Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 17
Текст из файла (страница 17)
2. Схема Бернулли случаем только что доказанной теоремы: она легко может быль получена из формулы (14) . Для этого достаточно заметить, что в схеме Бернулли К = 2, р = р,, Ч=ра =1 — Р. При К = 3 формула (14) принимает следующий вид: 1 — — Д(л„л,) (2л)арз С' Рз =1 — Р1 Рз Д(х х )= 1+ Р1 2+ Рз 2+2 РзцзраЧ2 Чзцз~ 2 2 = — х, +ха +2 зу — х,ха Рз Ч1Ч2 Простой подсчет показывает, что Рз = 1 — Р1 Рз = Ч1Ч2 Р1Р2 поэтому 1 Д(Х1,хз) = ~ха +ха + 2 ау — х,хз 2 2 Р1Р7 Рзра Ч1Ч2 Ч1Ч2 а 12.
Применения интегральной теоремы Муавра — Лапласа В качестве первого приложения интегральной теоремы Муавра — Лапласа мы оценим вероятность неравенства где и ) 0 — постоянное. Имеем (1-"-.! )=.)--/ —" " "' .~ — ") 1 л ~ ( 1 рц ~lлрц РЧ а 12. Применения интегральной теоремы и, значит, в силу интегральной теоремы Муавра — Лапласа ее 1 !лп Р— — р <е~ = — /е да=1. л 1 и ь/2 я равна а~/ — х 1 Рч — 2 — е Нх= 2 тчг2я / л чгйил а,/:" рч 1 е еХх. о рч 11.
Какое наименьшее число испытаний нужно произвести для того, чтобы с вероятностью, не меныпей б, частота отклонялась от вероятности не больше чем на и. Нам нужно определить л из неравенства Вероятность, фигурирующую в левой части неравенства, мы заменяем приближенно по теореме Муавра — Лапласа интегралом. Лля определе- Итак, каково бы ни было постоянное е > О, вероятность неравенства — — р ~ ( е стремится к единице.
Обнаруженный нами факт был впервые найден Я. Бернулли; он носит название закона больших чисел или теоремы Бернулли. Теорема Бернулли и ее многочисленные обобщения являются одними из важнейших теорем теории вероятностей. Через них именно теория соприкасается с практикой„именно в них заложен фундамент успехов применения теории вероятностей к различным проблемам естествознания и техники. Об это будет подробнее сказано в главе, посвященной закону больших чисел; там же мы ладим доказательство теоремы Бернулли более простым методом, отличным, как от только что изложенного, так и от употребленного Я. Бернулли. Мы рассмотрим теперь типичные задачи, приводящие к теореме Муавра-Лапласа. Производится и независимых нспьпаний, при каждом из которых вероятность наступления события А равна р: 1.
Спрашивается, чему равна вероятность того, что частота наступления события А отклонится от вероятности р не более чем на и? Эта вероятность Гл. 2. Схема Бернулли ния л в результате получается неравенство лс/:" х 2 ра — 3' е а Ых>б. ч/2л о Ш. При данной вероятности Д и числе испытаний л требуется опредеи лить границу возможных изменений ~ — — р ~.
Иными словами, зная /3 п и л, нужно найти а, для которого Р— — р <а =Д. Применение интегральной теоремы Лапласа дает нам для определения а уравнение )' е — х /2~/х л о 2 х/2я х )' е -"/,/т х/2л о при любых значениях х и решать обратную задачу — по величине интеграла Ф(х) вычислять соответствующее значение аргумента х. Для этих расчетов.
требуются специальные таблицы, так как интеграл (1) при 0 < < х < в конечно~л виде через элементарные функции не выражается Такие таблицы составлены и имеются в конце настоящей книги. Рис. 12 дает наглядное представление о функции Ф(х). При помощи таблицы значений функции ф(х) можно вычислять по формуле /(а, Ь) = = Ф (Ь) — Ф(а) также значение интеграла ь ,/(а„Ь) = — 3' е ' /з с/т. х/2л а Таблица функции Ф(х) составлена только для положительных х; для отрицательных х функция Ф(х) определяется из равенства ф( — х) = — Ф(х). Мы теперь в состоянии довести до конца решение примера 2 5 9.
Численное решение всех рассмотренных нами задач требует умения вы- числять значения интеграла а 12. Применении интегральной теоремы П ри м е р 1. В примере 2 й 9 нам нужно было найти вероятность р= 2;Р(д=т1, где сумма распространена на те значения гп, для которых ~н/ — 27 10 Г>27.10' при условии, что общее число испытаний л = 5,4 10" и р = 1/'2. Так как ~д — лр! 2,7.10" /!д — лр~ Р=Р > -Р~ >2,33, 10 ~ ч//7 ,/пру 1 х/лрг/ 54 10гг 4 в силу теоремы Лапласа 2 р- — 3' е "/~с/х. х/2я г,зз ~о Так как -е /г г 1 3 и -х*/ге/х( 3 хе — г'/ге/х е г е то р ( е — г,т /сс ~ 10-~оо 1 х/2и . 10а Рис. 12 О том, как мала зта вероятность, можно судить по следующему сравнению.
