Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 11
Текст из файла (страница 11)
1. Случааяые события и ях вероятности 2. Из аксиомы непрерывности следует расширенная аксиома сложения. Пусть собьпияА,, А,... А„,... попарно несовместимы и А =А1 тАт + ° тАо + . Положим Вп = .о Аь. К=о Ясно, что В„+г С В„. Если событие В„наступило, то наступило какое- нибудь из событий А;(Г > п ) и, значит, в силу непарной несовместимости событий Аь, собьгтия Аг+г„Амз,... уже не наступили. Таким образом событии В~+ю В;,т... невозможны, и, следовательно, невозможно сабытие П Вь. По аксиоме непрерывности Р(В„) - 0 при п .
Так как ь=п А =А1 +Аз +... +А„+ В„т,, то по обычной аксиоме сложения Р(А) = Р(А, ) + Р(А т ) +... + Р(А„) + Р(В„т,) = !яп Х Р(Ае) = Х Р(А„). е е-1 Мы видим из сказанного, что аксиоматика Колмогорова позволяет строить теорию вероятностей как часть теории меры, а вероятность расматривать как неотрицательную нормированную аддитивную функцию множества. Вероятностным пространством принято называть тройку символов (й, 5, Р), где П вЂ” множество злементарных событий, 5 — о.алгебра подмножеств й, называемых случайными событиями и Р(А) — вероятность, определенная на а-алгебра 5 б 7.
Условная вероятность и простейшие основные формулы Мы уже говорили, что в основе определения вероятности события лежит некоторая совокупность усбовий то. Если никаких ограничений, кроме условий тс, при вычислении вероятности Р(А) не налагается, то такие вероятности называются безусловными. Однако в ряде случаев приходится рассматривать вероятности событий при дополнительном условии, что произошло некоторое событие В.
Такие вероятности мы будем называть условными и обозначать символом Р(А1В); это означает вероятность события А при условии, что событие В произошло. Строго говоря, безусловные вероятности также являются условными, так й 7. Условная вероятность и основные формулы 55 как исходным моментом построенной теории было предположение о существовании некоторого неизменного комплекса условий ю П рн м е р 1. Брошены две игральные кости.
Чему равна вероятность того, что сумма выпавших на ннх очков равна 8 (событие А), если известно, что зта сумма есть четное число (событие В)? Таблица 6 Все возможные случаи, которые могут представиться при бросании двух костей, мы запишем в табл. б, каждая клетка которой содержит запись возможного события: на первом месте в скобках указывается число очков, выпавших на первой кости, на втором месте — число очков, выпавших на второй кости. Общее число возможных случаев — 36, благоприятствующих событию А — 5.
Таким образом, безусловная вероятность Р(А) = 5/Зб, Если событие В произошло, то осуществилась одна из 18 ( а не Зб) возможностей и, следовательно, условная вероятность равна Р(А~В) = 5/18. П р и м е р 2. Из колоды карт последовательно вынуты две карты. Найти а) безусловную вероятность тото, что вторая карта окажется тузом (неизвестно, какая карта была вынута вначане) и б) условную вероятность, что вторая карта будет тузом, если первоначально был вынут туз. Обозначим через А событие, состоящее в появлении туза на втором месте, а через  — событие, состоюпее в появлении туза на первом месте.
Ясно, что имеет место равенство А =АВ+АВ. В силу несовместимости событий АВ и АВ имеем: Р(А) =Р(АВ) + Р(АВ). Гл. 1. Случайные собьпил и их вероятности 56 При вынимании двух карт из колоды в 36 карт могут произойти 36 35 (учитывая порядок!) случаев, Из них благоприятствующих событию А — 4 . 3 случаев, а событию А — 32 - 4 случая. Таким образом, 4.3 32-4 1 Р(А) = — + 36 35 36.35 9 Если первая карта есть туз, то в колоде осталось 35 карт и среди них только три туза. Следовательно, Р(А ~В) = 3!35.
Общее решение задачи нахождении условной вероятности для классического определения вероятности не представляет труда. В самом деле, пусть из л единственно возможных, несовместимых и равновероятных событийАыАз,..., А событию А благоприятствует т событий, В й АВ (понятно, что г ( х, г < т) . Если событие В произошло, то это означает, что наступило одно из событий А;, благоприятствующих В. При этом ус- ловии событию А благоприятствуют«и только г событийА1, благоприят- ствующих АВ. Таким образом, г г/л Р (АВ) Р(А ~В) = — = (1) й а!и Р (В) Понятие независимости событий играет значительную роль в теории вероятностей и в ее приложениях. В частности, большая часть результатов, изложенных в настоящей книге, получена в предположении независимости тех или иных рассматриваемых событий.
В практических вопросах для определения независимости данных событий редко обращаются к проверке выполнения для них равенств (3) и (4) . Обычно для этого пользуются интуитивными соображениями, основанными на опьпе. Так, например, ясно, что выпадение герба на одной монете не изменяет вероитности появления герба (решки) на другой монете, еати только зтн монеты во время бросания не связаны между собой (например, жестко не скреплены). Точно так же рождение мальчика у одной матери не изменяет вероятности появления мальчика (девочки) у другой матери.
Это события независимые. Для независимых событий теорема умножения принимает особенно простой вид, а именно, если события А и В независимы, а 7. Условная вероятность и основные формулы то Р(АВ) = Р(А) Р(В). Точно так же, если Р(А) > О, то Р(АВ) Р(В!А) = (А) ' (Г) Понятно, что если В (соответственно, А) есть невозможное событие, то равенство (1) (соответственно (1 )) теряет смысл.
