Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Частица может находиться в гочках с целочисленными координатами а. а +1, а + ', ., Ь: в точках а и Ь находятся отражающие стенки. Каждый холчок перемешает частицу вправо с вероятностью р и влево с вероятностью д = 1 — р. если только частица не находится у стенки. Есгги же частица находится у стенки. то: юбой толчок переводит ее на единицу внутрь промежутка между стенками х1ы видим, что проведенный пример блуждания частицы представлят собои типичную цепь Марко- 110 Гл.
3. Иепи Маркааа ва. Точно также можно бы было рассмотреть случай, когда частица прилипает к одной из стенок нли к обеим из них. П р и м е р 2. В модели Бора атома водорода электрон может находиться на одной из допустимых орбит. Обозначим через Аг событие, состоящее в том, что электрон находится на Бй орбите. Предположим далее, что изменение состояния атома может наступать только в моменты г,, т,, т-„...
(в действительности эти моменты представляют собой случайные величины) . Вероятность перехода с г-й орбиты на у-ю в момент г, зависит только от 1 и 1 (разность ) — ~ зависит от количества энергии, на которую изменился заряд атома в момент г,) и не зависит от того, на каких орбитах находился электрон в прошлом. Последний пример представляет собой цепь Маркова с бесконечным 1правда, только в принципе) числом состояний; этот пример бьщ бы не. сравненно ближе к реальной обстановке, если бы моменты перехода нашей системы в новое состояние могли меняться непрерывно. 3 16.
Матрица перехода Мы ограничимся далее изложением простейших фактов для однородных целей Маркова, в которых условия вероятность появления события А 1" ') / в (т + 1)-м испытании при условии, что в юм испьпании осуществилось событие А;Оэ, не зависит от номера испытания. Мы назовем эту вероятность вероятностью перехода и обозначим буквой Р;;; в этом обозначении первый индекс все~да будет обозначать результат предшествующего испытания, а второй индекс указывает, в какое состояние перейдет система в последующий момент времени. Полная вероятностная картина возможных изменений, осуществляющихся при переходе от одного испытания к непосредственно следующему, задается матрицей Р1~ Р~з Р1» Р»1 Ргт Рэ» я$ Р»1 Р»з -..
Р»» составленной из вероятностей перехода, которую мы будем называть магрицей перехода. Отметим, каким условиям должны удовлетворять элементы этой матрицы. Прежде всего они, как вероятности, должны быть неотрицательными числами, т.е. при всех 1 и 1' О< рц<Б Далее из того, что при переходе из состояния А;О) в юм испытании систе- й !6. Матрица перехода ма обязательно переходит в одно н только в одно из состояний А.!' 1, в !г+ г) 1 (! + 1)-м испытании вытекает равенство 2' рд = 1 (г'= 1,2,, )г). /=! Таким образом, сумма элементов каждой строки матрицы перехода равна единице. Наша первая задача в теории цепей Маркова состоит в определении вероятности перехода нз состояния Ата) в а-м испытании в состояние А,-(г+") через п испьпаний.
Обозначим эту вероятность знаком Р;;(п), Рассмотрим какое-нибудь промежуточное испытание с номером ! + т, В этом испьпанни осуществится какое-то одно нз возможных событий А1г+"') (1 < г < х). Вероятность такого перехода, согласно с ~олько что введенными обозначениями, равна Рг„(т). Вероятность же перехода из состояния А(" ) всостояниеА!"") равна Р„,(п — т). По формуле полной вероятности Рг(п) = Х Рп(т) .Р„.(п — гп). =1 Обозначим через л„матрицу перехода через и испьпаний Р,,(п)Р,,(п) .. Р, „(и) лл Р.
(п)Р з(п) ... Р (и) Согласно (1) между матрицами л, с различными индексами существус! соотношение л„= гг л„т (0(т (п) В частности, при п = 2 находим, что лг гг! л! гг! ! при я=3 л! = гг! . гг! л! гг! = гг! и всобше прн любом п л„= гг",. Гя. 3. Репи Маркова Отметим частный случай формулы (1): при па = 1 » Р!.(п) = 2,' р;,Р„;(и — 1). е=! В качестве упражнения предпсгается читателю написать матрицу перехода цля первого примера предыдущего параграфа, а 17.
Теорема о предельных вероятностях Т е о р е м а. Если при некотором з ) О все злементы матрицы перехода п положительны, то существуют такие постоянные числа р; (! = 1, 2,...,»), что независимо от индекса ! имеют место равенства 1пп Рц(п'! = р>а Д о к а з а т е л ь ство. Идея доказательств этой теоремы весьмапроста: сначала устанавливается, что наибольшая из вероятностей Р;;(и) с ростом п не может возрастать, а наименьшая не может убывать; далее показывается, что максимум разности Р;;(п) — Р„.(п) (!, ! = 1, 2,..., й) стремится к нулю, когда и а ~.
Этим доказательство теоремы, очевидно, завер!лается. Действительно, в силу известной теоремы о пределе монотонной последовательности мы заключаем из первых двух указанных свойств вероятностей Р;;(и), что существуют !пп пцп Р!!(и) = р; » - а«!«» 1лп щах Рц(п) = 'р, » ! «!«» А так как в силу третьего из указанных свойств !пп и!ах ! Рц(п) — Рд(п) ! = О, » ! «е,!«» то р! = р! = и!' !Ыы перейдем теперь к осуществлению намеченного плана. Заметим прежде всего, что при и ) ! имеет место неравенство Ру(п) = Х реаР».(п — !)) ппп Р!!.(п — 1) Х ра = е=! ! «!«» г=! гп!и Р!!(и — !). а«!«» а !7.
