Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 22
Текст из файла (страница 22)
что функция распределения любой случайной величины есть неубывающая функция. Очевидно, далее, что функция распределения Е(х) при любом х удовлетворяет неравенству 0 < В(х) < 1. Мы скажем, что функция распределения Г(х) имеет при х = хе скачок, если В(хо + 0) — Е(хо — 0) = С„> О. Функция распределения может иметь не более чем счетное множество скачков. В самом деле, скачков размера, большего 1/2, функция распределения может иметь не более одного; скачков размера от одной четвертой до половины (1/4 < Се < 1/2) — не более трех. Вообще скачков размером от 1/2" до 1/2" ' может быть не более чем 2" — 1.
Совершенно ясно, что мы можем пронумеровать все скачки, расположив их по величине, начиная с больших значений и повторяя равные значения столько раз, сколько скачков этой величины имеет функция тт(х) . Установим еще несколько общих свойств функций распределения. Определим Е( — ) и тт(+ ) равенствами Е(-' ) = 1тш р( — п). В(+' ) = 1шт Г(еп) н е и докажем, что Р( — ») = О, г"(+' ) = 1. Гл. 4. Случайные величины 122 Действительно, так как неравенство $ < + ' достоверно, то Р(й<+-) = 1.
Обозначим через (2» событие, состоящее в том, что (с — 1 < $ < й. Так как собьпие $ ( + зквивалентно сумме собьпий (2», то на основании расширенной аксиомы сложения РЦ (+»)= 2; РК»). » =— Следовательно, при и- Х Р(Д») = Х [РЦс) — Р((с — 1)[ = Е(п) — Р(-и) - 1. »= с-ч »= с — и Отсюда, принимая во внимание неравенства (2), заключаем, что при я — » р( — п) - О, р(+п) - 1. Функция распределения непрерывна слева. Выберем какую-нибудь возрастающую последовательность хе < х, < < х, «... х„<..., сходящуюся кх.
Обозначим через А„событие (х„< й < х). Тогда ясно, что Аг С А;, при 1 > !', и произведение всех событий А„есть невозможное событие. По аксиоме непрерывности должно быть 11ш Р(А„) = !пп (Р(х) — Е(х„)) = = Р(х) — (пп Р(хн) = Е(х) — Е(х — 0) = О, что и требовалось доказать. Точно так же можно доказать, что Р(й ~ <х) = Р(х+ 0). Мы видим, таким образом, что каждая функция распределения является неубывающей, непрерывной слева и удовлетворяющей условиям р( — ° ) = 0 и с (ч ) = 1 функцией. Верно и обратное: каждая функция, удовлетворяющая перечисленным условиям, может рассматриваться как функция распределения некоторой случайной величины. Заметим, что в то время как каждая случайная величина однозначно определяет свою функцию распределения, существует сколько угодно различных случайных величин, имеющих одну и ту же функцию распре.
деления. Так, если е принимает два значения — 1 и +1, каждое с вероятностью 1/2 н П = — й, то ясно, что всегда й отлична от П. Тем не менее обе этн 19. Непрерывные и дискретные распрелелення случайные величины имеют одну и ту же функцию распределения 0 при х< — 1, Г(ч) = ~1/2 при — 1< х'~ 1, '»1 при х > 1. й 19. Непрерывные и дискретные распределения Иногда поведение случайной величины характеризуют не заданием ее функции распределения, а каким-либо иным способом.
Всякая такая характеристика носит название закона распределения случайной величины, если только по определенным правилам можно получить из нее функцию распределения. Так, законом распределения будет функция интервала Р(х,, хз), представляющая собой вероятность неравенства х, < $ < хз. Действительно, зная Р1х„х,), мы можем найти функцию распределения по формуле Е(х) = Р( — », х). Мы уже знаем, что и по Г(х) можно найти для любых х, и х, функцию Р(х» хз); Р(х,, хз) = Е(хз) — Р(хг).
Часто в качестве закона распределения полезно брать функцию множества Р(Е), определенную для всех борелевскнх множеств и представляющую собой вероятность того, что случайная величина $ примет значение, принадлежащее множеству Е. Вероятность Р(Е), в силу расширенной аксиомы сложения, есть вполне аддитивная функция множества, т.е. для любого множества Е, представляющего собой сумму конечного или счетного числа непересекаюгцихся множеств Еа. Р(Е) = ТР(Еь). Из всевозможных случайных величин мы выделим прежде всего те, которые могут принимать только конечное или счетное множество значений. Такие величины мы будем называть дискретными.
