Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Гл. 1. Случайные событии н нх вероятности 60 Считая, что появления какого-либо числа вызовов за два соседних промежутка времени являются событиями независимыми найти вероятность поступления т вызовов за промежуток времени длительности 2 г. Рещение, Обозначим через А»,, событие, состоящее в поступлении !с вызовов за время от а до а + т. Очевидно, что мы имеем следующее равенство: т о т + т Ао, г1= Ао,14лг1 ..+ Ао1А1А1 1=О По теореме умножения вероятностей для независимых событий р(4о 1.4', г) = р(4о,) (А', г',) Таким образом, если положить Рте(т) = Р(4о г1) то ' г1(т) = ~ 11(!) 'Р1(т — 1). 1= о Впоследствии мы увидим, что при (!1=0,1,2 ...) (щ) Р,(!1) = е некоторых весьма общих условиях (7) где а — некоторая константа. Из формулы (6) мы находим, что (аг)'е р ()- ч' ( )т — га1 с = о 1'!(т — !)! т 1 Х 1= о 1!(т — 1')! Но 1 2' — (1+ 1)' =— т ! 1 т е=о !!(т — !)! т! .=о !!(т — !)! которое означает, что событие А,',, можно рассматривать как сумму т + 1 несовместимых событий, состоящих в том, что за первый промежуток времени длительности г поступает 1' вызовов„а за следующий промежуток той же продолжительности поступает т — ! вызовов (1 = О, 1, 2,..., т) .
По теореме сложения вероятностей й 7. условная вероятность и основные формулы Поэтому 61 ( ы -2 аг Рт,(у) = (3 = 0,1,2, ..). Таким образом, если для промежутка времени длительности г имеет место формула (7), то для промежутков времени, в два раза больших, и, как легко убедиться, дчя любых кратных г промежутков времени характер формулы Лдя вероятности сохраняется. Мы в состоянии теперь вывести важные формулы Байеса или, как иногда говорят, вероятности гипотез. Пусть попрежнедеу имеет место равенство (5). Требуется найти вероятность события А;, если известно, что В произошло.
Слогласно теореме умножения имеем: Р(А'В) = Р(В) Р(Ау~В) = Р(Аа) Р(В(А '). Отсюда Р(А;) Р(В ~А1) Р(А;~В) = Р(В) используя формулу полной вероятности, находим, что Р(А; ~В) = Р(А;) Р(В ~А;) л Х Р(А,) Р(В ~А ) 7= 1 *) т. навес приведенных формул не выводил, он ограничился записью формулы 11) настолшего параграфа. Приведенные формулы были выписаны лишь П. Лапласом в конце ХУРП века. Полученные нами формулы носят название формул Бдйеса*) .
Общая схема применения этих формул к решению практических задач такова. Пусть событие В может протекать в различных условиях, относительно характера которых может быль сделано н гипотез: А,, А,... А„. По тем нли иным причинам нам известны вероятности Р(А;) этих гипотез до испытания. Известно также, что гипотеза А; сообщает событию В вероятность Р(В)А;). Произведен опыт, в котором событие В наступило. Это должно вызвать переоценку вероятностей гипотез А; — формулы Байеса количественно решают этот вопрос. В артиллерийской практике производится так называемая пристрелка, имеюшая своей целью уточнить наши знания относительно условий стрельбы (например, правильность прицела). В теории пристрелки широко используется формула Байеса. Мы ограничимся приведением чисто схематического примера исключительно ради иллюстрации характера задач, решаемых этой формулой. Гл.
1. Случайные события и их вертпности Ь2 П р и м е р 1. Имеются пять урн следующего состава: 2 урны (состава А, ) по 2 белых и 3 черных шара, 2 урны (состава Аз) по 1 белому и 4 черных шара, 1 урна (состав Аз) — 4 белых и 1 черный шар. Из одной наудачу выбранной урны взят шар. Он оказался белым (со- бытие В). Чему равна после опыта вероятность (апостериорная вероят- ность) того, что шар вынут из урны третьего состава? Р е ш е н и е. Согласно предположению Р(А ) = 2/5, Р(А ) = 2/5, Р(А ) = 1/5; Р(В ~А ~) = 2/5, Р(В'Аз) = 1/5, Р(В'Аз) = 4/5. Согласно формуле Байеса имеем: Р(Аз) Р(В~Аз) Р(Аз ~В) = Р (А, ) Р (В ! А, ) т Р(А з ) Р(В ! А з ) + Р(А з ) Р(В ~ А з ) 1 4 5 5 4 2 2 2 1 2 ! 4 !О 5 5 5 5 5 5 5 Точно так же находим: Р(А г ~ В) = 2/5, Р(Аз 1 В) = 1/5. 3 8.
