Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 24
Текст из файла (страница 24)
В качестве примера л-мерной случайной величины, имеющей плотность, приведем величину, равномерно распределенную в л-мерной области С. Если через 1' обозначим л-мерный объем области С, то плотность распределения будет равна О, если (хг,хг,...,х„)Е С, р(х„х,,...,х„) = 1("и; если (х,,хг,...,х„)ЕС. П р н м е р 4. Плотность двумерного нормального закона дается фор. мул ой 1 1(х — е) г ( 1(У ь) (У вЂ” и) 2яог ог х/1 — и / г Заметим, что плотность нормального распределения сохраняет постоянное значение на эллипсах (х-а)' (х — аНу — Ь) (у — Ь) — 2г + =Л ог г о, ог ог (4) Р(Л) = / /' р(х, у) г(х ггу, (5) о(л) где через С(Л) обозначена область, ограниченная эллипсом (4) . Для вычисления этого интеграла введем полярные координаты х- а=рсозд, у — Ь=рйпд. Интеграл (5) при этом принимает вид 1 тел(е х/г- ' а Р(Л)= — =- / / е ' р,(~.(д, 2иогогх/1 — г' е е где для краткости обозначено 1 1'созгд созд з(п д з(пад'1 г~ = — — ~ — — 2г — + 1 — г " о, огог ог г ~ г г где Л вЂ” постоянное; на этом основании эллипсы (4) носят название эллипсов раиных вероятностей, Найдем вероятность попадания точки ®, $г) внутрь эллипса (4).
По определению плотности 1ЗЗ й 20, Многомерные функции распределения Интегрирование по р дает: Лг з(е- '! з" с1й Р(Л)= ) э 27ГО1 цз с,/! — г Интегрирование по О можно выполнить по правилам интегрирования тригонометрических функций, но в этом нет необходимости, так как оно автоматически производится с помощью вероятностных соображений. Действительно, 1 те сЦ Р(+ )=1 = г— 2ли, оэ эу1 — г „г 2 2 Отсюда 2л суй 1, =2~~,~~4 — г' о и, стало быть, Р(Х) = 1 — е згг-~') Нормальное распределение играет исключительно большую роль в различных прикладных вопросах. Распределение многих практически важных случайных величин оказывается подчиненным нормальному закону распределения. Так, например, огромная практика арпгллерийских стрельб, произведенная в различных условиях, показала, что рассеивание снарядов на плоскости при стрельбе из одного орудия на определенном прицеле подчиняется нормальному закону. В главе 8 мы увидим, что зта "универсальность" нормального закона объясняется тем, что всякая случайная величина, являющаяся суммой очень большого числа независимых случайных величин, каждая из которых оказывает лишь незначительное влияние на сумму, распределена почти по нормальному закону.
Важнейшее понятие теории вероятностей — независимость событий— сохраняет свое значение и для случайных величин. В соответствии с определением независимости событий мы скажем, что случайные величины Ь,8з, ...,8л независимы, если для любой группы йе, (е .....8, этих величин имеет место равенство Р((; <х;, ае <х;,...,$е, <ха) = =р(е <х;) Р((, <х;) ...Р(8. <х; при произвольных х;, х;,..., х;„н любом й(1 < я < я!.
В частности, для (34 Гл. 4. Случваные величины произвольных х,, хг,..., х„выполняется равенство Р(ст <хт,Ег <хг,..., 4» <х„) = = Р( Ьт < хт) Р ((г < хг) .. Р (йл < хл) или в терминах функций распределения ас(хт, хг,..., х„) = Ет(хт) асг(хг)... Е„(х„), где га(х„) означает функцию распределения величины $в. Легко видеть, что верно и обратное предложение: если функция распре деления г (хт, хг,..., х„) системы случайных величин ст, сг, сл имеет вид г (х т, х,,..., х„) = г" т (х т ) г г (хе )... гл (хл 1, где функции г„(ха) удовлетворяют соотношениям г а(+ а ) = 1 (/с = 1, 2,..., л), то величины $т, $г,... „$л независимы и функции г"т (х,), Гг (хг ),...
..., г"„(хл) являются их функциями распределения. Проверку этого предложения мы предоставляем читателю. П р н м е р 5. Рассмотрим л-мерную случайную величину, компоненты которой ат, $г,..., $„являются взаимно независимыми случайными величинами, распределенными по нормальным законам «» (а-аа)' Еа(ха) = )' е гаа т1г. оа;т(2тт В рассматриваемом примере функция распределения равна л л (т-ат )' г(хт,хг,...,хл)=(2я) г П о„' т" е а=т Если независимые случайные величины е т, $г,..., сл имеют плотности распределения рг(х), рг (х),...,р„(хл), то л-мерная величина (Ст, Ег,... ..., С„) имеет плотность распределения, равную )г(хт, хг,...
Хл) Рт(хт)рг(хг)...(гл(хл). П ри м е р 6.Если величины $т, Ег,...,сл независимы и имеют плотности распределения (а — аа)т Рт,(х)= — е га„' (1<А-<и) от, ч/2л а 21. Функции от случайных величин то л-меРнаа плотность РаспРеделениЯ величины (сг, $2..... $л) Равна л 1 л (хл — аа) (2л) г — 2 ~ а, Р(Х1,Х,,..,,Хл)= Е 0,02 .. Ол (6) При л = 2 эта формула принимает вид (х! — а,) (х! — аг) 1 1 ! р(х1, хг ) = 2а, 2а 2ног ог Сравнение этой функции с плотностью двумерного нормального закона (пример 4) показывает, что для независимых случайных величин $1 и $2 параметр г равен О. При л = 3 формула (6) может быть истолкована как плотность распределения вероятностей компонент $1, $2, Чэ скорости молекулы по осим координат (распределение Максвелла), если только предположить, что 1 а2 02 — 02 1 2 3 Ьи где лг — масса молекулы, а Ь вЂ” константа.
