Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Т е о р е м а П у а се о н а. Если рп - О при и - ", го а„ Р(дп =т) — — е " - О, (1) т! й 13. Теорема Пуассона Рассмотрим сначала те номера л, для которых ад > А. Лля этих л, по неравенству 1 — х < е *, О < х < 1: и - ие ад — — иаи е Рл (т):~ — е " < — при и> 2т т! 2 Ел -ап — е "< —. дг! 2 Поэтому для указанных и Рл (гл) е < + = е. т! 2 2 Рассмотрим теперь те номера л, для которых аи < А. Так как л еиИ вЂ” ап 1пп ~11 — — ) — е ~ =О пРи аи < А и пРи постоанномт и л) топ силу формулы (2) при и > ла (е) ал — ад Р„(иа) — — е "~ <е, и! что и требовалось доказать.
Заметим, что теорема Пуассона имеет место и в том случае, когда вероятность события А в кахгдом испытании равна нулю. В этом случае аи = О. Обозначим а"' Р(гл) = — е гл! Полученное распределение вероятностей носит название закона Пуассона. Легко подсчитать, что величины Р(гл) удовлетворяют равенству 2' Р(ги) = 1. Изучим поведение Р(т) как функции гл.
С этой целью рас- Гл. 2. Схема Бернулли смотрим отношение Р (иг) а Р (гл — 1) лг Мы видим, что если т ) а, то Р(т) ( Р(т — 1), если же гл (а. то Р(хл) ) Р(лг — 1), если, наконец, т = а, хо Р(т) = Р(т — 1) . Отсюда мы выводим, что величина Р(т) возрастает при увеличении лг от 0 до гло = (а1, и при дальнейшем увеличении гл убывает, Если а — целое число, то Р(гл) имеех два максимальных значения: при шо = а и при то = а — !.
Приведем примеры. Пример 1. Вероятность попадания в цель при каждом высхреле равна 0,001. Найти вероятность попадания в цель двумя и более пулями, если число выстрелов равно 5000'> . Считая каждый выстрел за испытание и попадание в цель — эа собьпие, мы можем для вычисления вероятности Р(дн ~ 2) воспользоваться теоремой Пуассона. В рассматриваемом примере дн = лр = 0,001 5000 = 5. Искомая вероятность равна Р (д„~ 2) = 2' Р„(т) = 1 — Р„(0) — Р„(1) т =.7 По теореме Пуассона Р„(0) = е ', Р„(1) = 5е '. Поэтому Р(дн ~2) = 1 — бе ' = 0,9596.
Максимальное значение вероятность Рн (лз) принимает при гл = 4 и гл = 5. Зтн вероятности равны с точностью до четвертого десятичного знака Р(4) = Р(5) = 0,175! Вычисления по ~очной формуле дают с точностью до четверхого знака Рзооо(0) =0,0071, Р,ооо(1) =00354и, следовательно, Р (Хан > 2) = 0,9575 ") В Великой Отечественной войне реальное осушесхвление условий нашей задачи имело место при обстреливании самолета из пехотного оружия. Пулей самолет может быть подбит лишь при попадании в немногие уязвимые места — мотор, летчик, бензобаки и пр.
Вероятность попадания в зти уязвимые места отдельным выстрелом весьма мала, но, как правило, по самолету вело огонь целое подразделение, и обшес количество выстрелов. выпушенных по самолету, было значительным. В резулыате вероятность попадания хотя бы одной или двумя пулями имела заметную величину. Это обстоятельство было подмечено и чисто практически. ввг а 13. Теорема Пуассона яв = яр =0.005 800=4 то наиболее вероятных чисел обрывов за промежуток времени т будет два: 3 и 4.
Их вероятности Рвов(З) = Рвов(4) = Ссссо 0,005 0,995 По формуле Пуассона имеем: Рвов(3) = Расс(4) — е в = —. с = 0,1954. 3 Точное значение Расс(З) = Расс(4) = О,!945. Вероятность того. что число обрывов за промежуток времени т будет не более ' равна г.о Р (д„< 10) = Х Р гпг(т) =! — Х Р с,',л',с т=о т=г ° В силу теоремы Пуассона „!т Расс(т) — е-4 (т =О.!. 2,...). лг! по атому 4т — Х вЂ” е т=гг т! Но 411 4гт 413 > — е — + е ' 4 -4 т=г1 т! 4' 14 е = 0,00276. 39 Ошибка от использования асимптотической формулы меньше 0,25% вычисляемой величины. Л ри м е р 2.
На прядильной фабрике работница обслуживает по несколько сотен веретен, каждое из которых прядет свой моток пряжи. Г)ри вращении неретена пряжа из-за неравномерности натяжения, неровноты и других причин в моменты времени, зависяшие от случая, рвется. Дпя производства важно знать, как часто могут происходить обрывы при тех нли иных условиях работы (сорт пряжи, скорость веретен и т.д.) . Считая, что работница обслуживает 800 веретен и вероятность обрыва пряжи на каждом из веретен в сечение некоторого промежутка времени т равна 0,005, найти наиболее вероятное число обрывов и вероятность того, что в течение промежутка времени т произойдет не более 10 обрывов.
