Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 14
Текст из файла (страница 14)
устойчивость к погодным условиям, более короткие сроки вегетации, устойчивость к заболеваниям и пр. Перед тем как ввести в массовое производство новый тип телевизора (вычислительной машины, станка, самолета и т.д.) производятся представительные испытания на его безотказность в работе, простоту наладки, приспособленность к ремонту, долговечность. Новые методы преподавания и измененное содержание обучения также требуют длительных и представительных наблюдений и экспериментов, которые могли бы продемонстрировать их преимущества.
То же самое можно сказать и о проблемах медицины, экономики, организации производства, сопиальных исследований. Все новое, прежде чем стать достоянием практики, должно быть предварительно тщательно проверено и подтверждено испытаниями, экспериментами и наблюдениями. Приходится сталкиваться н с другой ситуацией, когда производятся систематические наблюдения за явлениями, происходящими независимо от исследователя. Так, для примера, метеорологи производят наблюдения за числом облачных дней, температурой воздуха в определенные часы суток, его влажностью и пр.
Точно также организатор производства наблюдает за производительностью труда при различных формах его организации. В научной и практической деятельности постоянно приходится проводить многократно повторяющиеся испытания в сходных условиях. Как правило, при этом результаты предшествующих испытаний никак не сказываются на последующих. Очень важен простейший тип таких испытаний, когда в каждом из испытаний некоторое событие А может появиться с одной и той же вероятностью р и эта вероятность остается одной и той же, независимо от результатов предшествующих илн послецующих испытаний.
Этот тил испытаний был впервые исследован знаменитым швейцар. ским ученым Якобом Бернулли (!654 — 1705) в произведении "Ага соп- з 9. Вводные замечания )естапо1" (искусство предположений), изданном после смерти автора в 1713 г., и потому получил наименование схемы Бернулли. Подробное исследование таких последовательностей испытаний заслухсивает внимания как в силу исключительного их значения в теории вероятностей и в приложениях, так и в силу выявившейся в процессе развития теории вероятностей возможности обобщения тех закономерностей, которые впервые были открыты при изучении схемы последовательных независи. мых испытаний. Многие факты, подмеченные на схеме Бернулли, впоследствии служили путеводной нитью при изучении более сложных схем.
Сделанное замечание относится как к прошлому, так и современному разви. тию теории вероятностей. Мы убедимся в этом на примерах закона больших чисел и теоремы Муавра — Лапласа. Рассмотрим теперь следующий вопрос: что следует понимать в схеме Бернулли под элементарным событием? Очевидно, что это последовательность наступлений и ненаступлений интересующего нас события А в последовательных испытаниях. Отнесем наступлению события А единицу, а не- наступлению — нуль. Тогда элементарным событием для и испытаний будет последовательность из и нулей и единиц. Например, если и = 3, то все возможные элементарные события записываются следующими тройкаьли названных нами символов: (0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (1,0,0), (0,1,1), (1,1,0), (1,0,1), (1,1,1).
Смысл каждой из написанных троек чисел 0 и 1 ясен. Первая из перечисленных троек означает, что во всех трех испытаниях событие А не наступило. Вторая тройка означает, что в первых двух испытаниях событие А не наступило, а в третьем — произошло. Легко понять, что множество всех элементарных событий при и испьпаниях состоит из 2" элементов. Теперь мы должны ввести вероятностную меру на множестве элементарных событий. Это делается однозначно. Лействительно, вероятность наступления события А в испытании с номером х равна р, а его ненаступлення— д = 1 — р.
Наступление или ненаступление события А в испытаниях с разными номерами для схемы Бернулли независимы. Значит, в силу теоремы умножения вероятностей, вероятность того, по событие А наступит в т определенных испытаниях (например, в испьпаниях с номерами тл, зз,... ..., з ), а при остальных и — т 'ие наступит, равна ревц~ .
Эта вероятность не зависит от того, как расположены номера л,, з,,..., т„,, Простейшая задача, относящаяся к схеме Бернулли, состоит в определении вероятности Р„(т) того, что в и испытаниях событие А произойдет т раз (О < т м и). Мы только что нашли, что вероятность того, что собьпие А наступит в испьпаниях с определенными т номерами, а в остальных не наступит равна рвлц" ™. По теореме сложения искомая вероятность равна сумме только что вычисленных вероятностей цля всех различных способов раз- Гл.
2. Схема Бернулли 74 мещения т появлений события А н п — т непоявлений среди и испытаний. Число таких способов известно из теории сочетаний, оно равно п! С„'" = и, следовательно, т! (п — т)! Р„(т) = фРс2" (т = О, 1, 2... п), (1) Полученная формула носит наименование формулы Бернулли. Легко заметить, что вероятность Р„(т) равна коэффициенту при х™" в разложении бинома (с1 + рх)" по степеням х. В силу этого свойства совокупность вероятностей Р„(т) называют биномиальным законом распределения вероятностей.
Лишь немного изменив проведенные рассуждения легко обобщить полученный результат. А именно, если в каящом испытании может произойти одно и только одно из й собьпий А,, А,, Аю испытания независимы и в каждом из них событие Аь происходит с вероятностью Рю то вероятность того, что в п независимых испытаниях появятся тс событий Ас, тз событий Аэ,..., та событий Ас„равна п! Р»(тс тт та) = Рс Рг .. Рь (1') тс!тэ' ' 'тсс' Легко также убедиться в том, что эта вероятность является коэффнциен»сс»сСс том прн х, х, ...
