Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Этот факт впоследствии будет доказан нами, а сейчас проиллюстрируем сказанное числовым примером. П р и м е р 3. Пусть п = 50, р = 1/3. Вероятнейших значений два: то = пр — о = 16 и то + 1 = 17. Значения вероятностей Р„(т) с точностью до четвертого десятичного знака представлены в табл, 7. й 10. Локальная предельная теорема При рассмотрении числовых примеров предыпущего параграфа было замечено, что при больших значениях и и т вычисление вероятностей Р„(т) превращается в технически сложную задачу. Это обстоятельство было отмечено в ряде рябо~ мазематиков начала Х1тП1 века, посвнщенных демо.
графическим проблемам. Возникла необходимость в асимптотических ь формулах как для Р„(т), так и для о Р„(т). Зта задача была исчерт=а пываюше решена Абрахамом де Муавром (1667 — 1754), французским математиком, всю жизнь прожившим в Ан~лии. Позднее неопнократно две замечательные его теоремы, к формулировке и доказательству которых мы и перейдем, находили применения и широкие обобщения.
Первая из них получила наименование локальной предельной теоремы. Локальная теорема Муавра. Если вероятность наступления некоторого собьпия в п независимых испытаниях постоянна и ранна р (О ( р( !), то вероятность Р„(т) того, что в этих испытанияхсобытиеА наступит ровно т раз, удовлетворяет при п спотносиению 1 ь/'н равномерно для всех т, для которых т — пр х =х„,„= лг'про находится в каком-либо конечном интервале. Гл.
2. Схема Бернулли 76 Доказательство. Приводимое нами доказательство опирается на известную из курса математического анализа формулу Стирлиига (одновременно открытую и Муавром) з1= /2ят тее ее ~ в которой остаточный показатель О, удовлетворяет неравенству 1ц,!< 1 12т (2') Заметим, что равенство (2) может быть записано в виде т =ир+х~гпрц. Отсюда следует, что и — т = иц — х,/йрц. и! Ри(т) = р"'ц" т! (и — т)! где 1 /1 1 1 е =Ьи — Цм — ця м < — ~ — е — + 12 и т п — т/ Отсюда мы видим, что, каков бы ни был отрезок а < х < Ь, величина 0 равномерно относительно х в атом отрезке стремится к нулю при иСлеловательно, множитель е прн том же условии равномерно стремится к единипе.
рассмотрим теперь величину 1пАи=!п Р ц (Ц '1 / /И = — (прах;/ирц)1п 1+ха/ — )1 — (иц — ххуирц)"п~1-хъ' — /. ир ир Последние равенства показывиот, что если х остается в каком-либо огра- ниченном отрезке, то числа т и и — т возрастают до бесконечности вме- сте с п. После этого замечания мы можем использовать формулу Стир- линга. Ее применение дает нам 79 а !О.
Локальная предельная теорема В условиях теоремы величины х! — и хг — при достаточно больпр иа ших п могут быть сделаны как угодно малыми, поэтому можно воспользоваться разложением логарифма в степенной ряд. Ограничившись двумя первыми членами, находим 1п 1+хх/ — / = х г' — — — — + О ~ ир пр 2 ир згз / !и 1 — хч! — ~ = — хат — — — — + О ~ пц щ 2 ий пз/з/ Несложные подсчеты показывают, что 1пА„= — — + О ~ — и равномерно относительно и в любом конечном отрезке х хе -4л!е т — 1 (и- ).
а...-- е т (и — т) отрезке х. Приведенные подсчеты доказывают теорему. По существу теми же подсчетами можно доказать аначогичную локальную теорему и для полиномиального распределения. Лак аль ная теорема. Если вероятности р,, рт,,...р„повелев!! ния соответственно событий А,, А,,....4 в з-м испытании не зависят от номера испытания и отличны от 0 и от 1 (Ос. ре( 1. 1= 1, 2,...,К) ! то вероятность Рл(те, тт, ..., т») того, что при и независимых испытаниях события А! (!' = 1, 2,..., К) появятся т! раз (т, + те +...