3 2! . Функции от случайных величин Ф(У! Уг . Уа) = ) ) Р(х1 хг хл)с(х11(хг .. 1(хл, о причем область интегрирования 2) определяется неравенствами Яхг, хг,..., хл ) < у, (1 = 1, 2,..., )г) . Сведения, полученные нами о функциях распределения, позволяют нам приступить к решению следующей задачи: по функции распределения р(хг,хг,...,х„) совокупности случайных величин $„$2,...,$„опре- ДЕЛИТЬ ФУНКЦИЮ РаСПРЕДЕЛЕНИЯ Ф(У1, Уг,..., Уа) ВЕЛИЧИН Л! а Л (Че! Чег Сл) Лг 12(С! Сл) . Ла Лс(С! Сл) Общее решение этой задачи весьма просто, но требует расширения понятия интеграла. Чтобы не отвлекаться в сторону чисто аналитических вопросов, мы ограничимся рассмотрением важнейших частных случаев: дискретных и непрерывных случайных величин.
В следующем параграфе будут изложены определение и основные свойства интеграла Стилтьеса; там мы дадим общую запись важнейших результатов настоящего параграфа. РаССМОтРИМ СНаЧаЛа СЛУЧай, КОГДа Н-МЕРНЫЙ ВЕКТОР (а!,..., $л) ИМЕЕТ ПЛОтНОСтЬ РаСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯтНОСтЕй Р(Х1, Хг,...,Хл). Иэ ПРЕДЫДУЩЕГО видно, что искомая функция распределения определяется равенством Гл.
4. Случайные величины 136 В случае дискретных случайных величин решение, очевидно, дается с помощью л-мерной суммы, также распространенной на область 41. Мы применим теперь только что сделанное нами общее замечание относительно решения поставленной нами общей задачи к нескольким важным частным случаям. Функция распределения суммы. Пусть требуется найти функцию распределения суммы и е! + сг + + ск к — хг Ф(х) = ( ( р(хг, хг)с1хгс(хг = Х Х р(хмхг)с(хгс1хг. «,+х,(» Если величины $г и Рг независимы, та р (х,, х, ) = р, (хг) рг (х, ) и равенство (1) может быть записано в таком виде: к-кс х Ф(х) =)'с)хг ) р,(х,)рг(хг)саха = (с(хг ( р,(х, )рг(г — хг)аг= ( с(г (3'р,(хг)рг(г — х,)с(хг) .
В общем случае формула (1) дает: (2) Ф(х) = )' с(хг /'р(г, х, — г)с(г. Последние равенства доказывают, что если многомерное распределение слагаемых имеет плотность распределения вероятностей, то их сумма также имеет плотность распределения. Эта плотность в случае независимых слагаемых может быть записана в виде Р (х) = .( Р г (х — г) Рг (г) с(г (4) Рассмотрим примеры. Приме р 1. Пусть Рг и Рг независимы и равномерно распределены в интервале (а, Ы.
найти плотность распределения суммы и = г г .1- Рг . если р (х г, хг... х„) — плотность распределения вероятностей вектора Ж, ег„..., е„). Искомая функция равна вероятности попадания точки (сг, сг, ен) в полупространство $г + $г +... + Р„( х и, следовательно, Ф(х) = )... ) р(х„хг,..., х„) с(х, с)хг... с)х„. в«а<к Рассмотрим подробнее случай п = 2. Предыдущая формула принимает в этом случае такой вид: 1зт и 21. Функции ет случайных величин Плотности распределения вероятностей $, и $з равны ~ О, если х<а или х>Ь, 1 Р1(х)= Рз(х) = ! —, если а < х < Ь. 1Ь вЂ” и' По формуле (4) находим, что ь ) ь рч(х) = Гр, (г) рт (х — г) ей = — ) рг (х — г) Иг. и Ь вЂ” а„ Из того, что при х< 2а х — г<2а-г<а, а при х> 2Ь х — г> 2Ь вЂ” г> Ь, заключаем, что при х < 2а и х > 2Ь р„(х) = О. Пусть теперь 2а < х < 2Ь.
Подинтегральная функдия отлична от нуля только при тех значениях г, которые удовлетворяют неравенствам а<х — г<Ь или, что то же самое, неравенствам х — Ь<г<х — а. Так как х > 2а, то х — а > а. Очевидно, что х — а ~. :Ь при х < а + Ь. Следова- тельно, если 2а < х < а + Ь, то и-а с(г х — 2а Рч ) (Ь вЂ” а)г (Ь вЂ” а)г ' Точно так же при а + Ь < х < 2Ь ь с1г 2Ь вЂ” х ь (Ь вЂ” а)г (Ь вЂ” а)з Гн. 4. Случайные величины 138 Собрав вместе полученные результаты, находим, что 0 при х<2а и х>2Ь, х — 2а , при 2а<х<а+Ь, (Ь вЂ” а)' 2Ь вЂ” х при а+Ь< х < 2Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