Примеры. Мы приведем несколько более сложных примеров на использование изложенной теории. П р и м е р 1*) . Два игрока А и В продолжают некоторую игру до полного разорения одного из иих. Капитал первого равняется а руб., капитал второго — Ь руб. Вероятность выигрыша каждой партии лля игрока А равна р, а для игрока В равна 4; р+ Ч = 1 (ничьи отсутствуют). В каждой партии выигрыш одного игрока (и, значит, проигрыш другого) равняется *! Мы сохраняем для этой задачи *'о разорении игрока*' се классическую формулировку, но возможны и иные формулировки, например: материальная частица находится на прямой в точке 0 н каждую секунду подвергается случайному толчку, в результате которого передвигается на 1 см вправо с вероятностью р нли на 1 см влево с вероятностью Ч = 1 — р, Чему равна вероятность того, что материальная частица окажется правее точки с координатой Ь (Ь > О), прежде чем она попадет в положение, расположенное левее точки с координатой а (а < О, а н Ь вЂ” целые числа)? Задача о разорении игрока была предложена и впервые изучена Х.
Гюйгенсом. Мы предполагаем, что вероятность события "разорение игрока" существует. 8. Примеры 1 рублю. Найти вероятность разорения каждого из игроков трезультаты отдельных партий преллолагаются независимыми) . Р е ш е н и е. Обозначим через Р„вероятность разорения игрока А, когда он имеет л руб. Очевидно, что искомая вероятность есть р, и что Ра+и О Ре (1) поскольку в первом случае игрок А уже сосредоточил в своих руках весь капитал, а во втором он уже ничего не имеет. Если игрок А имел л руб, перед некоторой партией, то его разорение может осуществиться двумя различными способами: нли он очередную партию выиграет, а всю игру проиграет, или он проиграет и партию н игру. По формуле полной вероятности поэтому Р.
= Р Р. + ! + /. Р. Относительно Р„мы получили уравнение в конечных разностях; легко видеть, что его можно записать в следующем виде: е/(Р» Р» — г) Р(Р» е! Р») (2) Рассмотрим сначала решение этого уравнения при Р = д = 1/2. При этом допущении Р»ег Р» Р» Р» — 1 = =Р1 Ре где с — постоянная. Отсюда находим, что Р„=ре +лс. Поскольку ре = 1 н р„„= О, то л р„=1 — — . а+Ь Таким образом, вероятность разорения игрока А равняется а Ь р =!в а+Ь а+Ь Подобным же путем найдем, что в случае р = 1/2 вероятность разорения игрока В равна а аь а+Ь В общем случае при Р Фе/ из 12) находим,что » » ~" и <ЄЄ,)=Р П <Рам Р„), 44 Гл.
1. Случайные события и ия вероятности После сокращений и учета соотношений (1) находим, что рл., — рл = Й/р)" (р — 1). РассмотРим Разность Ра чь — Рл; очевидно, что а+Ь вЂ” 1 а+Ь вЂ” 1 Р„ь -Рл — Х (Р„„— Рь) Х (1/Р) (Р, — 1)- я=а Ь=л )л = (р1 — 1) 1 — б/р Поскольку р,чь = О, то (б/р)" — (11/р)" ' Рл (1 Р1) 1-М а так как ро = 1, то ( /р)0 (и/ )а+Ь 1 = (1 — Р1) 1-ц/р Исключив из двух последних равенств величину р,, находим, что )а+Ь ( / )л рл ( / ) а + Ь 1 Отсюда вероятность разорения игрока А ~ать „ачь 1 ( /, )ь Ра = чачь а+ь 1 ( / )а+ь Подобным же путем находим, что вероятность разорения игрока В при рФ11 равна 1 — (б/р)' ЧЬ 1-(Ч/р)"' Из этих формул мы можем сделать следующие выводы: если капитал одного из игроков, например В, несравненно больше капитала игрока А, так что практически Ь можно считать бесконечно большим по сравнению с а, а игроки одинаково искусны, то разорение В практически невозможно, Вывод будет совсем иной, если А играет лучше, чем В, и, значит, р ) 11.