х„в разложении полинома (р,х, + р,х, + ... ... + Рьх„)" по степеням х,, х,,..., хю Естественно, что вероятности (1') называются полиномиальным Распределением. Полиномиальные распределения находят применения в естествознании, экономических задачах, инженерном деле. Так как все возможные несовместимые между собой исходы испытаний состоят в появлении события А 0 раз, 1 раз, 2 раза,..., п раз, то ясно, что Х Р„(т) = 1. »с =о Это соотношение может быть выведено и без учета теоретико-вероятностных соображений, поскольку по формуле бинома Ньютона Рл (т) = ( Р + с7) = 1 = 1.
сл =О Имея в виду постановку общих задач, относящихся к схеме независимых испьпаний, рассмотрим теперь числовые примеры. Встречающиеся в них расчеты мы не станем доводить до окончательного числового результата, поскольку зти подсчеты лучше оставить до того момента, когда будут подготовлены удобные и достаточно точные методы для их осуществления, 9 9.
Вводные замечания При мер 1. Вероятность изделию некоторого производства оказаться бракованным равна 0,005. Чему равна вероятность того, что из 10 000 наудачу взятых изделий бракованных изделий окажется а) равно 40, б) не более 70? В нашем примере и = 10 000, р = 0,005, поэтому по формуле (1) находим: а) Р оооо(40)=Сзоооо(0,995)о ~(0,005)ао Вероятность того, что число бракованных изделий окажется не большим 70, равна сумме вероятностей числу бракованных изделий оказаться равным О, 1, 2,..., 70.
Таким образом 70 70 б) Р!Д~ 70)= Х Ра1т)= Х Смз ооо0995'оооо- 0005"*, т=о аз =о Пример 2. Имеются два сосуда А и В, каждый объемом в ! дм'. В каждом из них содержится по 2,7 10 з молекул газа. Эти сосуды приведены в соприкосновение так, что между ними происходит свободный обмен молекулами, но нет общения с внешней средой.
Чему равна вероятность того, что по истечению некоторого времени в одном из сосудов число молекул будет отличаться от числа молекул в другом по меньшей мере на одну десятимиллиардную часть? Для каждой молекулы вероятность оказаться в определенном сосуде равна половине. Таким образом, как бы производится 5,4 10" испытаний, для каждого из которых вероятность попасть в сосуд А равна 0,5. Пусть д — число молекул, попавших в сосуд А, и, следовательно 5,4 . 10зз — д есть число молекул, попавших в сосуд В. Нам нужно определить вероятность того, что 54 !О !и — (5,4 10 — д)!> = 5,4.10'з 10' о Иначе говоря, нужно найти вероятность Р=Р[)л — 27.!Оз !)27 10' ). Согласно теореме сложения р = ХРя(ел), где сумма распространена на те значения т,для которых !т - 2,7 10"! » )2,7 10".
Рассмотренные примеры показывают, что при решении реальных задач постоянно возникают задачи, требующие приближенного вычисления сумм Х Р„(т) для заданных и г при достаточно больших и. Точно также Гл. 2. Схема Бернулли необходимы приближенные формулы для вычисления вероятностей Р„(т) при больших значениях т и и или же при малых т, но больших и. Эти задачи будут решены нами в ближайших параграфах. Сейчас же мы обратимся к установлению некоторых элементарных фактов, относящихся к изучению поведения Р„(т) как функции т. ) 0)я О < т < и, как легко подсчитать, )л()7! 4 1) п - и! Р Р„(т) т+ 1 )7 Отсюда следует, что Р (т+ 1) >Р„(т), если (п — т)р >(т+ !)О, т.е.
если пр — г) >т; Р„(т+ ))=Р„(т), если т = пр - О и, наконец, Р„(т + ! ) ( Рл(т) если т>пр -и. Мы видим, что вероятность Р„(т) с увеличением т сначала возрастает, затем достигает максимума и при дальнейшем росте т убывает. При этом если ир — и является целым числом, то максимальное значение вероятность Р,(т) принимает для двух значений т, именно для те = пр — и и те = пР— 0 + 1 = ЯР + Р.
Если же иР— и не ЯвлЯетсЯ целым числом, то максимального значения вероятность Р„(п!) достигает при т = те, равном наименьшему целому числу, большему т„, Число те называют вероятнейщим значением д. Мы видели, что если пр — 0 есть целое число, то имеет два вероятнейших значения: т„и те = те + 1. 1'абллла 7 ю ~ и„ол) Я ; ~ р„оп) ~ ., ~ лл!т) ~~ м Т рлрл) <5 5 6 7 8 9 1О 0,0000 0,0001 0,0004 О,ОО!2 0,0033 0,0077 0,0)57 !1 )7 !3 !4 )5 !6 17 0,0287 0,0470 0,0679 0,0879 0,1077 0,1178 0,1178 18 19 20 2! 22 23 24 О,! 080 0,0910 0,0704 0,0503 0,0332 0,0202 0,0113 25 26 27 28 29 30 >30 0,0059 0.0028 0,00! 2 0,0005 0.0002 0,0001 0.0000 й 1О.
Локальная предельная теорема Отметим, что если пр — о ( О, то Р„(0) >Р„(1) »... Р„(п), аесли пр — о=О, то Рп (О) Ри (1) > Рп (2) » ° ° ° Рп (и) . В дальнейшем мы увидим, что при больших значениях и все вероятности Р„(т) становятся близкими к нулю, но только для т, близких к вероятнейшему значению то, вероятности Р„(т) сколько-нибудь заметно отличаются от нуля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
