Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Найти математическое ожидание и дисперсию величины перемещения молекулы за время от!, по г (Π— постоинная). 182 Гл. 5. Числовые характеристики 9. Доказать, что для произвольной случайной величины Е, возможные значения которой находятся в промежугке (а, Ы, выполняются следующие неравенства а < Е < Ь, ОЕ < (Ь вЂ” а) (4. 10. ПУсть х,, )гг...., хл — возможные значениЯ слУчайной величины Е.
Доказать, что при л- а) МЕле (МЕ"- глаз х, б) ";4йЕ" щах хг. У ! 11. Пусть р(х) — функция распределения Е. Доказать, что если МЕ существует, то МЕ = / ]1 — Р(х) + Р(- х) ] Дх о и для существования МЕ необходимо и достаточно, чтобы Вга хр(х) = Вт х(1 — р(х)] = О. х 12. На отрезок (0,1) наулачу брошены две точки. Найти математическое ожидание, дИсперсию и математическое ожидание Л-й степени расстояния между ними.
13. Случайная величина Е распределена логарифмически нормально, т.е, при х > 0 плотность распределения Е равна — — (1и х — а) 1 3 2аз ха х(2я (р(х) = 0 прн х < 0). Найти МЕ и ОЕ. 14.Случайнан величина Е нормально распределена с параметрами а и а. Найти М]Š— ац л г 15. В ящике содсржитсн 2 билетов; номер( (г = О, 1, 2,..., л) обозначен на С„из них.
Наудачу вынимаются гл билетов, г — сумма их номеров; найти Мз н Оз. 16. СлУчайные величины Е„Е,,..., Е„+гл (л > гл) независимы„одинаково РаспРеделены и имеют конечную дисперсию. Найти козффициекг корреляции между суммами з=Е,+Е, +...+Ог и а=(га+г+Егл+2+ ° °" Еаг+а. 17. Случайные величины Е и н независимы и нормально распределены с одними и теми же парамстрамн а н а. Найти коэффициент корреляции между аЕ + рп и аŠ— Ьл, а также их совместное распределение (о и р — постоянные) . 18. Случайный вектор (Е, и) нормально распределен; МЕ = а, Мп = Ь, ОЕ = а,*, Оч = а*,, Л вЂ” козффнциенг корреляции между Е и и.
Доказать, что Я = соева, где д=р](Š— а)(Š— Ы< О]. !9. Пусть х, и х, — результаты двух независимых наблюдений над нормально РаспРеделенной величиной Е. Доказать, что м гпах(х,, х, ) = а + а(хггч, где а мЕ, а~ = ОЕ. 20. Случайный вектор (е. и) вормально распределен; Ме =Ма = С, Ое = Оп = 1, МЕп = Я. Доказать что /) -)т М глах (Е. Ч) = х( Упражнения (ВЗ 21. Неровнотой пряжи по длине волокна называется величина е — а Л е где я есть математическое ожидание длины волокна, я" — математическое ожидание длины тех волокон, которые болыпе а, а' — математическое ожидание длшеы тех вш локон, которые меньше а. Найти связь между величинами (если Е распределено нормально) а) Л,а,М!Š— ай б) Ла,о.
22. Случайные величины Е„Е„..., Е„... независимы и равномерно распределе. иы в (О, 1). Пусть ы — случайная величина, равная тому Е, при котором впервые сумма ай=Е, +4+. +Ее превосходит 1. Показать, что Ме = е. 23. Пусть Е - случайная величина с плотностзао распределения 1 1 Е я 1+я* Найти М пппб Е $, 1). (Задачи 22 и 23 сообщены мне М.И. Ядренко,) ГЛАВА 6 ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ й 27. Массовые явления н закон больших чисел Огромный опыт, накопленный человечеством, учит нас, что явления, имеющие вероятность, весьма близкую к единице, почти обязательно происходят.
Точно так же события, вероятность наступления которых очень мала (иными словами, очень близка к нулю), наступают очень редко. Это обстоятельство играет основную роль для всех практических вьюодов из теории вероятностей, так как указанный о п ы т н ы й ф а к т даст право в практической деятельности считать мало вероятные события и р а к ти че с к и н е в о з м о ж н ы ми, асобытия,происходящие с вероятностями, весьма близкими к единице, п р акт и че с к и до стов е р н ы м и. При этом на вполне естественный вопрос, какова должна быть вероятность, чтобы мы могли событие считать практически невозможным (практически достоверным), однозначного ответа дать нельзя.
И это понятно, так как в практической деятельности необходимо учитывать важность тех собьпий с которыми приходится иметь дело. Так, например, если бы при измерении расстояния между двумя селениями оказалось, что оно равно 5340м и ошибка этого измерения с вероятностью 0,02 равна или больше 20 м, то мы можем пренебречь возможностью такой ошибки и считать, что расстояние действительно равно 5340 хь Таким образом, в нашем примере мы считаем событие с вероятностью 0,02 практически несущественным и в своей практической деятельности его не учитываем. В то же время в других случаях пренебрегать вероятностями 0,02 и даже еще меньшими нельзя. Так, если при строительстве большой гидрозлектростандии, требующей огромных материальных затрат н человеческого труда, выяснилось, что вероятность катастрофического паводка в рассматриваемых условиях равна 0,02, то эта вероятность будет сочтена большой и при проектировании станции она должна быть учтена, а не отброшена, как это было сделано в предыдущем примере.