Для полной вероятностной характеристики дискретной случайной величины С, принимающей с положнтельнымн вероятностями значения хы хз, хз,..., достаточно знать вероятности р» = Р (С = х» ) ') . Очевидно, что по совокупности вероятностей р„можно определнгь функцию распределения Е(х) посредством равенства Г(х) = 2;рь, в котором суммирование распространяется на все те индексы, для которых ха < х. Функция распределения любой дискретной величины разрывна, возрастает скачками при тех значениях х, которые являются возможными е) Зти и только зтн значения х„мы назовем еоэмолнызеи значениями Лискрстной случайной величины Г. Гл.
4, Случайные величины 124 значениями Е. Величина скачков функции г(х) в точке х, как мы выяснили ранее, равна разности р (х + 0) — г (х) . Если два возможных значения величины $ разделены интервалом, в котором других возможных значений $ нет, то л атом интервале функция распределения г (х) постоянна. Если возможных значений $ конечное число, например л, то функция распределения Р(х) представляет собой ступенчатую кривую с л + 1 интервалом постоянства. Если же возможных значений $ имеется счетное множество, то это последнее может быть и всюду плотным, так что интервалов постоянства у функции распределения дискретной случайной величины может н не быть. Пусть для примера возможнывзи значениями е бупут все рациональные числа и только они.
Пусть зти числа занумерованы каким-нибудь способом: г, г,,... и вероятности РЦ = г„] =р„определены посредством равенства р„= 1/2 . В нашем я примере все рациональные точки являются точками разрыва функции распределения. В качестве другого важного класса случайных величин мы выделим те из них, для которых существует неотрицательная функция р(х), улов. летворяющая при любых х равенству х г(х) = )' р(г)сЫ. Случайные величины, обладающие этим свойством, называются непрерывными: функция р(х) назЫваетсяплогносгью распределения вероятностей.
Отметим, что плотность распределения вероятностей обладает следую. шими свойствами: 1. р(х) > О. 2. При любых т, и хз удовлетворяет равенству К 2 Р(х, < $ < хт) = 3' р(х)Их х, В частности, если р (х) непрерывна в точке х, то с точностью до бесконечно малых высшихпорядков Р(х < с < х+Нх) = р(х)г)х. 3. (р(х)с)х = 1.
Величины„распределенные по нормальному или равномерному закону'), дают нам примеры непрерывных случайных величин. П р и м е р. Рассмотрим ближе нормальный закон распределения. Для него плотность распределения вероятностей равна (я — а) р(х)=С е *)Так называется закон с функпней распределення, линейно изменяЮщейся от О Ло 1 в некотором ннтерввлс (а, Ь) н равной нулю левее точки а н единице правее Ь. 9 19. Непрерывные и дискретные распределения Постоянное С определяется, исходя из свойства 3. Действительно, (а — а)* С)е ' си=!. х — а Заменой переменных — = т зто равенство приводится к виду о Со) е ' (~с1г = 1.
Интеграл, стояший в правой части зтого равенства, известен под именем интеграла Пуассона, причем 3" е * т с(г = х/2я. Таким образом, находим, что 1 С=- ох/2я и, значит, для нормального распределения (к — а) 1 р(х) = е ох/2я Функция р(х) достигает максимума при х = а, имеет точки перегиба при х = а+ о; ось абсцисс служит для нее асимптотой при х — + .
Для иллюстрации влияния параметра о на форму графика плотности нормального распределения мы приводим на рнс. 15 графики р(х) при а = 0 и 1) о' = 114, 2) а = 1, 3) о' = 4. Мы видим, что чем меньше значение о, тем кривая р(х) имеет большее значение максимума и падает Рис. 15 126 Гя. 4. Случайные величины круче. Это означает, в частности, что вероятность попасть в интервал ( — а,а) больше для той случайной величины, распределенной по нормальному закону (с параметром а = 0), для которой величина о меньше.Мы, следовательно, можем считать а характеристикой разбросанности значений величины с.
При а Ф 0 кривые плотностей имеют ту же форму, но сдвинуты вправо (а > 0) или влево (а < О) в зависимости от знака параметра а. Помимо лискретных и непрерывных случайных величин существуют, разумеется, и другие случайные величины. Кроме величин, которые ведут себя в одних интервалах как непрерывные, а в других как дискретные, имеются величины, не являющиеся ни в одном интервале ни дискретными, ни непрерывными. К таким случайным величинам относятся, например, все те, функции распределения которых непрерывны, но при этом возрастают только на множестве лебеговской меры нуль. В качестве примера такой случайной величины приведем величину, имеющую функцией распределения известную кривую Кантора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
