Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Если воспользоваться локальной предельной теоремой Муавра — Лапласа, то находим, что »г' (Зз — лг)' ! Рл (пг,з)- зл + е зл ~/2лп й 14. Ипнюстранин схемы независимых испытаний 105 Это известная формула из теории броуновского движения. Она приобретает более симметричный вид, если начало координат поместить в точке х =1 и, следовательно, перейти к новой координате 2 по формуле 2 = х — з. В результате этой замены получим, что (а ее) 1)с — а) ' ! Р ! )с) Р ! )с + 1) 1 и 2и + 2в ч/2пп Мы перейдем теперь к рассмотрению третьей схематической задачи, когда Рис, 1З гис.
14 на пути частицы поставлена в точке х = а поглощающая перегородка. Частица, попавшая на перегородку, в дальнейшем движении участия уже не принимает. Очевидно, что в этом примере вероятность попасть в точку х = т !и < з) после л толчков будет меньше. чем Ри !ел) (т.е. меньше вероятности попадания в зту точку,без поглошающей стенки); обозначим искомУю веРоатность символолг Рн (т; 1) . Дпя подсчета вероятности Р„(т; а) снова мысленно уберем поглощающую стенку и предоставим тем самым частице свободно двигаться по прямой, Частила, попавшая в некоторый момент времени в положение х = а, оказывается в последующие моменты времени справа и слева ог прямой х = а с одной и той >не вероятностью.
Точно так же после попадании на прямую х = г частица с одной и той же вероятностью может попасть как в точку А (ш, и), так и в ~очку А !21 — пг, и) . Но в точку А'частица может попасть, только попав предварительно в положение х = а, поэтому для всякого пути, ведущего в точку А . имеется путь. симметричный относительно прямой х = т и ведущий в точку А; точно так же для всякого запрещенного в действительном движении пути, приводящем в точку А, существует симметричный относительно прямой х = 1 путь, приводящий в точку А' (рис.
!4). !!ри этом заметим, что мы рассматриваем симметрию Гл. 2. Схема Бернулли 106 путей, только начиная с момента попадания на прямую х = т. Проведенные рассуждения показывают нам, что из путей, приводящих в точку А в идеализированном движении, мы должны отбросить при подсчете числа благо. приятствующих случаев в реальном движении ровно столько, сколько путей ведет в точку А'. Отсюда, очевидно, следует, что Р„(пг, г) = Р (и = ьч ) — Р (и = 22 — гл). В силу локальной теоремы Муавра — Лапласа имеем: т (2ь — тл) 1 Р„(т, т)- (е 2" — е 2" ) ч/2я л Упражнения 1. Рабоюй обслуживает 12 однотипных станков.
Вероятность того, что станок потребует к себе внимания рабочего в течение промежутка времени длительности т равна 1/3. Чему равна вероятность того, что а) за время т 4 станка потребуют к себе внимания рабочего; б) число требований к рабочему со стороны станков эа время т будет между 3 и 6 (включая границы)7 2. В некотором семействе имеется 10 детей. Считая вероятности рождений мальчика и девочки равнымн 1/2, найти веронтность тога, я~а в семействе а) 5 мальчиков и 5 девочек; б) число мальчиков заключается между 3 и 8. 3. В обществе, состоящим нз 4 человек, дни рождений трех приходятся на опнн месяц, а четвертого — на один из остальных одиннадцати.
Считая вероятность рождения в течение каждого из месяцев для каждого лица равной 1/12, найти вероятность того, что а) указанные три лица родились в январе, а четвертое лицо в октябре; б) три лица родились в каком-то одном месяце, а четвертое в каком-то нз остальных одиннадцати. 4.
При 14400 бросаниях монеты шрб выпал 7428 раз. Как вероятно столь большое или большее уклонение числа выпапений герба от лр, если монета симметрична (т.с. вероятность выпадения герба в каждом испытании равна 1/2) ". 5. К электросети подключено л приборов, каждый мощностью и киловатт н логребляет в данный момент энергию с вероятностью р. Найти вероятность того, что потребляемая в данный момент мощность а) окажется меньше чем птир; б) превзойдет тиар (г ) О) прн условии, что лр велико. 6. В одном нз учебных заведений обучаются 730 студентов. Вероятность того, что день рождения наудачу взятого по списку студента приходится на определенный день года, равна 1/365 для каждого из 365 дней.
Найти а) наиболее вероятное число студентов, родившихся 1 января. б) вероятность того, чта найдутся три студента, имеющие один и тот же день рождения. 7. Известно, что вероятность выпуска сверла повышенной хрупкости (брак) равна 0,02. Сверла укладывается в коробки по 100 штук. Чему равна вероятность того, что Упражнения Реп Щ - +6) .-аа б) Иш '" = е а Рзл (л) если з 4 й/ ч/л (О < т ( е ) .