Таким образом, только требования практики могут нам подсказать критерии, согласно которым мы будем считать те или инью события практически невозможными или практически достоверными. В то же время необходимо заметить, по любое собьпие, имеющее положительную вероятность, как бы мала ни была эта вероятность, может произойти, и если число исльпаний, в каждом из которых оно может !вз а 27. Массовые явления и закон больших чисел произойти с одной и той же вероятностью, очень велико, то вероятность хотя бы однократного его появления может стать сколь угодно близкой к единице.
Это обстоятельство постоянно следует иметь в виду. Однако если вероятность некоторого событии очень мала, то чрезвычайно трудно ожидать его появления в каком-либо заранее определенном испытании. Так, если некто утверждает, что при первой же разцаче карт между четырьмя партнерами каждый получит карты только одной масти, то естественно заподозрить, что при раздаче руководствовались каким-то определенным соображением, например, расположили карты в определенном, известном сдающему, поряцке. Зта наша уверенность основывается на том, что вероятность такой раскладки при хорошей тасовке равна (9!) 4!/36! < < 1,1 10 ', т.е. чрезвычайно мала.
Тем не менее однажды факт такой раскладки карт был зарегистрирован. Этот пример достаточно хорошо иллюстрирует различие между понятиями практической невозможности и невозможности, так сказать, категорической. Из сказанного понятно, что в практической деятельности, ца и в обще- теоретических задачах, большое значение имеют события с вероятностями, близкими к единице или нулю.
Отсюда становится ясным, что одной из основных задач теории вероятностей цолжно быть установление закономерностей, происходящих с вероятностями близкими к единице: при этом особую роль должны играть закономерности, возникающие в результате наложения большого числа независимых или слабо зависимых случайных факторов. Закон больших чисел является оцним из таких предложений теории вероятностей и при том важнейшим. Под законом больших чисел теперь было бы естественно понимать всю совокупность предложений, утверждающих с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, что наступит некоторое событие, зависящее от неограниченно увеличивающегося числа случайных собьпий, каждое из которых оказывает на него лишь незначительное влияние. Зто общее представление о теоремах типа закона больших чисел можно сформулировать и несколько определеннее: пусть дана последовательность случайных величин с1 с2 ".
сл (1) Рассмотрим случайные величины !л, являющиеся некоторыми заданными симметрическими функциями от первых л величин последовательности !1): 1л =Ул!с3, Ет, се) Если существует такая последовательность постоянных а„аз, с .., л„, что при любом е ) 0 (2) 186 Гл. 6. Заков больших чисел то последовательность (1) подчиняется закону больших чисел с заданными функциями У'„. Обычно, однако, в понятие закона больших чисел вкладывается гораздо более определенное содержание.
А именно, ограничиваются тем случаем, когда у'„есть с р е д н е е а р и ф м е т и ч е с к о е величин $ „$з,..., $„, Если в соотношении (2) все величины а„равны одной и той же величи. не а, то говорят, что случайные величины р„схадягсл ио вероятности к а. В этих терминах соотношение (2) означает, что 㠄— а„сходится по вероятности к нулю.
Наблюдая единичные явления, мы наблюдаем их вместе со всеми их индивидуальными особенностями, затемняющими проявление .тех закономерностей, которые имеют место при наблюдении большого числа аналогичных явлений. То, что факторы, не связанные с существом всего процесса в целом, а проявляющиеся только в единичных его осуществлениях, при рассмотрении среднего из большого числа наблюдений взаимно погашаются, было замечено еще давно. Позднее этот эмпирический результат отмечался все чаще и чаще и притом, как правило, без попытки найти его теоретическое объяснение.
Впрочем, такое объяснение многим авторам и не требовалось, так как наличие закономерностей как в явлениях природы, так и в общественных явлениях для них было не чем иным, как проявлением правил божественного порядка. Некоторые авторы до сих пор обедняют содержание закона больших чисел и даже искажают его методологическое значение, сводя его попросту к наблюдающейся на опыте закономерности. На самом же деле непреходящая научная ценность исследований Чебышева, Маркова и других исследователей в области закона больших чисел состоит не в том, что они подметили эмпирическую устойчивость средних, а в том, что они нашли те общие условия, выполнение которых обязательно влечет за собой статистическую устойчивость средних.
Для иллюстрации действия закона больших чисел приведем следующий схематический пример. По современным физическим воззрениям любой газ состоит из огромного количества отдельных частиц, находящихся в непрестанном хаотическом движении. Про каждую отдельную молекулу нельзя предсказать, с какой'скоростью оиа будет двигаться и в каком месте она будет находиться в каждьй данньй момент времени. Однако мы можем рассчитать при определенных условиях, в которых находится газ, долю тех молекул, которые будут двигаться с заданной скоростью, или долю тех из них, которые будут находиться в заданном объеме. Но, собственно, именно это и нужно знать физику, так как основные характеристики газа — давление, температура, вязкость и пр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
