Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 27
Текст из файла (страница 27)
7. Плотность распределения случайной величины 1 дана равенством а р(х) = с + с -х х Найти: а) постоянную а; б) вероятность того, что в двух независимых набл!одениях 1 примет значения, меньшие!. 8. Функция распределения случайного вектора (1, л) имеет вид: а) р(х, у) = р, (х) р,(у) + рэ(х); б) Р(х, у) = Р, (х) Рэ(у) + Рэ (х) + 1'~(у). Гл.
4 Случайные величины 154 Могут ли функпии г"з (х) и г"„(х) быть произвольными! Зависимы или независимы компоненты вектора (1, л) ". 9. На отрезок (О, а) наупачу брошены две точки (т е. их абсписсы равномерно распределены в отрезке (О, а)!. Найти функпию распределения расстояния межд> ними. 10. На отрезок (О, а) брошено я точек. Считая, чэо точки разбросаны случайно [т.е, каждая из нкч расположена независимо от других и распределена равномерно в (О,а) ), найти: а) плотность распределения абсциссы х-й слева точки; б) совместную плотность распределения абсписс (с-й и т-й точек слева ((с < т), 11. Над сл> чайной величиной ! с непрерывной ф>нкпией распределения произведено л независкмых испытаний, в результате которых были наблюдены следующие значения величины 1: х,, х, ..., х„.
Найти ф>нкпии распределения слУчайных величин: а) и, = шах (х,, х, ..., хл); б) Гл = лпл (х,, х,, х„); в) (г-го по величине результата наблюдения; г) совместного распределения х-го и гл-го по величине результатов наблюдения. 12. Функлия распределения случайного вектора (1,. 1,, ..., 1„) равна г" (х„хз х„). В результате испытания компоненты вектора получили зйачения (т,, з,, ., тл). Найти фУнкцию РаспРеДелениЯ слУчайной величины: а) Чн = птах (х,, т„,, х„); б) !л = ш!л (т,, г,, тл) !3. Случайная величина 1 имеет непрерь>вную функпию распределения г (х).
Как распределена случайная величина и г (1) ", !4. Случайные величины ! и ч независимы; их плотности распределения определяются равенствами р!(х) =р,(х) =0 при т к О, р((х) = с,хое Рх, р„(х) = с,х>е бх при х > О, Найти: а) постоянные с, и с,; б) плотность распределения суммы ! + и. 15. Найти фУнкцию распределения суммы независимых случайных величин ! н и, первая иэ которых равномерно распределена в сегмент ( — А„Ь).
а вторая имеет функцию распределения г" (х). 16. Плотность распределения случайного вектора (1, ч, Г) равна приз>б,у)О,х>0, (1 +х+у + т)' в остальных случаях, Найти распределение величины ! + ч+ Г. !55 Упражнения 17. Найти распределение суммы независимых случайных величин 1, и ! „если иь распределения заданы условиями: 1 1 а) Е (х) = с,(х) = — + — агсчйх; 2 б) равномерно распрелелены соответственно в интервалах ( — 5, !); (1, 5); )х! ! и) 1,(х) = р,(х) = — е 2а 18. Плотность распределения независимых случайных величин ! и ч равна: 0 при хюО, а) р((х) = р, (х) = чае ах при х>0(а >0); при хнО,х>а.
б] р!(х) = р,г(х) = ~ !/а при 0<хна. Найти плотность распрслсления величины у = !г'и. 19. Найги функцию распределения произведения независимых сомножителей ! и и по ит функциям распределения )г, (х) и с, (х). 20. Сл) чаиныс величины 1 и ч независимы и распределены: а) равномерно в интервале ( — а, а ): б! нормально с параметрами а = О, о = !. Найти ф) нкцню распределения иь произнедсния.
21. (гороны ! и ч треугольника прсцстааляют собой независимые сл> чайные величины. По ит функциям распределения Р( (хг и рч(х) найти функцию распределения трез ьсй стороны. если угол межи> сторонами ! и и равен постоянному числу о. 22. Доказать, что если величины ! к ч независимы и их плотность распределения равна ори т н О, р!(т) = рч(х) = при х > 0 то величины 1+ Л и ! г'ч гакжс независимы. 23. доказать, что если величины ! и ч независимы и нормально распрслелены с параметрами а, =а, = О. о, = о, = о, го величины !з + „з * — !г Л также независимы.
Гл. 4. Случайные величины 156 (х — е) 1 р(х) = — е а,)'ЗО я я Найти двумерную плотность распределения величин и = Е (я и й= ! (и) < и). 26. Доказать, что любая функция распределения обладает следуюшими свойствами, 1 !пп х 3' — дЕ(з) = О, т т 1 !пп х 3' — ПР(т) = О, т х +О х ! 1пп х ) — аг'(з) = О, х 1 Иш х ! — ПР(т) = О. х — О х —.— 27.
Над случайной велнчиноя 6, имеюшей непрерывную функцию распределения г" (х), проведены две серии независимых испытания, в результате которых ! приняла значения, расположенные н порядке возрастания в каждой серии: х, <х, « ...хМ, У, <У « . У)с. Чему равна вероятность неравенств У, < «щт! < Унт! где )л н л заданные числа (О < ш < М, О < и < Л')? 28. Случаннаа величина ! имеет непрерывную функцию распределения Р(х). В результате л независимыч наблюдениИ над ! получены следуюшис значения «, < х, « ... .тл, упорядоченные по величине. Найти плотность распределения величины р(х„) — Г(х,) р(«л) — р(х, ) 29. Случайные величины ! и и независимы и одинаково распределены с плотностью распрсделсния С р((«) = р (т) = — — —, 1) !+Л' нанти постоянную С и доказать, что величина !)ч распрслслсна по закону каши.
