с $ и л независимы также случайные величины е "~ и е'"".
Отсюда вытекает, что Мена = Ме!!11+а!=М(е!™ е"ч) = Ме™Ме!гч Это доказывает теорему. 2!! а 32. Определение в лростейшне свойства С л е д с г в и е . Если Ф=$ тйт+ причем каждое слагаемое независимо от суммы предыдущих, то характеристическая функция величины Р равна произведению характеристических функций слагаемых. Применение характеристических функций в значительной степени опираетсн на свойство, сформулированное в теореме 3. Сложение независимых случайных величин, как мы видели в 5 21, приводит 'к весьма сложной операции — композиции функций распределения слагаемых.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