Так как Гл. 2. Схема Бернулли 102 С другой стороны, 4 4" 4' 2' — е а< — е а+ — е ч+ м=1! т! 11! 12! 4 14~а 1 4" 24 +е-4 1+ + ~ ) + ~ е-е 000284 13! 14 14 11135 Таким образом. 0,997!б < Р !!гя < 10) < 099724. Подобно тому, как и при использовании теоремы Муавра — Лапласа. возникает вопрос об оценке совершаемой ошибки прн замене точной формулы для вычисления Р„(т) на асимптотическую формулу Пуассона* ) .
Из равенства Ря(0)= 1 = ехр — и мы легко можем найти эту оценку пля случая т = О. В самом деле, так как при любом положительном х 0 < 1 — е "<х, то каковы бы ни были а„и и 1 а„а 0<Я„< и Х— Так как — Х г а„ + з ал Зи 1 —— ° 1 эта аапдча подробно исследована в статье ю.в. Прохорова рясимптотнческос поведение биномиального распределения" (умн — 1953. - Т 8 — С 135 1421 где Я„= 1 — ехр -и Х ай < — + 2иг г г а„Зи — а„ ггл < би' и — а„2и (и — а„) а 14, Иллюстрация схемы независимых испытании 103 то пв О<Я„< 2 1л — и„) Из того, что 22„неотрицательно, м ~ заключаем. что при замене Р„(О) на — ав е мы несколько увеличиваем вероятность Ра 10) .
з 14. Иллюстрация схемы независимых испьгганий В качестве иллюстрации использования прецыдуших результатов для целей естествознания мы рассмотрим весьма схематически проблему случайных блужданий частицы на прямой линии. Эта задача может рас- сматриваться как прообраз реальных физических задач теории диффузии, броуновского движения и пр.
Представим себе, что в определенные моменты времени частица, нахо- дящаяся в начальный момент в положении х =О, испытывает случайные толчки, в результате которых она получает смещение вправо или влево на единицу масштаба. Таким образом, в кахсцый из этих моментов частица с вероятностью 1/2 смещается на единицу вправо или с такой же вероят- ностью — на единицу влево. В результате л толчков частица переместится на расстояние д Ясно, что в этой залаче мы имеем дело со схемой Бернулли в чистом виде. Отсюда следует, что при каждых л и лз мы можем вычислить вероятность того, что д = лт; а именно м+в С„~ — ), если — л К лт < и.
Р(д=т)= 2 О, если Пп1 ) л, При больших значениях и, как это следует иэ локальной теоремы Муавра— Лапласа, Ш' 1 р1д=» )= — е (1) ъ~бпл На полученную формулу мы сможем смотреть следующим образом. Пусть в начальный момен~ имелось большое число частиц, имеющих координату х = О. Все эти частицы независима друг от друга начинают перемешаться по прямой под влиянием случайных толчков, Тогда после л толчков доля частиц, перелгестившихся на расстояние пн дается формулой (1) . Понятно, что мы рассматриваем идеал и э и ров а ни ы е условия движения частиц и реальные молекулы движутся при гораздо более ашжных условиях, однако полученный результат дает правильную к а ч е с тв е н н у ю картину явления.
Гл. 2. Схема Бернулли В физике приходится рассматривать более сложные примеры случайных блужданий. Мы ограничимся столь же схематическим рассмотрением влияния 1) отражающей стенки, 2) поглощающей частицы стенки. Представим себе, что на расстоянии з единиц вправо от точки х = 0 имеется отражающая стенка; так что частица, попавшая в какой-либо момент времени на зту стенку, при следующем толчке с вероятностью единица выбивается в том же направлении, откуда она пришла, Для наглядности станем изображать положение частицы на плоскости (х, г). Путь частицы нзобразится при зтом в виде ломаной линии.
При каждом толчке частица передвигается на единицу "вверх" и на единицу вправо или влево (каждый раз, когда х < з, с вероятностью половина). Если же х = з, то при очередном толчке частица сдвигается на единицу влево. Для подсчета вероятности Р(д=пг) поступим следующим образом; мысленно откинем стенку и разрешим частице двигаться свободно, как если бы не было стенки. На рис. 13 показаны такие идеализированные пути, приводящие в точки А и А, симметрично расположенные относительно стенки. Ясно, что для того, чтобы реальная частица, двигаясь с отражениями, достигла точки А, необходимо и достаточно, чтобы частица, двигающаяся в идеализированной обстановке (без отражающей стенки), достигла либо точки А, либо точки А'. Но вероятность попасть в точку А в идеализированной обстановке, очевидно, равна "Точно так же вероятность попасть в точку А' равна (абсцисса точкиА рав- на 2з — пг) Искомая вероятность, следовательно, равна Р„(пиз) = Р(д=пг) +Р(д= 2з — т).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
