Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 21
Текст из файла (страница 21)
В результате в теории стрельбы вынуждены считаться с явлением рассеивания снарядов около центра пели как со случайным явлением и рассматривать указанные уклонении как случайные величины. Скорость молекулы газа не остается неизменной, а меняется в зависимости от столкновений с другими молекулами. Этихстолкновений очень много даже в геченне коро~кого промежутка времени. Зная скорость молекулы в данный момент, нельзя с полной определенностью указать ее значе.
ние, скажем. через 0,0! илн 0,00! секунцы. Изменение скорости молекул!я носит случайный характер. Приведенные примеры показывают с достаточной определенностью, что со случайными величинами приходится иметь дело в самых разнообразных областях науки и техники. Возникает естественная и притом весьма важная задача создания методов изучения случайных величин, Несмотря на всю разнородность конкретного содержания приведенных нами примеров, все они с точки зрения математики представляют одну и ту же картину. А именно.
в каждом примере мы имеем дело с величиной, так или иначе характеризующей исследуемое явление. Каждая нз зтих величин пол влиянием случайных обстоятельств способна принимать различные значения Заранее предсказать. какое значение примет эта величина, нельзя, так как оно меняется случайным образом от испытания к испытанию. 117 а 18. Основные свойства функций распределения Таким образом, для того побы знать случайную величину, прежде все~о необходимо знать те значения, которые она может принимать.
Одна. ко одного перечня значений случайной величины еше недостаточно, чтобы по иим можно было делать какие-либо существенные выводы. Лействительно, если в третьем примере рассмотреть газ при разных температурах, то возможные значения скоростей молекул останутся теми же самыми, тогда как состояния газа будут различны. Таким образом, для задания случайной величины необходимо знать не только, какие значения может она принимать, но и как часто, т.е. с какой вероятностью она принимает зти значения.
Разнообразие случайных величин весьма велико. Число принимаемых ими значений может быль конечным, счетным или несчетным; значения могут быть расположены дискретно или заполнять интервалы сплошь или же не заполнять интервалы, но располагаться всюду плотно. Для того чтобы задавать вероятности значений случайных величин, столь различных по своей природе, н притом задавать лх одним и тем же способом, в теории вероятностей вводят понятие ф у н к ц и и р а с п р е д е л е н и я с л у.
чайной величин ы. Пусть $ — случайнан величина и х — произвольное действительное число. Вероятность того, что $ примет значение, меньшее чем х, называется функцией распределения вероятностел случайной величины Р: Р(х) = Р(Р(х) Условимся в дальнейшем, как правило, случайные величины обозначать г р е ч е с к и м и буквами, а принимаемые ими значения . с т р о ч н ыми латинскими. Резюмируем сказанное: случайнои величиной называется величина, значения которой зависят от случая и для которой определена функция распределения вероятностей" ) .
Рассмотрим примеры функций распрецеления. П р и м е р 1. Обозначим через и число появлений события А в последовательности л независимых нсцытаний, в каждом из которых вероятность его появления постоянна и равна р. В зависимости от случая ц может принимать все целочисленные значения от О цо л включительно. Согласно результатам главы 2 Р„(т) = Рти = т) = С,~р"'г)" Само собой разумеется. что зтими словами мы не дали математического определения новому поня~ив, а только описали то обшее представление, которое складывается у человека, знакомяшегося с реальными примерами случайных величин. 1 На с.
1! 9 нано формелнзованное опрелеленне случайной нелнчнны. Гл. 4. Случайные величины Функция распределения величины д определяется следующим способом: 0 для х <О, Р(х)= 2; Р„Я цля 0<х<и, а <х' 1 для х)и. Функция распределения представляет собой ступенчатую линию со скачками в точкахх = О, 1, 2,..., и; скачок в точке х = к равен рл(х).
Рассмотренный пример показывает, что так называемая схема бернулли может быть включена в общую теорию случайных величин. П р и м е р 2. Пусть случайная величина $ принимает значения О, 1, 2,... с вероятностями Лье — Л р„= Р(с=и)= — (и=0,1,2, ), и! где Л > 0 — постоянная. Функция распределения величины $ представляет собой как бы лестницу с бесконечным числом ступенек, со скачками во всех неотрицательных целочисленных точках.
Величина скачка в точке х = и равна р„; прн х < 0 имеем Р(х) = О. Про случайную величину, рас- смотренную в настоящем примере, говорят, что она распределена по за- кону Пуассона. П р и м е р 3. Мы скажем, что случайная величина нормально расиреде- .гана, если ее функция распределения имеет вид х (г -а) Ф(х) =С ) е з" 'с1г, где С > О, о ) О, а — постоянные. Впоследствии мы установим связь между постоянными о и С и выясним теоретико-вероятностный смысл параметров а и а. Нормально распределенные случайные величины играют особо важ- ную роль в теории вероятностей и ее приложениях, в дальнейшем у нас бу- дет много повоцов убедиться в этом.