11. Доказать, что при лро > 25 е2 Р„(.)= ', 2~1+(О "" "'! ° л, хГ2лрп ! 6 х/лрп 3 т — лр 0,15 + 0,25 ! р — 4 , 'ч/йрч з= — (о)< ' ' ' !т!е ь/лРО /(ирч)' 12. Произведено л независимых испытаний. Вероятность появления собьпия А и !-м испьпании равна р;; Р„(т) — вероятность т-кратного появления события А в и испытаниях. Показать, что Рв (!) Р» (2) Рн (и) а] Р„(0) Р„(1) Р„(л — ! ) б) Р„рл) сначала возРастает, а затем Убывает (если только Ри(0) нли Р„(п) сами не являются максимальными). 2 13. доказать, что при х > 0 функция / е оа удовлетворяет неравенствам 2 х ! — — т х е 1+х' ! — — е* ! — — х 1 оз К вЂ” е х / е к а) в коробке не окажется бракованных сверл; б) число бракованных сверл окажется не более 3; в) сколько нужно класть в коробку сверл, чтобы с вероятностью, не меньшей 0.9, в ней было не менее 100 исправных? У к а з а н и е.
Воспользоваться распределением Пуассона. 8. В страховом обществе застраховано 10000 лиц одного возраста и одной социальной группы. Вероятность смерти в течение года для каждого липа равна 0,006. Каждый застрахованный вносит ! января 12 руб. страховых и в случае смерти его родственники получают от общества 1000 руб. Чему равна вероятность того, по а) общество потерпит убытки; б) получит прибыль, пе меньшую 40000, 60 000, 80 000 руб.? 9. доказать теорему: если Р н Р' — вероятности наиболее вероятного числа появлений события А в и и л+ 1 независимых испьпаниях (в каждом из испытаний р(А) = р), то Р'и Р; равенство исключается, если (л + 1) р — не целое число. 1О. В схеме Бернулли р = 1/2. Доказать, что: 1 1 а) к Рте(л) ~ 2 ч/и „/2л + 1 Гл.
2. Схема Бернулли 14. 3 а д а ч а Б а н а х а. Некий математик носит с собой две коробки спичек. Каждый раз, когда он хочет досзвть спичку, ои выбирает наугад одну из коробок. Найти вероятность того, что когда математик вьшет пустую коробку, в другой коробке окажется г спичек (г О, 1, 2, ..., л; л — число спичек, бывших первоначально в кащцой из коробок). 15. К линии электропередачи подключено л механизмов. Вероятность того, что механизм, потребляющий энергию в момент времени г прекратит ее потребление до момента г + дг, равна оде + о(цг). Если в момент г механизм не потребляет энергии, то вероятность того, что он станет ее потреблять до момента г + цг равна р дг + о(дг) независимо от работы других механизмов.
Составить дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют вероятности Рг(г) того, что в момент г энергию потребляют г механизмов. П р и м е ч а н и е Легко указать конкретные осуществления условий этой задачи: движение трамваев, электросварка, потребление энеггпи станками с автоматическим выключением и пр. 16. Один рабочий обслуживает л однотипных станков-автоматов. Если в момент г станок работает, то вероятность того, что он потребует обслуживания до момента г + лг равна аде + о(дг).
Если в момент г рабочий обслуживает какой-нибудь станок, то вероятность гого, что он закончиг обслуживзиие до момента ! е лс. равна рда + о(лг). Состанить дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют вероятности Р,(1) того, что в момент г работают л — г станков, один обслуживается и г — 1 ожидаауг очереди на обслуживание (Р„(г) — вероятность того, что все станки работают) . П р и м е ч а н не.
Нетрудно аналогичным путем составить дифференциальные уравнения для более сложной задачи, когда М сганков обслуживает бригада нз )с рабочих. Для практических целей важно сравнить зкономичносгь гой и другой системы организации труда. С этой целью следует изучить установившийся режим. т.е, рассмотреть вероятности Р„(г) при г Оказывается, работа бригады. обслуживающей Ел станков выгоднее как в смысле лучшего использования рабочего времени станка, так и рабочего времени рабочего, чем обслуживание одним рабочим и станков.
ГЛАВА 3 ПЕПИ МАРКОВА $ 15. Определение цепи Маркова Непосредственным обобщением схемы независимых нспьпаннй является схема так называемых ц е и е й М а р к о в а, впервые систематически изученная известным русским математиком А.А. Марковым. Мы ограничимся изложением элементов его теории. Представим себе, что производится последовательность испытаний, в каждом из которых может осуществиться одно и только одно из гх несовместимых событий А,('), А,!'),..., А„' (верхний индекс, как и в предыдущей главе, обозначает номер испытания), Мы скажем, что последовательность испьпаний образует цепь Маркова, точнее.
простую цепь Маркова, если условная вероятность в х + 1-,н испытании (в = 1, 2, 3,... ) осуществиться событию А,.О+') (г = 1, 2,.... й) зависит ггглько ог того, какое событие произоигл<г при в-м испытании и не изменяется ог добавочных сведений о том, какие события происходили в более ранних испытаниях. Часто при изложении теории цепей Маркова придерживаются иной терминологии и говорят о некоторой физической системе 5. которая в каждый момент времени может находиться в одном из состояний А,, Аг,..., Аа и меняет свое состояние только в моменхы г,, г,...., г „, ..
Для целей Маркова вероятность перейти в какое-либо состояние А; (г' = !. 2,..., й) в момент г, зависит только ох А; и того, в каком состоянии система находилась в момент х(х,, ( г ( г,), н не изменяется от того, что становятся известными ее состояния в более ранние моменты. Для иллюстрации рассмотрим два схематических примера. П р и м е р 1. Представим себе. что частица, находящаяся на прямой, движется по атой прямой под влиянием случайных толчков. происходящих в моменты г,, г г. г,....
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
