Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 16
Текст из файла (страница 16)
2. Схема Бернулли уже для рассматриваемых значений п не слились с осью абсцисс, мы выбе- рем резко различные масштабы по осям координат. т — лр Рассмотрение вместо абсцисс еп и ординат Р„(т) абсцисс х„= ч/лрд и ординат у„(т) = х/лрс/ Р„(т) означает 1) перенос начала координат в точку (лр, 0), находящуюся вблизи от максимальной ординаты Р„(т), 2) увеличение единицы масштаба по оси абсцисс в ч/прп раз (иными словами, сжатие ~рафика по осн абсцисс в х/лрс/ раз), 3) уменьшение единицы масштаба по оси ординат в,/лр0 раз (иными словами, растяжение графика по оси ординат в т/лр0 раз) . На рис. 10б, в, г изображены кривая у = чс(х) и преобразованные только что описанным способом точки (т, Ри(тп)), т.е. точки !хи, у„(т)1. Мы видим, что уже при л = 25 точки (х„, 3п(т)) сливаются на графике с соответствующими точками кривой у = р(х).
Это совпадение становится еще лучше при больших чем 25 значениях л, Чтобы получить наглядное представление о том, в какой мере можно пользоваться асимптотической формулой Муавра — Лапласа при конечных л*), т.е. заменять биномиальньщ закон при вычислении вероятностей Р„(т) функцией у = р(х), приведем пример. Для простоты рассмотрим Таблица 12 Ри-О« ри Фи 0,09742 0,04847 0,024207 0,014236 1,0065 1,0030 !,0004 1,0001 0,09679 0,04839 0,024194 0,014234 0,00063 0,00008 0,00001 3 0,000002 25 100 400 1156 случай р = д = 1/2 и возьмем лишь те п, для которых возможно значение х„= 1; такими могут бьцеч например, л = 25, 100, 400, 1156. Именно для нихх„ = 1 при т = 15, 55, 2!О, 595. — х' /2 = Ди пр« х/2ллри Положим для краткости Р„(т) = Р„и р = с/ = 1/2 и х„= 1, Согласно локальной теореме Муавра — Лапласа отношение Р„/О„должно стремиться к единице, когда п -ь, Вычисление при названных выше значениях п дает *) Очень .шчныс опенки остаточного члена даны в работе С.Н.
Бернштейна '*Возврат к вопросу о точности предельной формулы Лапласа" (Иав. АН СССР.. 1943.— Т. 7.) 1 ! !. Интегреяьнея предельная теорема 1 11. Интегральная предельная теорема Только что выведенную локальную предельную ~еорему мы используем для вывода другого предельного соотношения теории вероятностей— интегральной предельной теоремы. Изложение начнем с простейщсго частного случая этой теоремы — интеграчьной теоремы М1/авра-Лапласа. Интегральная теорема Муавра — Лапласа. Если и есть число наступлений события в и независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность этого события равна р, причем О < р< 1, го равномерно относительно а и Ь ( — 4а <Ь <+' ) лри и - имеет место соотношение ее д-ир ) 1 Р а< <Ь~ - — / е 'е(т.
х/йре/ х/2 н ле Показательство. Введем лля краткости письма обозначение Р„(а,Ь)=Р а< <Ь °,/ар !( Эта вероятность, очевидно, равна сумме 2Р„(т), распространенной на те значения т, для которых а <х < Ь, где попрежнему обозначено х т — лр х/при Определим теперь функцию у = П„(х) следующим образом: ир О для х <хо = — и 1 1+и!1 ! О днях~хе + ,/л р а х/йре( ,/пре/Р„(т) длях <х <х,„„(т — — 0,1,...,и).
у=П„(х)= я Рн(т) =х/ирг/Р„(т)(х е! — х ) = ( П„(х)е(х, Рн Отсюда следует, что искомая вероепность Рн(а, Ь) равна площади, заключаю!ой между кривой у = П„(х), осью ОХ и ординатами в точках х н х —, где т и т определяются посредством неравенств 1 а<х„<а+ —, Ь<х- <Ь+ ;/пру х/ирй Очевидно, что вероятность Р„(т) равна площади, ограниченной кривой у = П„(х), осью ОХ и ординатамн в точках х = х их = х,„„, т.е. Гл. 2.
