Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Этот результат может быть перенесен на л-мерные случайные величины. Можно доказать более сильное предложение, исчерпывающе характеризующее нормальное распределение вероятностей. Пусть на плоскости имеется н е в ы р о ж д е н н о е (т.е. не сосредоточенное на одной прямой) распределение вероятное~ей.
Вля того чтобы это распределение было нормальным, необходимо и достаточно, чтобы двумя различными способами Гн. 4. Случайные величины !4$ можно было на плоскости выбрать осн координат $ !Ост и и!Ола такие, что координаты $! и $а, так же как П! и Па, рассматриваемые как случайные величины с заданным распределением вероятностей, бьши бы независимы. э 22. Интеграл Стилтьеса Дальнейшее изложение существенно использует понятие интеграла Стилтьеса.
Для облегчения изучения последующих параграфов мы приводим здесь определение и основные свойства интеграла Стилтьеса, не останавливаясь при этом на доказательствах. Предположим, что в интервале (а, Ь) определены функция г'(х) и неубывающая функция Р(х) с ограниченной вариацией. При этом мы для определенности будем предполагать, что функция Ь'(х) непрерывна слева. Если а и Ь конечны, то разделим интервал (а, Ь) точками а = хе < х, < < хз « ... х„= Ь на конечное число частичных интервалов (х,, х!+!) и образуем сумму 2: )'(х!)[Р(х;) — Р(х! !)), 1= ! где х! — произвольное число, выбранное в сегменте (х!,, х,). Станем теперь увеличивать число точек подразделения, одновременно приближая длину максимального из частичных интервалов к нулю.
Если при этом написанная выше сумма стремится к определенному пределу в У = 1пп Е (((х!)(Р(х!) — Р(х! !)1, (1) и (=! то этот предел называется интегралом Стилтьеса от функции т (х) с интегрирующей функцией Р(х) и обозначается символом ь У = )Л.)~Ь(х). (2) Несобственный интеграл Стилтьеса, когда промежуток интегрирования бесконечен, определяется обычным путем: рассматривается интеграл по произвольному конечному интервалу (а, Ь); величины а и Ь произвольным образом заставляют стремиться к — и е: если при этом существует предел ь 11п! ( ((х)с)Р'(х), а а ь й 22. Интеграл Стилтьеса то этот предел называется интегралом Стнлтьеса от функции Г(х) по функции с (х) в промежутке ( —, ) и обозначается ),Г(х)дР(х).
Можно доказать, что если функция Г(х) непрерывна и ограничена, то предел суммы (1) существует, как в случае конечных, так и в случае бесконечных пределов интегрирования. В некоторых случаях интеграл Стилтьеса существует и для неограниченных функций 1 (х) . Для теории вероятностей рассмотрение таких интегралов представляет значительный интерес (математическое ожидание, дисперсия, моменты и пр.) . Заметим, что всюду в дальнейшем мы считаем, что интеграл от непрерывной функции Г(х) существует тогда и только тогда, когда существует интеграл от [ Г(х) [ с той эге интегрирующей функцией Р(х) . Для целей теории вероятностей важно распространить определение интеграла Стилтьеса на тот случай, когда функция т (х) может иметь конечное или счетное множество точек разрыва.
Можно доказать (см.В.И. Гливенка, Интеграл Стилтьеса, стр. 116), что всякая ограниченная функция, имеющая конечное или счетное множество точек разрыва, в частности, всякая функция ограниченной вариации, интегрируема при любой интегрирующей функции ограниченной вариации. При этом требуется несколько видоизменить само определение интеграла Стилтьеса, именно, при образова. иии предела (1) надо рассматривать только такие последовательности подразделений интервала интегрирования на части, что каждая точка разрыва Г(х) входит в число точек деления всех подразделений, за исключением, быть может, конечного числа их. Заметим, что при установлении пределов интегрирования важно указывать, включается в промежуток интегрирования или нет тот или иной его конец.
Действительно, из определения интеграла Стилтьеса мы получаем следующее равенство (символ а-О означае~, что а включено в промежуток интегрирования, а символ а + Π— что а исключено из него); Г (х) ЙР(х) = 11гп 2' /( х,) [Р(х,) — Р(х, 1)] = ь — е ь л 1пп Х 2'( х2) [Р(х2) — е(х2,)] + 1ип,Г( х, ) [р(х, )— н 2=2 ь — Р(хе)] = ] 1 (х) ар(х) + 1(а) [Р(а + О) — Е(а)].
а+ 0 Гн, 4 Случайные величины 150 'Таким образом, если у'(а ) Ф 0 и функция Р(х) имеет скачок при х=а, то у'(х)ЫГ(х) — ] 3 (х)ИГ(х) = )(а) (Г(а + 0) — Г(а — 0)]. аер а — р Это обстоятельство указывает на то, что интеграл Стилтьеса, распространенный на промежуток, сводящийся к одной точке, может давать отличный от нуля результат. Мы условимся в дальнейшем, если не будет сделано особой оговорки, правый конец промежутка исключать, а левый включать в интервал интегрирования.