Предположим, что шар радиуса 6000 км наполнен белым песком, в который попала одна черная песчинка. Размер песчинки равен 1 мм'. 96 Гп. 2, Схема Бернулли Наудачу из всей этой массы песчинок берется одна; чему равна вероятность того, что она будет черного цвета? Легко подсчитать, что объем шара радиуса 6000 км немногим меньше 10' мм' и, следовательно, вероятность извлечь черную песчинку немно. гим больше 10 ' П ример 2. В примере 1 б 9 нам нужно бьшо найти вероятность того, что число бракованных изделий окажется не больше семидесяти. если вероятность для каждого изделия быль бракованным равна р = 0,005 и число изделий равно 10 000.
По только что доказанной теореме эта вероятность равна Р (д < 70) = Р— — < 50 д — пр 20 ( т/49,75 х/лрб х/49,75 ! а' и — л ! 2,аа =Р— 7,09< — ( 284 ~ — )" е т(г= т/лрб т/2н -т,оэ = Ф (2,84) — Ф (--7,09) = Ф (2,84) + Ф (7,09) = 0,9975. Значения функции Ф(х) при х = 7,09 в таблицах нет, мы заменили его половиной, совершив при этом ошибку, меньшую 10 ' о. Естественно, что в примерах настоящего и предыдущего параграфов, равно как и в любых других задачах, относящихся к определению вероятностей Р„(т) при каких. либо конечных значениях тл и л по асимптотнческим формулам Муавра — Лапласа требуется оценка совершаемой при такой замене ошибки, В течение очень долгого времени теоремы Муавра— Лапласа применялись к решению подобно~о рода задач без сколько-нибудь удовлетворительной оценки остаточно~о члена.
Создалась чисто эмпирическая уверенность, что при и порядка нескольких сотен или еще большем, а также при р, не слишком близких к 0 или 1, употребление теорем Муав. ра — Лапласа приводит к удовлетворительным результатам. В настоящее время существу)от достаточно хорошие оценки погрешностей, совершаемых при пользовании асимптотической формулой Муавра — Лапласае). Мы остановимся еще на обобщении теоремы Бернулли на случай обшей схемы последовательности независимых испытаний. Пусть в каждом испытании возможны К исходов. вероятность каждого из них соответственно равна Р1 ° Рт.
, Ра и д,, дт, ..., Ра — числа появлений каждого исхода ) См., например, нитироваинум на етр. 84 работу С.Н. Бериштеаиа. й 13. Теорема Пуассона в последовательности и независимых испьпаний. Определим вероятность одновременного осуществления неравенств ) —— Рз < ег ° Рз ~ < ез, — — Р* < е», (2) т.е.
неравенств / л л л ~хз ~<ез «/ —, 1хз!<ез / —,, !х» ~<е» «/ Рамаз РзЧз Р» Ч» Последнее из этих неравенств. собственно, является следствием предыдущих, так как согласно (2) 513 первые/с — ! из неравенств (2) дают оценку » вЂ” з 'Рд, ~ »-з Ргс). )х» )= Е «I х;~< Х «/ е;. (3) с=з р»з)» г=т р»о» Согласно (16) а 13 вероятность первых lс — ! неравенств (2) (а следовательно, также неравенства (3)) имеет своим пределом при и -з интеграл 1 — — 1)(х,, ...,х») * (...
(е с(хз с(хз... дх» з =1. (2л)» ' р» З 13. Теорема Пуассона Мы видели при доказательстве локальной теоремы Муавра — Лапласа, что асимптотическое представление вероятности Рл (т) посредством функции е " ) действует тем хуже. чем больше вероятность р отли«/2зг чается от половины, т.е.
чем меньшие значения р нлн с) приходится рассмитриваттч и это представление отказывается служить при р = О, д = 1, а также при р = 1, с) = О. Однако значительный круг задач связан с необходимостью вычисления вероятностей Р„(ш) именно при малых значениях р ) . Лля того чтобы в этом случае теорема Муавра — Лапласа дала оезультат с незначительной ошибкой, необходимо, чтобы число л испытаний бьшо очень велико. Возникает, таким образом, задача разыскания асимптотической формулы, специачьно приспособленной для случая 'малых р.
Такая формула была найдена Пуассоном. *) Или также нри малых значениях Ч' но очевидно, что задачи разыскания асимлтозических формул для )ел 1нз) лри малых значениях Р или ч сводятся одна к другой 4 Б.В. Гнслснко Гл. 2. Схема Бернулли Рассмотрим последовательность серий Е,з, Ез!. Езз Езз, Езз Езз Еп ! ° Еп з ° Еп 3 ° ° ° Е !и где ап = лрп.
Доказательство. Очевидно.что Рп (т) = Р (Рп м !и ) = Сп Р~ (1 — Рп )и' и! = т! (л — лз)! и л Пусть т фиксировано. Выберем произвольно е > О. Тогда можно выбрать А =А(е) столь большим, чтобы при а >А было ! е г < 2 а — — е т! в которой события одной серии взаимно независимы между собой и имеют каждое вероятность рп, зависящую только от номера серии. Через дп обозначается число фактически появившихся собьпий и-й серии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