Заметим, что если в двух первых рассмотренных нами примерах случай- ные величины могли принимать только конечное или счетное множество зна- чений (дискретные величины), то случайные величины, распределенные по нормальному закону могут принимать значения из любого интервала, Действительно, как мы увидим ниже, вероятность нормально распределен- ной случайной величине принять значение, заключающееся в интервале х, <С < хт, равна х, (* — а1' Ф(х,) — Ф(х,) = С / е та' с(г х, и, следовательно, при любых х, и ха(х, Фх,) положительна. 9 1а. Основные свойства функций распределения 119 После сделанных нами замечаний интуитивного характера можно перейти и к изложению принятого теперь строго формального определения случайной величины. В соответствии с обшим аксиоматическим понятием случайного события, мы будем исходить из множества элементарных собьпий й.
Каждому элементарному событию го поставим в соответствие некоторое число 1=у( ) Мы скажем, что $ е с т ь с л у ч а й н а я в е л и ч и н а, е с л и ф у н кция Т(оэ) измерима относительно введенной в расс м а т р ив не м ам ми о же от не й вероятно ст и. Иначе говоря, мы требуем, чтобы для каждого измеримого по Борелю множестваА1 значений $ множество Аю тех со, для которых г'(оэ) СА1 принадлежало множеству г случайных собьпий и, следовательно, для него была бы определена вероятность Р(РСА1) =Р(А ).
В частности, если множество Аг совпадает с полупрямой $ ( х, то вероят- ность Р (А ) есть функция переменного х Р($(х)=Р(А ) =Е(х). которую мы назвали функцией распределения случайной величины $. П р и м е р 4. Рассмотрим последовательность л независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р. В этом примере элементарные события состоят из последовательностей появлений и непоявлеиий собьпия А в л испытаниях. Так, одним нз элементарных событий будет появление события А в каждом из испытаний. Всего, как нетрудно подсчитать, будет 2в элементарных событий.
Определим функцию и = У'(оэ) от элементарного события ш так: она равна числу появлений события А в элементарном событии со. Согласно результатам главы 2 Р(р=й) =Р„(й) = С"„р"„"-" Измеримость функции д = ( (оэ) в поле вероятностей непосредственно очевидна. Отсюда, согласно определению, заключаем, что и есть случайная величина. П р и м е р 5. Произведены три наблюдения за положением молекулы, двигаюшейся по прямой ливии. Множество элементарных событий состоит из точек трехмерного евклидова пространства Яз. Множество случайных собьпий л' состоит из всевозможных борелевских множеств простран.
ства тт э, Гл. 4. Случайные величины Для каждого случайного события А определим вероятность Р (А ) посредством равенства — — 1(х, — а)'е(ха — а) -«(х,— а) 1 (оч/ я) А Рассмотрим теперь функцию $ = ((ьэ) элементарного события, определенную посредством равенства 1 $ = — (х~ +хе +хз). 3 Эта функция измерима относительно введенной нами вероятности. поэтому $ является случайной величиной. Для нее функция распределения равна з ! — Е (ха — а)' Е"(х) =Р)$<х)= ))) е " ' )( (д,~ 3п)з х, хх.
е.х1 < эх х 3(а — а)~ Х йх,г)хте(хз = — — — )' е з'* с(я а — л 3 С только что развитой точки зрения действия над случайными величинами сводятся к известным операциям над функциями. Так, если Е, и Ез являются случайными величинами, т.е. измеримыми относительно введенной вероятности функциями Л ('"' ) Еа ) з (ьа) то любая борелевская функция от них также является случайной величиной. Для примера ь ч! +42 измерима относительно введенной вероятности и потому является случайной величиной. Позднее мы разовьем только что сделанное замечание и получим ряд важных для применений результатов. В частности, мы выведем формулы для функции распределения суммы и частного двух случайных величин по распределению слагаемых. При помощи функции распределения случайной величины $ можно определить вероятность неравенства х, < т < х, при любых х) и х,.
В самом деле, если через А обозначить событие, состоящее в том, что е примет значение, меньшее чем х„через  — событие, состоящее й 18. Основные свойства фтнкннй раснрелелення 121 в том, что $ < х,, и, наконец, через С вЂ” событие хт К.
:3 < хт, то, очевидно, имеет место следующее равенство: А = В+С. Так как события В и С несовместимы, то Р(А) = Р(В) + Р(С). Но Р(А) = Е(хт), Р(В) = г(хт), Р(С) = Р(х, <с<ха), . поэтому Р(х, <$<хт) = тт(хт) — Р(х,). Так как, по определению вероятность есть неотрицательное число, то иэ равенства (1) следует, что при любых х, и хт (х, > х,) имеет место неравенство Е(хт) > Е(х,), т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