24. доказать, чта если величины 6 и ч независимы и распределены по закону х* с параметрами гл и н, то величины 6 = 6/ч и т = 6 + ч независимы. 25. СлучаРные величины ! „(„..., 1„независимы и имеют одну и ту же плотность распределения 157 Упражнения 30. Случайные величины 1 и ч независимы, нх плотности распределения соответственно равны 1 р((х) = — — (~х ~ < 1); при х кО р„(х) = -х~/2 при х>0. Доказать, что величина (ч нормально распределена. 31. Пусть 1 и 1 независимы и имеют плотности распределения при х < О, при х>0.
Доказать, что отношение ч = — распределено равномерно на отрезке (О, 1). (+и 32. Случайныс величины 1 н ч независимы н ранномсрно распрелслсны на отрезке (-1, 1). Вычислить вероятность тото, что корни уравнения х' + (х + ч = 0 вещественны. (Задачи 29-32) сообщены мне М.И. Ядренко.) ГЛАВА 5 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН В предыдущей главе мы видели, что наиболее полная характеристика случайной величины дается ее функцией распределения. Действительно. функция распределения одновременно указывает на то, какие значения может принимать случайная величина и с какими вероятностями, Однако в ряде случаев о случайной величине требуется знать гораздо меньше, требуется получить о ней лишь некоторое суммарное представление. Для теории вероятностей и ее приложений большую роль играют некоторые постоянные числа, получаемые по определенным правилам из функций распределения случайных величин.
Среди этих постоянных, служащих цля получения общей количественной характеристики случайных величин, особенно важны математическое ожипание, дисперсия и моменты различных порядков. й 23. Математическое ожидание Начнем изложение с рассмотрения следующего схематического примера: предположим, что при стрельбе из некоторого орудия для поражения некоторой цели требуется один снаряд с вероятностью р,, два снаряда — с вероятностью рэ, три снаряда — с вероятностью р, и т.д. Кроме того. известно, что л снарядов заведомо достаточно для поражения этой цели. Таким образом, известно, что Р1 + Рт + . + Р— 1.
Спрашивается, сколько в среднем потребуется снарядов для поражения указанной цели. Лля ответа на поставленный вопрос будем рассуждать так. Предположим, что производится очень большое число стрельб в указанных выше условиях. Тогда на основании теоремы Бернулли мы можем утверждать, что относительное число стрельб, в которых для поражения цели потребовался только один снаряд, приблизительно равно р,.
Точно так же два снаряда потребовалось приблизительно в 100рт % стрельб и т.д. Таким обра- 159 а 23. Математическое ожидание зом, "в среднем" на поражение одной цели потребуется приблизительно 1 р! +2.рт + ... +л.р снарядов. Аналогичные задачи по подсчету среднего значения случайной величины возникают в самых разнообразных задачах. Вот почему в теории вероятно. отей вводят в рассмотрение особое постоянное, носящее название м а т ем а т и ч е с ко г о о ж и дан н я. Мы сначала дадим определение для дискретных случайных величин, отправляясь от только что рассмотренного примера, Пусть х,, ха, ..., х„, ... обозначают возможные значения дискретной случайной величина! е, а Р! Рт .
Ра — соответствующие им вероятности. Если ряд Х х„р„сходится а б с о л ю тно, то его сумманазывается «=1 математическим ожиданием случайной величины $ н обозначается М$ . Для непрерывных случайных величин естественным будет следующее определение: если случайная величина $ непрерывна н р(х) — ее плотность распределения, то математическим ожиданием величины $ называется интеграл М$ = (хр(х)дх в тех случаях, когда существует интеграл (' ~х ~р(х)с1х. Для произвольной случайной величины е с функцией распределения г (х) математическим ожиданием называется интеграл М$ = )' хс!г"(х). (2) Пользуясь определением интеграла Стилтьеса, мы можем дать простое геометрическое истолкование понятию математического ожидания: математическое ожидание равно разности площадей, заключенных между осью Гл.
5. Числовые характеристики ординат, прямой у = 1 и кривой у = Е(х) в интервале (О, + ) и между осью абсцисс, кривой у = Е(х) и осью ординат в промежутке ( —, 0) . На рис.!8 соответствующие площади заштрихованы и указано с каким знаком следует взять в сумме каждую из площадей. Заметим кстати, что геометрическая иллюстрация позволяет математическое ожидание записать в таком виде: М~ = — )' Р(х)ах + 3 (1 — Е(х))~1х. Сделанное замечание позволяет во многих случаях находить математическое ожидание почти без вычислений. Так, для случайной величины, Рис. 1В распределенной по закону, указанному в конце й 19, математическое ожидание равно половине. Заметим„что среди рассмотренных нами ранее случайных величин, случайная величина, распределенная по закону Коши (пример 5 й 21), не имеет математического ожидания.
Перейдем к рассмотрению примеров. П р и м е р 1. Найти математическое ожидание случайной величины $, распределенной по нормальному закону По формуле (2) находим, что л)г т М$= )х о Г2л 2а 1 23. Математическое ожнаание х -а Заменой т = — мы приводим вычисляемый интеграл к виду о 1 — 2 М» = — ( (оз + а)е ' 1~с(т = 'чс2я — (ае 1 с(з + — - ( е 1 асг. о -с' 3 а — се чт 2я ;с«2 тс Так как (е е'1з,сз = з/2я и (те с'1з,.„= 0 то Ме =а. Мта видим, что математическое ожидание совпадает с серединой интервала возможных значений случайной величины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
