Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Напомним построение этой кривой. Величина ь" принимает только значения между нулем и единицей. Следовательно, ее функция распределения удовлетворяет равенствам Р(х) = 0 при х < О, Р(х) = 1 при х > 1. Внутри интервала (О, 1) 8 принимает значения только в первой и послед. ней его треух, в каждой с вероятностью 1/2. Таким образом, Е(х) = 1/2 при 1/3 < х < 2/3. В интервалах (О, 1/3) и (2/3, 1) $ снова может принимать значения только в первой и последней трети каждого из них, в каждой с вероятностью 1/4.
Этим определяются значения Р (х) еще в двух интервалах: г (х) = 1/4 при 1/9 < х < 2/9, г (х) = 3/4 при 7/9 < х < 8/9. Далее в каждом из оставшихся интервалов повторяется то же построение и этот процесс продолжается до бесконечности. В результате функция Р(х) оказывается определенной на счетном множестве интервалов. являющихся интервалами смежности некоторого нигде не плотного совершенного множества меры нуль.
На этом множестве доопределяем функцию Р(х) по непрерывности. Величина а с таким образом определенной функцией распределения не дискретна, так как ее функция распределения непрерывна, но в то же время с не непрерывна, так как ее функция распределения не является интегралом от своей производной. а 20. Многомерные функция распределения !27 Все введенные нами определения переносятся легко на случай условных вероятностей. Так, например, функцию т"(х1В) = Р(с < х~В) мы будем называть условной функцией распределения случайной величины $ при условии В.
Очевидно. что В(х~В) обладает всеми свойствами обычной функции распределения. й 20. Многомерные функции распределения Для дальнейшего нам необхопдмо не только понятие случайной величины, но и понятие случайного вектора или, как часто говорят, многомер. ной случайной величины. Рассмотрим вероятностное пространство (12, тт, Р), на котором определены н случайных величин с ! У! (сс), с! .(г (сс), °, с У (щ) (функции гг(сс) измеримы). Вектор ($!, йг,..., $„) называется случайным вектором или и-мерной случайной величиной Пусть ((!, (г,..., ~„) случайный вектор. Обозначим через ($! < х„$г < х,,, е„< х„) множество тех элементарных событий ы, для которых одновременно выполняются все неравенства 7,(иг) ( х!, Уг(с !) ( хг, 7п(сс) ( х„. Поскольку зто событие является произведением событий (7к(сг) < ха) (1 ( )с < и), оно принадлежит множеству 5, т.е. ($! < х!, сг < х,,..., Р„< х„) Еб!.
Таким образом, при любом наборе чисел х,, хг,..., х„определена вероятностьГ(хг,хг,...,х„) =Р($ ! ( х,, $г < хг,..., $„< х„]. Эта функция л аргументов называется и-мерной функцией распределения случайного вектора (5!,Рг, . (и). В дальнейшем мы прибегнем к геометрической иллюстрации и станем рассматривать величины („йг,..., Ен как координаты точек л-мерного евклицова пространства.
Очевидно, что положение точки ($ !, с!,..., $„) зависит от случая и что функция Г(хг,..., хп) при такой интерпретации дает вероятность попадания точки Я!,..., $„) в л-мерный параллелепипед $! < х,, ег < х,,..., 3н < х„с ребрами, параллельными осям координат. С помощью функции распределения легко вычислить вероятность того, что точка Я !, $г,..., е„) окажется внутри параллелепипеда а! ~: '$! < Ь! (!' = 1,2,...,н), 12В Гл. 4. Случайные величины где а; и Ьг — произвольные постоянные. Нетрудно подсчитать,что Р(а, < «, < Ь!, аг < «г < Ьг,..., а„ < «„ < Ь„) = = Е(Ьг,Ьъ...,Ь„) — Х р, + Х Р» + ...
+ |'= | !<1 + ( — 1) "Е(аг, аг,..., а„), где через р»» обозначено значение функции Г(сг, сг, |, с„) при сг = а» с; = а;,..., с» = а» и при остальных с„равных Ь,. Мы предоставляем доказательство этой формулы читателю. Заметим, в частности, что Е(х|,..., х»,, е', х»+,,..., х„) дает нам вероятность того, что будет выполнена следующая система неравенств: < х| «7 < хг ... «» | <Х» | «»+| < х»е| ... «н < хн Так как по расширенной аксиоме сложения вероятностей Р(«| < х|,,«» | < х»-г «»+| < х»+| . «л < хн) — Х Р(«,<х„...,«» г<х» г, а ~:'«|, <4+1, «»,< < х»+ г,..., «н < х„) = Е(х,...
х»,, ', х»+,,..., х„), то Е(х„..., х»,, ', х»+,,..., х„) является функцией распределения (л — 1)-мерной случайной величины («ы «»-|, «»+| «н). Про должна этот процесс далее, мы можем определить К-мерные функции распределения любой группы изй величин «,, «г,..., «;, по формуле Е»(х| х| ...
Х|.) = Р(«| < х|' ... «| < х| ) = Г(сы сг. ° сн) где с, =х„если» =|'„(1 <г <К) не, =+ в иных случаях. В частности, функция распределения случайной величины «» равна Е»(х) = т''(сы сг,..., с„), где все с;(| ч»К) равны +, ас» =х. Подобно тому как поведение одномерной случайной величины можно характеризовать не только посредством функции распределения, но и другими способами, многомерные случайные величины могут быль определены, скажем, посредством неотрицательной вполне аддитивной функции множества Ф(Е), определенной цля любых борелевских множеств л-мерного пространства. Эту функцию мы определим как вероятность попадания точки («,,..., «„) на множество Е.
