Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 25
Текст из файла (страница 25)
(Ь вЂ” а)г (5) р„(х) = Функция р, (х) носит название закона распределения Симпсона. Вычисления в рассмотренном примере значительно упрощаются, если воспользоваться геометрическими соображениями. Изобразим„как обычно, $1 и $з как прямоугольные координаты на плоскости.
Тогда вероятность неравенства $, +$г < х при 2а <х <а+ Ь равна вероятности попадания в дважды заштрихованный прямоугольный треугольник (рис. 16). Эта вероятность, как легко подсчитать, равна (х — 2а)' Гч(х) = 2(а — Ь)' При а + Ь < х < 2 Ь вероятность неравенства е ч + йг < х равна вероятности попадания во всю заштрихованную фигуру. Эта вероятность равна (2Ь вЂ” х) Гч(х) — 1— 2(Ь вЂ” а)г Лифференцирование по х приводит нас к формуле (5) .
В связи с рассмотренным примером интересно заметить спелующее. Общие вопросы геометрии привели Н.И. Лобачевского к необходимости решения следующей задачи: имеется группа из л взаимно независимых случайных величин $ю $г,..., $„, найти распределение вероятностей их среднего арифметического. сг Эта задача была им реше. на только для случая, когда $7'иге (а'Ь' '2Ы все ошибки равно ме р но распределены в интервале ( — 1, 1) .
При этом оказа. лось, что всроятносп ошибке среднего арифметического заключаться в пределах от -х до х равна 6 1 ~ и('г) и С,+ Вгию 11гачюаа+Ь) 2н — 1 „[л — лх — 2г) ' а д ь1 Х Х( — 1)" Рис. 16 (и! ) г(л — и)! а 11. Функннн ст случайных нелнчнн где суммирование распространяется на все целые г от г = 0 до 1 ге и' и(о — и) (о — и)' 1 ! Х)ехр'( ' 2 ~ — 2 — 2г С~И. 2(1 — гг) Ьгг о ог ог )! Так как ог+гог и г 2ио +— г О~ О2 О2 2е2 + е — — =и' аг го'ог И2 и(о и) — — 2г —— ог 2 о, о, о, + 2 го, ог + ог о г г аг + гог гг ог ог ~ 1,ЯЁг... '1 ..
)=1(и О, О + ГО О +Ог) 2 2 )~ О, Ог о аг+гог ~ с (1 — г ) + ог о, +2га,от+от) о~+2гога+огг При ме р 2. Двумерная случайная величина ($г,ег) распределена по нормальному закону 1 р(х, у) = — Х 2лог ог х/à — гР 1 !'(» — а)2 (х а)(у Ь) (у Ь)2 '1 1 Х ехр — 2г —— 2(1 — гг) х ог ог ог ог Найти функцию распределения суммы г! = ег + «г Согласно формуле (3) 1 ( 1 )'(2 — а)' р„(х) = 222ог ог ч/1 — г' 2(1 — г ) ог (г — а)(х — г — Ь) (х — г — Ь)' 1) — 2г — — -- — + )) с!з огог ог Обозначим для краткости х — а — Ь через н н 2 — а через и; тогда 1 р„(х) = —, — Х 2ло, ог чг!тг Гл. 4. Случайные величины 140 то, введя обозначение ! ~ что, е2то,от+ о, о ог +тог т г г г ог ог +2тогог+ г мы приведем выражение для р„(х) к виду ехр 2(огг + 2то, ог + огг)1 )г (х) = — —.— — — — -- —.--- —...
) е г ггг. 2Я ~41~ + 2то, ог + ог Так как 2 о=х — а — Ь и Зе дг=ч2я, г то 1 (х- а — ь) ;/2л(о, + 2то1 от + ог) В частности, если случайные величины $, и йг независимы, то т = О и формула для р„(х) принимает вид 1 (х — а — ь) ч/2п(о1 + о~а) Нами получен, таким образом, следуюший результат: сумма нормально распределенных случайных величин распределена по нормальному закону. Интересно заметить, что когда слагаемые независимы, имеет место и обратное предложение (теорема Г. Крамера): если сумма двух независимых случайных величин распределена по нормальному закону, го каждое слагаемое также распределено по нормальному закону. Мы не останавливаемся на доказательстве этого предложения, так как оно требует более сложного математического аппарата. П р и м е р 3.