Считая Ь -, находим,что чь 1 — (гг/Р) и ра - (с/р)'. Ь5 б 6. Примеры Отсюда мы делаем тот вывод, что умелый игрок даже с малым капиталом может иметь меньше шансов на разорение, чем игрок с большим капиталом, но менее умельй. К задаче о разорении игрока сводится решение некоторых задач физики и техники.
Приме р 2. Найти вероятность того, что станок, работающий в момент го, не остановится до момента го + г, если известно, что 1) эта вероятность зависит только от величины промежутка времени (го, го + г), 2) вероятность того, что станок остановится за промежуток времени т5г пропорциональна 15г с точностью до бесконечно малых высших порядков «) относительно тат. Р е ш е н и е.
Обозначим вероятность через р(г). Вероятность того, что станок остановится за промежуток времени з5 г равна 1 — )з(г5() = аз5( + о(г5(), где а — некоторая постоянная. Определим вероятность того, что станок, работавший в момент го, не остановится до момента го + г + Ггг. Для осуществления этого собьпия необходимо, чтобы станок не остановился за периоды времени длины г и )5(; в силу теоремы умножения, таким образом, р(г е з5)) = р(г) р(сзг) = р(г) (1 — д 5( — о(г5))). Отсюда р(г+ 5г) — р(г) = -лр(г) -о(1).
(3) Перейдем теперь к пределу, положив сзг - 0; из того, что существует предел правой части равенства (3), вытекает, что существует также предел левой части. В результате нзходим, что Ф(г) — =-Иг) с(г Решение этого уравнения есть функция р(г) = Се ", где С вЂ” постоянная, Эта постоянная находится из того очевидного условия, что р(0) = 1, Таким образом, р(г) = е — а' е) В дальнейшем для записи того факта, что некоторая величина а бесконечно мала сравнительно с величиной д, мы будем пользоваться записью о = о (д).
Если же отношение о)д ограничено по абсолютной величине, то мы будем писать а = О(д), Э Б.В. Гнедеике Гл. ц Случайные событнн н нх вероятности бб Первое условие задачи налагает на режим работы станка большие ограничения, однако существуют производства, где ано выполняется с большой степенью точности.
В качестве примера можно привести работу автоматического ткацкого станка. Заметим, что к рассмотренной задаче сводится много других вопросов, например, вопрос о распределении вероят. настей длины свободного пути молекулы в кинетической теории газов. П р и м е р 3. При составлении таблиц смертности часто исходят из таких допущений: 1) вероятность того, что некоторое лицо умрет в возрасте от г до т + 2гг равна р(г, г+ Ьг) = аЯЬг+ о(Ггт), где а Я) — неотрицательная, непрерывная функция. 2) считается, чта смерть данного лица (или его выживание) за рассмат.
риваемый промежуток (г,, г,) возраста не зависит от того, что было до момента г „3) вероятность смерти в момент рождения равна нулю. Исходя из высказанных предположений, найти вероятность смерти лицаА до того, как оно достигнет возраста т. Решение. Обозначим через л(т) вероятность того, что лицо А доживет до возраста т, н вычислим л(г + Ьт) . Очевидна, что нз допущений, принятых в задаче, вытекает равенство гт(г + Ьг) = лЯтт(т + ты; г), где л(т + Ьт; г) обозначает вероятность дожить да возраста т + стт, если лицо А уже дожило до возраста т. В соответствии с первым и вторым до.
пущениями л(г е гг г; т) = 1 — р(г, г + т.'г г) = 1 — а яхт — о (тат); поэтому л(г+ Ы) = тг(г)Г1 — аЯГет — о(Гьт)'1 Отсюда находим, что л(т) удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению: г1л(г) — = — а(г) тг(г) . стт Решением этого уравнения при учете третьего условия задачи будет функция г - ( е(гтаг Я= а 8. Примеры Вероятность умереп прежде, чем будет достигнут возраст «, таким образом, равна -1 а(е)из 1 — и(«) = 1 — е При составлении таблиц смертности для взрослого населения нередко пользуются формулой Макегама, согласно которой а(«) = а + Ветс, постоянные а, В, ) — положительные).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