Схема Бернулли 86 Таким образом, Р. ((, Ь) = )' П„( ) «т ь «т «т = Г П (х) 1 + Х П„(х) 1х — ) П. (х) ( . а ь а Так как максимальное значение вероятности Рл(еп) приходится на значение шо = [(п + 1)р), то максимальное значение П„(х) приходится на интервал пел — яр шо +! — пР 2 О< (х( «У ярд х/прд В этом интервале действует локальная теорема Муавра — Лапласа, н мы можем поэтому заключить, что при всех достаточно больших значениях л 1 — ««э глахИ„(х)(2 — шахе " 12 =у'2/з..
Отсюда мы прежде всего выводим, что «т « «„„ ! Рл 1= ) ) П„(х) еаах — /' П„(х) с1х ) < / шах П„(х) е1х + ь а ь «т /2 2 + 3 шахПл(х)е1х'(«/ — ( — Ь+х- +хт — а) <2~/— а л япрц и что, следовательно Ра л Таким образом, Рл(л, Ь) только на величину бесконечно малую отличае ется от( Пл(х)Их. а Мы предположим сначала, что а и Ь вЂ” конечные числа. Прн этом предположении согласно локальной теореме прн а <х (Ь 1 П„(Х ) = — Е «т12[1 + Пл(лт)], ~/2 я где ол(хт) -+ 0 прн л — «равномерно относительно хт. Очевидно, что и Вт й 11. Интегральная предельная теорема при промежуточных значениях аргумента -х* 2 Пп(х)= — е " 1~ [1+п„(х)), ~тг2 л причем 1пп 1нп оп(х) = О.
Лействительно, при любом т в интервале и а<а< Ь х,„<х(х е, имеем: 1 Пп(х)= Пп(х,„) = — е ' 1211+Па(х)1, ,/2 я где а а х †Так как хт — х' птах(1а 1, ! Ы) <~х!.!х — хп ~< то ясно, что 1пп птах а(х) = О. и а<х<Ь Собрав вместе найденные оценки, получаем, что Рп (а, Ь) = — )' е " 7~ е(х т Нп, х/"'2'л яа где 1 ь кп= Х е ' пп(х)т(х+РЬ. ~/2л а Так как Ь ~Я„~< гпах ~пп(х)! — / е "~ с1х+Рп, а<а <Ь Х/27Г а то из сказанного ясно, что йтп пппб, и > В сделанном нами по ходу доказательства частном предположении тео- рема доказана.
Нам остается освободиться от этого ограничения. Гл. 2. Схема Бернулли ва С этой целью прежде всего заметим, что 1 г з — /е * г~йт =!. х/2 л Поэтому для любого е > 0 можно выбрать столь большое А, что 1 А е — ) е *~ Нт>! — —, Х/2л А 4 — ) е '/~Иг= /е '1~Иг< —. х/2л — х/2л А 8 Выберем далее, в соответствии с доказанным, столь большое л, что при — А <а < Ь < А будет: ! Р„(а, Ь) — — 3' е ' (з с(г ~ < — .
х/йл па ~ 4 Тогда очевицно, что Р„( — А, А) > 1 — е/2, Р( — ',— А)+Р(А, + )= ! — Р( — А,А)<е/2. Теперь докажем, что при любыха и Ь ( — <а <Ь <+ ) будет: ! Ь Р„(а, Ь) — — / е * 1т 4г < е, х/2п а чем, очевидно, и закончится доказательство теоремы Лапласа. Для этого надо разобрать отдельно различные случаи расположения на прямой точек а и Ь относительно интервала ( — А, А) . Разберем, например,случай а < — А „Ь > А (остальные предоставим читателю) . В этом случае Ь 1 — А А Ь вЂ” /е а/за/т= — ( /+ / +/ е а/за1г), х/2л а х/2л а -А А Р„(а, Ь) =Р„(а, — А)+Р„( — А, А)+Р„(А, Ь).
ач й 11, Интегральная предельная теорема Поэтому ! 1 л — А Рн(а, Ь) — — ) е ' (~аз < Рн(а, -А) — — 1'е ' 12 с(2 + х/2я а х/2я а 1 А 1 + Р„( — А,А) — — ( е т 1зт12 + Р (А Ь)— х/ 23т — А ь — А — —,( е ' ~ с(2 <Рн( —, -А)+ — 1 е а 12 с(2+ ь'2я А /2я 1 А + Р„( — А,А) — — ) е '1~а(2 +Р„(А,+ )+ х/2 н — А — т' 2 + =1 е ' ~~с(г < — + — + — + — =е, хт2ня 2 4 8 8 Мы перейдем теперь к формулировке интегральной предельной теоремы в обшем случае схемы последовательности независимых испьпаний. Пусть попрежнему де (1 = 1, 2,..., х) означает число появлений собьпий А,)*1 (е = 1, 2,..., л) в л последовательных испытаниях. В зависимости от случая д, могут принимать лишь значения О, 1, 2,..., л, причем так как в каждом испьпании возможны й исходов и эти исходы несовместимы, то должно иметь место равенство Н ед + .
