Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 13
Текст из файла (страница 13)
При выводе этой формулы исходили из допущения, что взрослый человек может умереть от причин, не зависящих от возраста, н причин, зависящих от возраста, причем вероятность смерти растет с увеличением возраста в геометрической прогрессии. При таком дополнительном предположении — о« вЂ” (е — !) а тг з«(«) = е П р и м е р 4. В современной ядерной физике для измерения интенсивности источника частиц используются счетчики Гейгера. Частица, попавшая в счетчик, вызывает в нем разряд, длящийся время г, в протяжение которого счетчик не регистрирует частицы, попадающие в счетчик. Найти вероятность того, что счетчик сосчитает все частицы, попавшие в него за время «, если выполняются следующие условия: 1) вероятность того, что за промежуток времени «в счетчик попадут )с частиц, не зависит от того, сколько частиц попало в счетчик до начала этого промежутка; 2) вероятность того, что за промелсуток времени от «о до «о + «в счетчик попадет «с частиц, задается формулой **) (а«)ке '« Р («о «о + «) = к где и — положительная постоянная; 3) т — постоянная величина.
Решение. Обозначим через А(«) — событие, состоящее в том, что все попавшие за время «в счетчик частицы были сосчитаны; через Вк («)— событие, состоящее в том, что за время «в счетчик попало «с частиц. *) Их значение определяется условиями, в которых находится группа лнп, подлежащих изучению, и прежде всего соллальными условиями. еь) Позднее мы вьисним, почему в этом примере и в примере 2 предыдущего параграфа мы считали, что к -ет Рк Гц Гл. 1.
Случайные события и их вероятности ав В силу первого условия задачи при 1 > т Р(А(Г+гьг)) = Р(А(1))Р(Во(гяг)) + + Р(А(1 — т))Р(Во(т))Р(Вг(Ы)) +о(Ь1), априО< 1< т Р(А(1+ Ьг)) = Р(А(1))Р(Во(Ь1)) + Р(Во(1)) + Р(Вг(Ы)) + о(бг). Обозначим для краткости записи л(1) = Р(А(г)); тогда на основании второго и третьего условий задачи при 0 < г < т я(1+ лг) =гг(1)е еаг+е еогаг11е ее+о(лг) и при 1>т и(1+ Ьг) = я(1)е еог+ л(1 — т)е еога111е ее+о(гьг), Путем перехода к пределу при гьг - 0 находим, что при 0 < 1 < т имеет место равенство йг(1) = — ая(1)+ае ", (4) г(1 апри 1> т — равенство ггя(1) — = — а[ГГ(1) — ГГ(à — т)Е ет]. егг Из уравнений (4) находим, что при 0< 1< т и(1) = е "(с + а1) .
Из условия гг(0) = 1 определяем постоянную с. Окончательно при 0 < г < т гг(1)=е "(1 +аг). (6) При т < 1< 2т вероятность л(1) определяется из уравнения агя(1) = — а[л(1) — л(1 — т)е ") = г11 = — а[и(1) — е '1' '1(1+а(1 — т))е = — а[л(г) — е ег(!+а(1 . т))). Решение этого уравнения дает нам: 2 (1 )т') и(1)=е " с, +аг+ 2! 69 Упражнения Постоянное с! может быть найдено из того, что согласно (6) л(т)=е "(1+ат). Таким образом, с, = 1 и для т< г< 2т а'(! — т)'] п(г)=е " 1+а?+— 2! Методом полной индукции можно доказать, что для (л — 1)т < ! < лт имеет место равенство а" (т — (/с — 1)г]а п(т) = е " Х к=о )с( Упражнения А, В, С вЂ” случайные события.
!. Каков смысл равенств а) АВС=А; б)А+В+С=А? 2. Улросппь выражения а) (А + В) (В+ С); б) (А + В) (А е В ); в) (А + В) (А + В ) (А + В). 3. Доказать равенства а) АВ =А+В; б) А +В =АВ; в) А, +А, + ..,+Ал=А,А,...Ал! г) А Аз ..Ал=А +Аз+ ..+Ал. 4. Четырехтомнос сочинение расположено на полке в случайном порядке. Чему равна вероятносп того, что тома стоят в довжном порядке справа налево или слева направо? 5. Числа (, 2, 3, 4, 5 написаны на пяти карточках.
Наудачу последователыю вынимаются три карточки, и вынутые таким образом цифры ставятся слева направо, Чему равна вероятность того, что полученное таким образом трехзначное число окажется четным? б. В партии, состоящей из )у изделий, имеются М бракованных. Неудачу выбираются л иэделий из этой партии (л < Ф) .