+ те, = и), (е) удовлетворяет соотношению ! — Х еехз 2 е=! е ~/п" ' Р„(т,, т,,..., т» ): ее~.—.. Ь» (п-ь ) равномерно для всех т! (! = 1, 2,..., К) для которых х! = т! — ир! ,/яр!о! находятся в произвольных конечных интервалах а! ~ х! ( Ь!. Гл. 2. Схеме Бернулли а Из равенства Х т; = л вытекает соотношение Х х; ~/лрг92 = О, !.=1 2=1 ко~орое позволяет одно из х; выразить через остальные.
Заметим вдобавок, что Х р; = 1. При х = 2 из этой теоремы, как частный случай, получается 1=! теорема Муавра. П ример 1. В примере 2 предыдущего параграфа нам нужно было определить Рл(т) при л = 1О 000, т = 40, р = 0,005. По только что доказанной теореме имеем: 1 (>л — лр 1 Рл (т) е г 'ь ъ'лрч °,/ 2ллрй Для нашего примера ъ/лргз = хlГ0 000 0,005 0,995 = ч/49,75 - 7,05, т — лр — 1,42. ~/лР4 Следовательно, нег' 1 1'л И2)- е 7,05 хаял Функция 1 р(х) = — е х/2л табулирована; краткая таблица значений этой функции приведена в конце книги.
По этой таблице находим, что 0,1456 Р„(т) - = 0,0020б. 7,05 Точные подсчеты без использования теоремы Муавра — Лапласа дают нам Рп (т) О 00197. Лля иллюстрации характера приближений, даваемых теоремой Муавра— Лапласа, а также для геометрического пояснения проделанных при ее б 10. Локальная предельная теорема 81 Таблица 8 и=4 Ри (т) х 0,4096 0,1536 О 0016 0,4096 0,0256 2,75 0,0205 0,0091 0,25 150 4,00 0,3277 0,1229 0,0013 0,3867 0,1295 0,0001 — 1,00 0,3277 0,2420 вирд Ри (т) Р (х) Таблица 9 » =25 т х ;/йрд Ри(т) у (х) т х Рп 0») !ирл Рп (м) у (х) Рп Оп) 0,0!75 8 1,5 0,0540 9 2,0 0,1295 10 2,5 0,2420 11 3,0 0,3521 12 3,5 0,3989 13 4,0 0,3521 14 4,5 0,2420 >14 >4,5 Таблица 10 л = 100 „Iиря Ри (т) и (х) ж т Ри Ои),(пре Ри (м) и (х) 1» (м) 21 0,25 0,0946 22 0,50 0,0849 23 0,75 0,0720 24 1,00 0,0577 25 1,25 0,0439 26 1,50 0,0316 27 1,75 0,0217 28 2,00 0,0141 29 2,25 0,0088 30 2,50 0,0052 31 2,75 0,0029 32 3,00 0,0016 0,0044 0,0091 0,0! 75 0,0317 0,05 40 0,0862 0,1295 0,1826 0,2420 0,3011 0,3521 0,3867 0,3989 0 -25 1 — 2,0 2 — 1,5 3 -1,0 4 -05 5 0,0 6 0,5 7 1,0 8 -3,00 9 -275 10 — 2,50 11 -2,25 12 -2,00 13 -1,75 14 -1,50 15 -1,25 16 — 1,00 17 -0,75 18 -0,50 19 — 0,25 20 -0,00 0,0037 0,0236 0,0708 0,1358 0,1867 О,! 960 0,1633 0,1108 0,0006 0,0015 0,0034 0,0069 0,01 27 0,0216 0,0335 0,0481 0,0638 0,0788 0,0909 0,0981 0,0993 0,0075 0,047 2 0.1417 0,2715 0,3734 0,3920 0,3267 0,2217 0,0023 0,0059 0,0134 0,0275 0,0510 0,0863 0,1341 0,1923 0,255 3 0,3154 0,3636 0,3923 0,3972 0,0623 0,0294 0,0118 0,0040 0,0012 0,0003 0,0000 0,0000 0,1 247 0,0589 0,0236 0,0080 0,0023 0,0006 0,0000 0,0000 0,3783 0,3396 0,2879 0,2309 0,1755 0,1266 0,0867 0,0565 0,0351 0,0208 0,0117 0,0063 0,1295 0,0540 0,0175 0,0044 0,0009 0,0001 0,0000 0,0000 0,3867 0,35 21 0,3011 0,2420 0,1 826 0,1295 0,0862 0,0540 0,0317 0,0175 0,0091 0,0044 Гл.