Р а с п р е д е л е н и е Хг. Пусть |а. йг,..., й» вЂ” независимые случайные величины, распределенные по одному и тому же нормально. му закону с параметрами а и о. Функция распределения величины л Х г (ч» — а) ог носит название Х -распределения. 141 а 21. Функции от еиучавиых величин Это распределение играет важную роль в различных вопросах статистики.
Мы вычислим сейчас функцию распределения величины 1 л Х/~/и. Она окажется независимой от а и ц Очевидно, что для отрицательных значений аргумента функция распределения Ф(у) величины 1 равна О; лля положительных значений у функция Ф(у) равна вероятности попадания точки (~2,..., $„) внутрь шара л 2' (х„— а)2 =у и.
оз. а=! Таким образом, л Ф(у)= /... / ~ — -~ е '= ! 2 !/х2г/хт ... с/хл. Ек/ <у*л ~Х/2я Перейдем для вычисления этого интеграла к сферическим координам, т.е. сделаем замену х, = рсозВ, созВ,... сов Вл хэ = р соз В, соэ Вт ... яп Вл хл !э 5!л В!. й результате этой замены л/2 л/2 уч л 1 з/2 Ф(у)= / .,/ / — л е рл '/2(В!...
Вл !)Х л/2 — и/2 Е (Х/221)л /. ~д„, Хг/рг/В„!...г/В! =Сл ) е р" 'г/р, е где постоянная 1 л/2 л/2 Сл = — — — Х . Х /2(В! В„!)с/В ! .с/В Ы2я)" „/2 /2 зависит только от и. Эту постоянную легко вычислить, пользуясь равенством Ф(+ ) 1 ~ (е л — 1! С( 2л/2 — ! е Гл, 4.
Случайные величины ! 42 Зх/6 г — з'г «р(у) = — у е х/я Из формулы (6) легко вывести плотность распределения величины )(~. Эта плотность равна 0 при х '- О, а лри х > 0 х л/г- ! — /г е р„(х) = 2" / Г(л/2) Распределения величин, тесно связанных с Х' и часто используемых на практике, сведем в следуюшую таблицу: Таблица!3 Величина Г!лотноетьраелределеннл лрн х > 0 х е и/г- ! — /г л в ((а — а)' е =1 2"/ Г(и/2) (л/2)"/ л/г- ! — лх/г — х е г(л/2) 1 1 л — х' = —, '-' (те а)' л ла' а=! 1 и х — в ((а — а)' а«е=! 2 л-! — х /? « — х е г"/'г(л/г) /гл лх /л г (л/2) ./2 х 1 л Г = — =,/ — " ((е — ар ч'л на* Отсюда находим, что уел „«/г Ф(У) = — — / р" ' е а'р. 2 "/г 'Г(л/2) о Плотность распределения случайной величины ( при у йи 0 равна х/2л /ух/л~" ' -лу'/г «?(у) = 1 — --/ е (6) Г( /2) ~./2 /) Отсюда, в частности, при л = 1 мы получим, естественно, плотность распределения, равную удвоенной плотности исходного нормального закона ,р(у)=х/2/яе ' /г (у>0).
При л -- 3 мы получаем известный закон Максвелла 143 й 21. Еаункнии от случайных величин П ример 4. Функция распределения частного. Пусть плотность распределения вероятностей величины (е, 77) равна р(х, у) . Требуется найти функцию распределения частного )' = е (77. Согласно определению р' (х) = р(И < х). Если Е и и изобРажают кооРДинаты точки на плоскости, то (гт (х) Равна вероятность того, что точка Я, 77) попадает в область, координаты точек Рис.!7 которой удовлетворяют неравенству е/77 < х. На рис. 17 эта область заштрихована.
Согласно обшей формуле искомая вероятность равна ах о Ре(х) = ( 1' р(у, г)дуг(г + ( ( р(у, г)Иус(г, (7) а — еа Отсюда вытекает, что если е и 77 независимы, а Р, (х) и Рг (х) — их плотности распределения, то а РГ(х)= ( ~,(хг)рг(г)с(г+,) (1 — Г,(хг))ра(г)йг, (7') Продифференцировав (7), находим, что о рг(х) = ( гр(гх, г)т(г — ( гр(гх, г)с(г, Гл. 4.