+и*=я. Станем теперь на величины д,, дз,..., де смотреть как на прямоугольные координаты точки в й-мерном евклидовом пространстве. При этом резулыаты л испьпаний изобразятся точкой с целочисленными координатами, не меньшими нуля и не большими л; будем в дальнейшем называть такие точки цел о чи слепне- з(п,п,,т) н ы м и.
Равенство (1) показывает, что резулыаты исльпаний изобразятся не произвольными целочисленными точками в гиперкубе О < дт < л (ю' = 1, 2, ..., /с), а лишь теми иэ них, которые находятся в гиперплоскости (1). На рис. 11 изображено положение возможных результатов испытаний в ги- Гт (0801 г перплоскости (1) для случая и = 3, Ф=З.
Произведем преобразования коорди- Н,У Р Р) рнс. 11 90 Гн. 2. Схема Бернуллн наты по формулам дь- пр; х«= («=1,2,...,х; «ь«=1 — р). .,/пр«рл Уравнение гнперплоскости (1) в новых координатах перепишется в сле- дующем виде: Х хьхьпр««ьь =О. (2) Точки гиперплоскостн (2), в которые перешли целочисленные точки гнперплоскостн (1), условимся также называть "целочисленнымии". Обозначим через Р„(С) вероятность того, что в результате п испытаний числа дь (ь' = 1, 2,..., й) появлений каждого из возможных 'исходов иь — пр« окажутся такими, что точка с координатами х; = попадет внутрь ,l прь «ьь области С.
Тогда имеет место следующая Теорема. Если в схеме последовательности независимых испытаний в каждом из испышний возможны 2«исходов, причем вероятность каждого из исходов ие зависит от номера испытания и отлична ог О и ог 1, го какова бы ни была область С гиперплоскости (2), для которой (х — 1)- мернььй объем ее границы равен нулю, равномерно относительно С при и -~, имеет место соотношение ь ь а (2«ь)" ' Х р«рл «=! где «!о означает элемент объема области С и интеграл распространяется на область С.
Доказательство и по идее и по осуществлению является почти полной копией рассуждений, проведенных прн доказательстве интегральной теоремы Муавра — Лапласа. Замечание. Только что сформулированной теореме мы придали форму, в которой все переменные х,, хь,..., х„играют одинаковую роль.
В интегральной теореме Муавра — Лапласа мы, однако, предпочлипроводить рассуждения, нарушив однородность переменных х, и хз, только с переменным х = х,. Геометрически зто означало, что мы рассматриваем не сами результаты испытаний (делочисленные точки на прямой х, + х, = = 0), а нх проекции на ось ОХ. Подобным же образом мы можем, на- и 11. Интегральная предельная теорема рушив однородность и в обшем случае, рассмотреть интегрирование не по области б, а по ее проекции б' на какую-либо координатную гиперплоскость, скажем, на плоскость хк = О.
Элемент обьема сан в гиперплоскостн хк = О связан с элементом объема а)р гнперплоскости (2) соотношением с!и = сан созе!, где д — угол между указанными гиперплоскостями. Легко подсчитать, что 'ГР» г!к соа р = Лр; )! В координатной гиперплоскости элемент объема сан = 4х! с)хг... с(хк поэтому имеет место равенство ! се! ссг ' 'сск )е сЬ= (2 я)» ' Х р! с)! с ! к с)!с!г . с)к ! — г ! чсх! — / е ' с)х!...Ихк (2с!)» ' Р» с' В подинтегральной функции мы должны произвести замену хк иа его выражение через х,, хг, хк »-! хк = — Х ьс/р!сссех!' 'х~РаФс с=' В результате этой замены мы имеем; г рс г 1=! ' с=! Рк ' !«с(!«»-! Рк = Д(хс,хг,...,хк !). Интегральная предельная теорема может быть, таким образом, сформулирована иначе, а именно; В условиях интегральной предельной теоремы при л ! с) с) с) — — с2!хс,хс,...,х~ !) Р(С) - ) е с!хспсхг...п)х» (2 )'-'р, с (14) )!онятно, что интегральная теорема Муавра — Лапласа является частным Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