Теорема о предельных вероятностях Это неравенство имеет место прн каждом !', в частности при том, при котором Р,.(п) = ппп Рд(п). ! <Гча Таким образом, ппл Р))Тп) > лпл Рг)(п — 1), )<)че !ч)ча Подобным же путем легко. обнаружить, что глах Р„(п) < п)ах Р,г(п — 1). ! ч!ча т<)а я Мы можем считать, что п > т, и поэтому имеем право записать па формуле (1), что а Рд(п) = Е Р)г(т) .Р„.(п — т).
г= ! Рассмотрим разность й Р,,() -Р„( ) = Х Р),()"„( —.)- ~ Рм() Р„( — ) г=! г=! гР)г(т) Р(г(!)! ! гу(п т) г=! то й Х [Ро(,) -Р„(т)) = Хб,(' Х б,.<") = О. г= ! !г) (г) (2) Из этого равенства заключаем, что )). = Т гя(г) — Т' ,()г)г) и (г) (г) Так как по предположению при всех ! иг(!',г = 1, 2, 3,...,)с) Р)„(т) )О, то Х б(,") < Х Рп(т) =- !. (г) г= ! Обозначим положительные разности Рг,(т) — Ргг(т) символом (),.(!"), а неположительные разности через' — б (г) . Так как Х Р! (т) Х Р! (!) = 1 г=! г=! Гл. 3. ((епя Маркова 114 Таким образом, О ~ )г!1<1. Пусть Ь = гиах )(п, 1<1,!<а Так как числа возможных исходов конечно, то наряду с величинами Ь!! ве- личина 6 удовлетворяет неравенствам О<)а <1.
Из (1) находим, что нрилюбых !' и 1(!',1= 1,2,...,)с) '1Р !(п) — РЯп) ! =1 Х 1)(!!)Рг!.(п — т) — Х Р!!(')Рг!.(п — а) (~ (г) (г) гоах Рг)(п — т) Х Д,!("~ — ноп Р,с(11 — а) Х )),'.!(") ~ <-: 1<с<а (г) 1<с</с (г) <.:Ы тах Р„;(п — 1) — пяп Рп(п — 1) ! < 1<г<!с 1<с<!с < Ь п(ах ~ Р!)(п — т) — Р!!(и — 1) ~ 1 <Е, !<!с и, следовательно, также гяах ! Р!(и) — Р,;(и)! <)с птах ) Р„(п — 1) — Р,,(п — 1)! 1<1,!<Е !«с,!<я Применив это неравенство — раз, найдем, что я(ах ~ Рс!(п) — Р!(и)) < )11' ~ тах )Р!)~ п — ~ — ~ т 1<с,!<сс 1<с!<а у — Р,; и — — а Так как всегда ~ Рг!.
(т) — Рд(гп) ! < 1, то ясно, что !и1 п(ах )Р!!.(п) — Р„(п)1 < )сг' ) . 1<С!<!с 115 упражнения При и - » также — - », лоэтому в силу (3) отсюда следует, что 1пп шах / Р!/(и) — Р»(п) / = О. и ! <!!па Из доказанного заключаем также, что Х р/ =1. 1-.1 Действительно, а 2 р, = Ьп 2' Рфл) = !лп 1 = 1. /=1 и 1=! и- Таким образом, на величины р/ можно смотреть как на вероятности появления исхода А.!" > прн л-м испытании, когда и велико.
! Физический смысл доказанной теоремы ясен: вероятность системе находиться в состоянии А/ практически не зависит от того, в каком состоянии она находилась в далеком прошлом. Только что обнаруженная теорема была впервые доказана творцом теории цепных зависимостей А.А.
Марковым: оиа явилась первым строго доказанным результатом среди так называемых зргодических теорем, играющих важную роль в созрел!енной физике и инженерном деле. Упражнения 1. Вероятности перехода даются матриней /' 1/2 1/3 1/6 1/2 !/3 !/6 1/2 1/3 1/6 Чему равно число состоиний? Найти вероятности перехода из состояния в состояние за два шага. 2. Электрон может находиться на одной из счетного множества орбит в зависимости от наличной энергии.
Переход с /-Я орбиты на рю происходит за одну секунду с вероятностью с! е Найти; а) вероятности перехода за две секунды, б) постоянные сь 3. Вероятности перехода даются матриней О 1/2 1/2 я, = !/2 О 1/2 1/2 !/2 О Применима пи в данном случае зргодическаи теорема Маркова? Если да, то найти предельные вероятности. ГЛАВА 4 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ФУНКЦИИ РАСПРЕЛЕЛЕНИЯ $ 18. Основные свойства функций распределения Одним из основных понятий ~сории вероятностей является понятие случайной величины.
Прежде чем переходить к формальному его определению, мы остановимся на рассмотрении примеров. Число космических частиц, попадающих на определенный участок земной поверхности в течение промежутка времени определенной длины, подвержено значительным колебаниям в зависимости от многих случайных обстоятельств. Число вызовов, поступивших от абонентов на телефонную станцию в течение определенного промежутка врелгени, не остается постоянным, а подвержено значительным случайным колебаниям. Размер уклонения точки падения снаряда от центра цели определяется большим количеством разнообразных причин, носящих случайный характер.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