Это условие позволяет написать следующее равенство: В самом деле, по определению, ( с(г"(х) = лщ Х [Ь"(хе) — Р(х;,)] = а 1=1 1ип ]г(ха) — Г(хр)] = Р(Ь) — Р(а) (напомиим, что Е(х), по определению, непрерывна слева и для нее, следовательно, Р(Ь) = !ип Р(Ь вЂ” е)). а В частности, если Р'(х) есть функция распределения случайной величины е, то ь ( г(Г(х) = Р(Ь) — Г(а) = Р(а < е < Ь), а )' с(Р(х) = Р(Ь) = РИ < Ь).
Если Р(х) имеет производную и является интегралом от нее, то из того, что по формуле конечных приращений Р(хе) — Р(хю е) =Р(хе)(хр — хе у), 151 1 22. Интеграл Стнлтьеса где х,, < х! < хт, следует равенство [ У(х)г1Г(х)= 1нп Х ~(х!)[Г(х!) — Р(х! !)] = л ю=! Вп! 2 2(х!)р(х!)(хг--х! !) = ) Х(к)р(х)с(х, л- г=! Мы видим, что в этом случае интеграл Стилтьеса сводится к обыкновенному интегралу. Если с (х) имеет скачок в точке х = с, то, выбрав подразделения так, что при некоторых значениях индекса ха < с < х„еа, имеем: ь а )'2(х)г)Г(х) = !ш! Х 2(х!)[с(х!) — с(х! !)]+ л г=! + 2(с)[с(ха„) — с(ха)]+ 1цп Х 2(х!)[с(х!) — Р(х! !)]= л !'=!с+ 2 [ 2 (к) г(Г(х) + [ ! (к)!1Г(х) + К(с) [Г(с + О) — Р(с — О)], г+ 0 В частности, если изменение функции с (х) происходит только в точках с!, ст " сл " то [ г'(х)!ттс(х) = Х 2 (сл)[с(с„т О) — Г(сл — О)] л= ! и интеграл Стилтьеса сводится к ряду.
Перечислим основные свойства интеграла Стилтьеса, которые нам потребу!ется в дальнейшем. Локазательства этих свойств легко могут быть проведены читателем, исходя из определения интеграла Стилтьеса и пользуясь рассуждениями, используемыми в теории обычного интеграла.
1.Прис<с, <с; « ...сл<Л р! с!т! [1(к)гтГ(х)= Х ) 1(х)г[Г(х) [с=се. 5=се+!] !=о Гл. 4. Случаалые велвчллы 2. Постоянный множитель выносится за знак интеграла )' с) (х)с(г(х) = с )' )'(х) е1г (х). 3. Интеграл от суммы функций равен сумме их интегралов л л Е Ях)ай'(х) = Х /)г(х)г(Г(х). а 1=1 а 4. Если)'(х) > О и Ь) а,то ь ),Г(х)е(л(х) > О. а 5. Если г", (х) и г г (х) — монотонные функции с ограниченным изменением, а с, и сг — произвольные постоянные, то ь ь ь ) )(х)е1(с,Ге(х)+сгсг(х)) =с, ) У(х)г(Ре(х)+сг ) Г(х)е(гг(х), а а а х 6.
Если г" (х) = )' г(и)леС(и), где с — постоянное, г(и) — непрерывная функция и С(и) — неубывающая функция с ограниченным изменением, то )'г (х)е1с(х) = ()'(х)г(х)ЫС(х), Использовав понятие интеграла Стилтьеса, мы можем написать общие формулы для функции распределения суммы г'(х) = 3 Р',(х — г)йьг(г) = 3 гг(х — г)егг,(г) двух независимых слагаемых, а также частного— 42 г(х) = (тг,(хг)агг(г) + / (1 — Г,(хг))йй",(г) независимых случайных величин Е, и Е г в предположении, что Р(ег =О) =О. 153 упражнения Упражнения 1.
Доказать, что если Г(х) — функция распределения, то при любом Ь Ф 0 функции х+л «+л 1 1 Ф(х) = — ) р(х)с(х, Ф(х) = — ) Р(х)ах Ь 2Ь х х — я также являются функциями распределения, 2. Случайная величина 1 имеет р(х) своей функцией распределения (р(х) — плотносп распределения). Найти функцию распределения (плотность распределения) случайной величины. а) я= а(+ Ь, а и Ь вЂ” вещественные числа; б) л= Г' (Р(1 = 0) = 0 в) ч=гй(; Г) п=соэ1; д) л = 1(1), где 1 (х) — непрерывная монотонная функция без промежутков постоянства. 3.
Из точки (О, а) проведена прямая под углом Р к оси Оу. Найти функцию распределения абсциссы точки пересечения этой прямой с осью Ох, если а) угол Р равномерно распределен в промежутке (О, л/2), б) угол Р равномерно распределен в промежутке (-л/2, л/2). 4. На окружность радиуса )1 с центром в начале координат наудачу брошена точка (иными словами, полярный угол точки попадания равномерно распределен в проме- жутке ( — л, л)1. Найти плотностьраспределения а) абсциссы точки попадания, б) длины хорды, соединяюшсй точку попадания с точкой ( — и, 0), 5.
На отрезок оси ординат между точками (О, 0) и (О, й) наудачу брошена точка [т.е. ординазв этой точки равномерно распределена в промеясутке (О, А) ). Через точ- ку попадания проведена хорда окружности х* + у' = Я», перпсндикулярнав к оси Оу. Найти распределение длины этой хорды. 6. Диамезр круга измерен приближенно. Считая, что его величина равномерно рас. прсделена в отрезке (а, Ы, найти распределение плошади круга.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