2. Схема Бернулли 82 Таблица 11 ц =400 п1 х Рп Ол) х)прч Рп (т) Ф (х) т х Рп (т) уплч Рп (т) а (х) доказательстве аналитических преобразований, мы рассмотрим численный пример. Пусть вероязность р равна 0,2. В табл. 8 — 11 собраны значения т, т — ир Х , вероятностей Рп(т), величин ъ/прц Рп(т),а также функ,)лрг) з ции ~(х) = е с точностью до четвертого десятичного знака соот° /2л ветственно для числа испытаний л = 4,25, 100, 400. На рис. 1Оа ординаты изображают значения вероятностей Р„(т) при различных целочисленных значениях абсциссы т.
По рисунку видно, что с увеличением л величины Р„(т) равномерно убывают, Для того чтобы на рисунке точки (т, Р„(т) ) 56 -3,000 0,0004 57 -2,875 0,0006 58 -2,750 0,0009 59 -2,625 0,0014 60 -2,500 0,0019 61 — 2,395 0,0027 62 — 2,250 0,0037 63 -2,125 0,0050 64 -2,000 0,0066 ' 65 -1,875 0,0089 66 -1,750 0,0108 67 — 1,625 0,01 34 68 — 1,500 0,0164 69 -1,375' 0,0198 70 -1,250 0,0234 71 -1,125 0,0271 72 -1,000 0,0310 73 — 0,875 0,0349 74 -0,750 0,0385 75 -0,625 0,0419 76 — 0,500 0,0447 77 -0,375 0,0471 78 — 0,250 0,0487 79 -0,125 0,0497 80 -0,000 0,0498 0,0034 0,0051 0,0076 0,0104 0,0156 0,0218 0,0298 0,0399 0,0525 0,0679 0,0862 0,1075 0,1316 04583 0,1871 0,21 75 0,2483 0,27 89 0,3081 0,3317 0,3580 0,3766 0,3919 0,3973 0,3985 0,0044 81 0,0064 82 0,0091 83 0,0127 84 0,0175 85 0,0238 86 0,0317 87 0,0417 88 0,0540 89 0,0684 90 0,0862 91 0,1065' 92 0,1295 93 0,1550 94 0,1827 95 0,2119 96 0,2420 97 0,2721 98 0,3011 99 0,3282 100 0,3521 101 0,3719 102 0,3867 !03 0,3957 104 0,3989 0.125 0,0492 0,250 0,0478 0,375 0,0458 0,500 0,0432 0,625 0,0402 0,750 0,0368 0,875 0,0332 1,000 0,0295 1,125 0,0259 1,250 0,0223 1,375 0,0190 1,500 0„0160 1,625 0,01 32 1,750 0,0108 1,875 0,0087 2,000 0,0069 2,125 0,0054 2,250 0,0042 2,375 0,0032 2,500 0,0024 2.625 0,0018 2,750 0,00! 3 2,875 0,0009 3,000 0,0008 0,3956 0,3828 0,3666 0,3459 0,3215 0,2944 0,2656 0,2362 0,2070 0,1788 0,1523 0,1 279 0.1059 0,0865 0,0696 0,0553 0,0433 0,0335 ОД255 0,0192 0,0142 0,0105 0,0075 0,0054 0,3957 0,3867 0,3719 0,3521 0.3282 0,3011 0 2721 0,2420 0,2119 0,1826 0,1550 0,1295 0,1065 0,0862 0,0684 0,0540 0,041 7 0,0317 0,0238 0,0175 0,0127 0,0091 0,0064 0,0044 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