Заметим, что рассуждения, проведенные нами в примерах 1 и 2, ие являются доказательствами, а представляют только мотивировки определений, данных равенствами (1) и (1') . При Р(А)Р(В) ) О каждое из равенств (1), (1') зквивалентно так называемой те о ре ме умно же ни я, согласно которой Р(АВ) =Р(А) Р(В!А1 = Р(В) Р(А 1 В), (2) Р(А 1В) = Р(А). (3) т.е. если наступление собьпия В не изменяет вероятности события А*) Если событие А независимо от В, то в силу (2) имеет место равенство Р(А) Р(В! А) = Р(В) Р(А) . Отсюда находим, что Р(В 1А) = Р(В), (4) т.е. что аюбытие В также независимо от А.
Таким образом, при сделанном предположении свойство независимости событий взаимно. Если независимость событий А и В определить посредством равенства Р(АВ) =Р(А) Р(В), то зто определение верно всегда, в том числе и тогда, когда Р(А) = О или Р(В) = О. ОПонятия условной вероятности и независимости, а также формулировка теоремы умножения Ланы А.муавром в 1718 г т.е. вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из зтих событий па условную вероятность другого при условии, что первое произошло. Теорема умножения применима и в том случае, когда одно из событий А или В есть невозможное событие,так как в этом случае вместе с Р(А) = О имеют место равенства Р(А ~В) = О и Р(АВ) = О. Говорят, что событие А независимо от события В, если имеет место равен- ство Гн.
1. Случайные события и их вероятности Мы обобщим теперь понатие независимости двух собьпий на совокуп- ность нескольких собьпнй. События Вы Вт,..., В, называются независимыми в совокупности, если для любого события Вр из их числа и произвольньгх В,, В;,..., й 1 ..., В;,(1в чь р) из их же числа события Вр и В; В~, ... Вг взаимно независимы.
В силу предыдущего это определение эквивалентно следующему: при любых 1Ю~ <1т <...< 1„<з иг(1 <г <г) Р(В' Вч ° Вч ) Р(В' ) Р(Вг ) Р(Вч ) Заметим, что для независимости в совокупности нескольких собы- тий недостаточно их попарной независимости. В этом можно убедиться на следующем простом примере. Представим себе, что грани тетраэдра окрашены: 1-я в — красный цвет (А), 2-я — в зеленый (В), 3-я — в си- ний (С) и 4-я — во все эти три цвета (АВС).
Легко вндеть,чтовероятность грани, на которую упадет тетраздр при бросании, в своей окраске иметь красный цвет равна 1/2: граней четыре н две из ннх имеют в окраске красный цвет. Таким образом, Р(А) = 11'2. Точно так же можно гюдсчитать, что Р(В) = Р(С) = Р(А ! В) = Р(В ! С) = Р(С~ А) = = Р(В ! А) = Р(С ! В) = Р(А ! С) = 1(2, события А, В, С, таким образом, попарно независимы.
Однако если нам известно, что осуществились события В и С, то заведомоо осуществилось и событие А, т.е. Р(А 1 ВС) = 1. Таким образом, события А, В, С в совокупности зависимы. Формула (1 ), которая в случае классического определения была нами выведена из определения условной вероятности, в случае аксиоматического определения вероятности будет взята нами в качестве определения. Таким образом,в обще м случае при Р(А)>0 по определению Р(АВ) Р(В !А) = Р(А) (В случае Р(А) = 0 условная вероятность Р(В!А) остается неопределенной.) Это позволяет нам перенести автоматически на общее понятие вероятности все определения и результаты настоящего параграфа. Предположим теперь, что событие В может осуществиться с одним и только с одним из и несовместимых событий А,, Ат,..., А„.
Иными 59 б 7, Условная вероятность и основные формулы словами, положим, что и В= 2' ,ВАп (5) где события ВАг и ВАу с разными индексами! и/ несовместимы. По теореме сложения вероятностей имеем: Р(В) = Х Р(ВАт). Использовав теорему умножения, находим, что Р(В) = 2' Р(Аг) Р(В!А;). Это равенство носит название ф о р мул ы пол но й веро ятно стн*) и играет основную роль во всей дальнейшей теории. В качестве иллюстрации рассмотрим два примера. При мер 1. Имеется пять урн: 2 урны состава А, — по два белых шара н одному черному, 1 урна состава А, — по 10 черных шаров, 2 урны состава А, — по 3 белых шара и одному черному. Наудачу выбирается урна и из нее наудачу вынимается пир. Чему равна вероятность, что вынутый шар белый (событие В)? Р е ш е н н е.
Так как вынутый шар может быть только нз урны 1-го, 2-го нли 3-го состава, то В =А|В+АзВ+АзВ. По формуле полной вероятности находим, что Р(В) = Р(Ат) Р(В !А~) + Р(Аз) Р(В !Аз) + Р(Аз) Р(В <Аз). Но ясно, что Р(А, ) = 2, 5, Р(Ат ) = 1/5, Р(Аз) = 2/5 Р(В !А1) = 2/3 Р(В ~Аг) = О Р(В |Аз) = 3/4. Таким образом, Р(В) = 2/5 2/3 + 1/5 0 + 2/5 . 3/4 = 17/30. Пример 2. Известно, что вероятность поступления /с вызовов на телефонную станцию за промежуток времени г равна Р,(/с) (/с = О, 1, 2, ...) . Ю формула полной вероятности широко использовалась математиками начала ХЧРП века, но впервые была сформулирована как основное предложение теории вероятностей П. Лапласом лишь в конце ХЧ1П века.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