Случайные величины 144 В частности, если й и т! независимы, то (8 ) ре(х) = Г гр,(гх) рг(г)г/г — Г гр,(гх)рг(г)йг. Г! г ! 2(! — г') " о', аг аг ог Найти функцию распределения частного ! = $/Л. По формуле (8) 1 ре(х) = — Х 2лагогч 1 — г / г оггхг — э га, огх+ аг! 2(1-г ) о,аг 1 — — Г г ехр аа,ог ч/ 1-г о г Произведем под интегрютом замену, положив г' аггхг — 2 га, отх+ о1 и = 2(1 гг) агат Выражение для рг (х) при этом принимает такой вид; г г 01аг ч/ 1 -г Ге- ~и= —,, ". ) „я(о,'х' — 2 го,о,х+ о,') а,агч ! — г Г г р!(х) = л(о',х' — 2 го, а,х + о', еслн,в частности, величины Е и т! независимы, то о,о, рт (х) —— л(аг1 + огх') П р и м е р 5.
Случайная величина ($, г1) распределена по нормальному закону 145 а 21. Функции от случайных величин Плотность распределения величины ( называется законом Коши. П р им е р 6. Р аспредел ение Ст ьюдента. Найтифункдию распределения частного ! = 5/(т1, где е и и — независимые величины, причем е распределено по нормальному закону а и= х/ х/л (см.пример 3), Согласно формуле (8') рг(х)= /г,т — е е Ыг 2н Г(л/2) ~з/2 ) з/ "-' — — ";*( * ) е пг дг, т/2 х/лГ(л/2) о Сделав замену лг и = — (ха+1), 2 находим,что п+! и-1 / и г е-и1ц о рг(х) = х/н Г(л/2) и ..1 (1+ х!) пх рг(х) = з/ — е 2л (х' +!) рг(х) = з/л Г(л/2) Плотность распределения вероятностей "('— ), з/ и Г(л/2) 146 Гл. 4. Случайные величины носит название за к она Стью де н та (Стьюдент — псевдоним английского статистика Госсета, впервые нашедшего этот закон эмпирическим путем) . Прн л = 1 закон Стьюдента преврашается в закон Коши.
Пример 7. Поворот осей координат. Пофункциираспределения двумерной случайной величины (Е, П) найти функцию распределения величин $ = Е соьа+21 ь1ла (9) 21 — $ 51п й+ 11 соьй, Обозначим через г" (х, у) и Ф(х, у) функции распределения величин (й, 2!) и ($', 21 ). Если мы станем изображать (Е, 21) и Ц',21') какпрямоугольные координаты точки на плоскости, то легко видеть, что система осей е Опь получается из системы е Оп путем поворота последней на угол й.
Мы ограничимся случаем О < й( л/2, предоставив читателю вывод аналогичных формул для остальных значений й, Обозначим через р(х, у) плотность распределения вектора Д, 2!) и через л(х, у) — вектора (Е, 21') . Из (9) находим, что е' = е соь й — и ь!л й, П = е 51п й + 21 со5 й и, следовательно, (1О) я(х, у) = р(х соь й — у 5!и й, х гйл й + у соь й) . Это равенство дает возможность получить формулу, сваэываюшую функции распределения векторов (е, 21) и (е', и ). Прн разыскании формулы следует учитывать геометрическую картину. П р и м е р 8. Двумерная случайная величина (Е, 21) распределена по нормальному закону 1 1 ! ~х" ху у'!! р(х, у) = — — — ехр ' — — -~ — — 2 г — + — ~(. 2(1 — г )~о, о,оэ 2 ~ 2 2) ЛО, Оа ~/ Найти плотность распределения случайных величии $'= $ соьа+ 2! гйл й, 21 = -$ ь!и й + П соь й, й 21.
Функции от случайных величин 147 Согласно равенству (10) и(х,у )=р(х сова — у 51па, х 5)па+у сока)= — —.-ехр~ — (Ах — 2Вху +Су 7 г 2 о!ог,/)-гг где обозначено соа'а соз а гйп а 5)ига А = — — 2г + г 2 о, о!о! 02 сота 5ю й 51п й — со5 й соа й 51л й 2 2 В— — и— г о! о! ог О2 СО5 й 5ГЛ й СО5 й 2г— + и! ог ог 2 5Ю'й о ! Из полученной формулы мы заключаем, чго поворот осей переводит нормальное распределение в нормальное. Заметим, что если угол а выбран так, что 2 го, ог г г г тоВ=Ои 1 л(х, у )= 2(! -— с ) 2(1 — М) 2 ио, ог ~~ 1 — и' Это равенство означает, что любая нормально распределенная двумерная случайная величина путем поворота осей координат может быть приведена к системе двух нормально распределенных н е за в и си мы х случайных величин.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