Этот способ вероятностной характеристики л-мерной случайной величины следует признать наиболее естественным н с точки зрения теоретической наиболее удачным. 1 20. Многомерные функции раснределения Рассмотрим примеры. П р и м е р 1. Случайный вектор ($1,..., $н) называется равномерно распределенным в параллелепипеде а( < е( < ьт (1 ~.:1' <л), если вероятность попаДаниЯ точки ($1, 31,..., $н) в любУю внУтРеннюю область укаэанного параллелепипеда пропорциональна ее объему и вероятность попадания внутрь параллелепипеда является достоверным событием. Функция распределения искомой величины имеет вид О, если хг 4; а( хотя бы при одном 1', р(х„...,хн) = " сг — а( где с( = хп если а( < х; <Ь(, 1= 1Ь1 — а; и с( = Ь(, если хг >Ь(. П р и м е р 2. Двумерная случайная величина ($1, Ез) распределена нормально, если для нее функция распределения равна х, ха г(х,,хз) = С )' 3' е (2(х г)г(хбу, где (2(х, у) — положительно определенная квадратичная форма.
Известно, что положительно определенная квадратичная форма от х и у может быть записана в виде (х — а)' (х — а) (у — Ь) (у — Ь)' + 2А1 АВ 2В' где А и  — положительные числа, а г, а и Ь вЂ” вещественные числа, причем г подчиняется условию — 1 < г < +1. Легко видеть, что при гз Ф 1 каждая из случайных величин 31 и $1 подчинена одномерному нормальному закону. Действительно, х Р',(х,) = Р(е, < хг) = г'(х1,+ ) = С 1 /е ('(" г)Вхоу = (х — а) 1 (у — Ь г(х — а)1 — — -") ЗА (е 2 ~ В А Так как — — — г— ,)е з В ' г)у = Въ/2и, 5. Б.В. Гнеденко Гл.
4. Случайные величины то (а — а)а аг — (1 — г ) л2(х!) = ВСчгг2л ) е 2' г(х. (2) Постоянное С может быть выражено через А, В и г. Эту зависимость можно найтиизусловия л!(+ ) = 1. Имеем; (а — а) (! " ) АВС~/2л 1 = ВС42я(е 2~ Нх = )е 2 г( 2АВСя т/1 — г Отсюда /! 2 С= 2лАВ Если гт а- 1, то мы положим А = агчг1 — г, В = отчг! — г . В этих новых обозначениях двумерный нормальный закон принимает такой вид: 1 ь"(х„ха) = . )( 2 но, пач! 1 — г / 2 ! ~ [а — а)! (а — а)(У вЂ” Ь) (У вЂ” Ь) Х~ ! — 2г- + ( ( 2(! — г ) ! а, а аа .;'1 „ Теоретико-вероятностный смысл входящих в зту формулу параметров будет выяснен в следующей главе.
Подобно тому как это было сделано в одномерном случае, для много- мерных функций распределения можно установить ряд свойств. Мы при- ведем их формулировки, предоставив читателю их доказательства. Функ- ция распределения 1) есть неубывающая функция по каждому аргументу, 2) непрерывна слева по каждому аргументу, 3) удовлетворяет соотношениям г(4',е',...,+ а) = 1, !3! а 20. Многомерные функции распрецелеиия !пп Р(х,, х,,..., х„) = 0 (1 < и < п) «а при произвольных значениях остальных аргументов. В одномерном случае мы видели, что перечисленные свойства необходимы и достаточны, чтобы функция л(х) была функцией распределения некоторой случайной величины. В многомерном случае; оказывается, этих свойств уже недостаточно.
Лля того чтобы функция л (хм..., х„) была функцией распределения, помимо перечисленных трех свойств, нужно добавить еще следующее: 4) при любых аг и Ьг (1 = 1, 2,..., п) выражение (1) не отрицательно. Что это требование может быть не выполнено, несмотря на наличие у функции Р(хм..., х„) свойств 1 — 3, показывает следующий пример. Пусть ~0, если х < О, нли х+у < 1, или у < О, г(х,у) = 1 в остальной части плоскости. Эта функция удовлетворяет требованиям 1 — 3, но для нее Г(1, 1) — Р(1, 1,12) — Р(1/2, 1) + Г(1/2, 112) = — 1, (3) и, следовательно, четвертое требование не выполнено.
Функция Р(х, у) не может быть функцией распределения, так как разность (3) согласно соотношению (1) равна вероятности попадания точки ($м $з) в прямоугольник 1!2 < 3, < 1, 1!2 < сз < 1. Если существует такая функция р1х,, х,,,х„), что прн любых хм хз,..., х„имеет место равенство «, «, «» Г(хм хт,..., х„)= ) ) ... ! р(т,,гз,..., а»)г(г„...
с(тз с!а,, то эта функция называется плотностью распределения вероятностей случайного вектора 1~,. $т...., $„!. Легко видеть, что плотность распределения обладает следующими свойствами; 1 1 р(х~ хе ... х»)~0. 2! Вероятность попадания точки ( $,, Ез,..., $„) в какую-нибудь область 6 равна )... ) р(х,,..., х„) дх»... г(х, . с В частности, если функция !хм хе,..., х„) непрерывна в точке (х,,...,х„1, то вероятность попадания точки !$,,1,,.... $»1 в параллелепипед хь < е» <хя + с!ха (» = 1, 2,..., и! с точностью до бесконечно малых выс- Гл. 4. Случайные величины ших порядков равна р(х,, хг,..., х„) с(х, г(хг ... Ихи. П р и м е р 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