Чему равна вероатность того, что среди них окажутся т бракованных (ле К Ы)? 7. Технический контроль проверяет изделия в партии, состоящей из т изделий первого сорта и л изделий второго сорта. Проверка первых Ь изделий, выбранных из партии наудачу, показала, что все они второго сорта (Ь < лэ). Чему равна вероятность того, что среди следуюших двух наудачу выбранных из среды непроверенных изделий по меньшей мере одно окажется также второго сорта? 8. Пользуись теоретико-вероятностными соображениями, показать тожцество А — а (А — а) (А — а — !) (А — а)...2 ! А (+ — е...+ А — ! (А — !) (А — 2) (А — !) ...(а + !)а а 70 Гл.
1. Случайные события н их вероятности У к аз а н ив. Из урны, содержащей А шаров и среди иих а белых, наудачу вы- нимаются шары без возвращения. Найти вероятность того, что рано или поздно на- толкнутсл на белый шар. 9. Из ящика, содержащего !л белых н л черных шаров (т > л), вынимает наудачу один шар за другим. Чему равна вероятносзь того, что наступит момент, когда число вынутых черных шаров будет равно числу вынутых белых? 10. Некто написал л адресатам письма, в каждый конверт вложил по одному пись- му и затем наудачу написал на кккдом конверте один ю л адресов. Чему равна ве- роятносп того, что хотя бы одно письмо попало по назначению? 11.
0 урне имеется л билетов с номерами от 1 до л. Билеты вынимаются наудачу по одному (без возвращения) . Чему равна вероятность того, что хотя бы лри одном вынимании номер вынутого билета совпадает с номером проюведенного испытания? 12. Из урны, соцержащей л белых и л черных шаров, наудачу вынимается четное число шаров (все различные способы вынуть четное число шаров, независимо от их числа, считаются равновероятными). Найти вероятность того, что среди вынутых шаров окзжется одинаковое число черных и белых. 13. Задача кавалер а де Мере. Что вероятнее; при бросании четырех игральных костей хотя бы на одной получить 1 или при 24 бросаниях двух костей хотя бы раз получить две ециницы? 14.
На отрезок (О, а) наудачу брошены три точки. Найти вероятность того, что из отрезков, равных расстояниям от точки 0 до точек падения, можно составить треугольник. 15. Стержень длины ! разломан в двух наудачу выбранных точках. Чему равна вероятность того, что ю полученных отрезков можно составить треугольник? !6.
На отрезок АВ длины а наудачу бросается точка. На отрезок ВС длины Ь также наудачу бросается точка. Чему равна вероатность того, что из отрезков: 1) от точки А до первой брошенной точки, 2) между двумя брошенными точками, 3) от второй брошенной точки до точки С можно составить треугольник? 17. В сфере радиуса В случайно и независимо друг от друга разбросано !Уточек. а) Чему равна вероятность того, что расстояние от центра до бликайшей точки будет не менее г? б) К чему стремится вероятность, найденная в вопросе а), есин Я н Вэ 4 -~ — лх? 3 П р и м е ч а н и е. Задача заимствована ю эвезцной астрономии: в окрестности Солнца х ь 0,0063, еслибы измерено в ларсеках.
18. Собьпня А „А „..., А„независимы; Р (А а) = р!,. Найти вероятность а) появления хотя бы одного ю этих событий, б) непоявления всех згнх событий, в) появления точно одного (безразлично какого) события. 19. Доказать, что если события А и В несовместимы, Р (А) > 0 и Р (В) > О, то со- бытии А и В зависимы. 20. Пусть А „А „..., А„— случайные события. Доказать формулу л 1 л Р 2' Аа~ = 2' Р(А!) — Х Р(А?А!) + Л=г !=1 !К!<лжи Х Р(А?А)А?,) + з Р(АвАз Ал).
1М!<!клял Посредством этой формулы решить задачи 1О и 11, Упражнения 21 21. Вероятносзь того, что молекула, испытавшая в момент т = О столкновение с другой молекулой и не имевшая других столкновений до момента б испытывает столкновение в промежуток времени мехшу т и е + ле, равна Хпт + о(лг). Найти вероятность того, что время свободного пробега (т.е. время между двумя соседними столкновениями) будет больше к 22. Считая, что при размножении бактерий делением (на две бактерии) верошноль бактерии разделиться за вромежуток времени пг равна еле + о (лт) и не за.
висит от числа предшествующих делений, а также от числа имеющихся бактерий, найти вероятность того, что если в момент О была 1 бактерия„то в момент с окажется 1 бактерий. ГЛАВА 2 ПОСЛЕЛОВАТЕЛЬНОСТЬ НЕЗАВИСЮ$ЪИ ИСПЫТАНИЙ й 9. Вводные замечания Проведение разлншого рода испытаний и экспериментов является непременным условием развития науки и прогресса прикладных областей деятельности. Прежде чем внести в регистр новый сорт пшеницы, необходимо произвести многочисленные испытания, которые должны дать убедительные данные о тех или иных преимуществах нового сорта по сравнению с прежними: повышенная урожайность.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
