Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Величина пг» = М ~ $ — а 1» (4) носит название абсолютного момента Мо порядка. Моментом к-го порядка случайной величины $ называется математическое ожидание величины (» — а) ». и»(а) = М(й — а)". (1) 176 Гл. 5. Числовые характеристики Согласно определению математического ожидания М(« — а)" должно вычислясься цо формуле и»(а) = ГхасС(х), (1') где С(х) обозначает функцию распределения величины (« - а)".
Однако при действительных расчетах предпочитают пользоваться другой формулой: и»(а) = 1(х — а)" с(Е(х), (5) где Е(х) — функция распределения величины «. Для того чтобы формулы (1) и (5) не противоречили друг другу, необходимо„чтобы имели место равенства Гхс/С(х) = /(х — а) "с(г(х) . Докажем, что это действительно так. Если /с — нечетное число, то (« — а)" — неубывающая функция «и поэтому С(х) = Р((« — а)" < х) = Р(« — а < х/х ) = = Р(«< а+ х/х ) =Е(а+ ч/х ). При нечетном /с, таким образом, » М(« — а) =)хссй(а+ х/х ). Нетрудно подсчитать, что заменой г = а + х/ х мы приводим этот интеграл к виду (5).
Если же /с — четное, то (« — а) есть неотрицательная величина и, следо» вательно, С(х) = О при х< О. При х) О к С(х) = Р((« — а)» < х ) = Р(а — х/х < «< а + х/х ) = = Е(а + ч/х ) — Е(а . ~Гх + О). Таким образом, при четном /с М(« — а) = 1 хасг(а + х/х ) — ) хаср(а — .,/х + О). о о сс— Заменами г = а +х/х в первом интеграле и г = а — Х/х — во втором мы приводим М(« — а) к виду (5).
Мы доказали частный случай следующей теоремы. Т е о р е м а 1. Если Г(х) — функция распресэелекил величины «,/(х)— непрерывная функция, го М/ («) = )'/(х) Ю(х) . е 2б. Моменты 177 Так как мы условились считать, что случайная величина ~ имеет математическое ожидание только в том случае, когда изображающий его интеграл абсолютно сходится, то ясно, что момент 2с-го порядка у величины $ существует тогда и только тогда, когда сходится интеграл Д х ~ с(Р'1 (х) . Первый интеграл в правой части неравенства конечен в силу конечности пределов интегрирования н ограниченности подинтегральной функции, второй иитегргпс сходится в силу предположения. П р и м е р.
Найти центральные и центральнгче абсолютные моменты случайной величины, распределенной по нормальному закону 1 1 (х -а)1 р(х) = ехр ' — —, а гэ — „- ( 2а' Имеем: (х — а)' а" Дх = — — )хне з с7х. -0 I эя 2 Ра = ,1(х — а) ехР ~- а,/2я При 1с нечетном, в силу нечетности подинтегральной функции, д,=О. Прн 1с четном л 2 дх =пса = х/ — а" )'л "е цх.
и о Подстановкой х = 2з мы приводим этот интеграл к виду зхз сс — с х-1 -щ — „/ а э 2 )„е.хс)х я о "-' ~ -)-' —— з — — а 2 Г~ — ) = а"(к — 1)(сс — 3)...1= а"— ) ' ' ' г""(й)2)1 Из этого замечания следует, что если случайная величина $ имеет момент и.го порядка, то она имеет также моменты всех положительных порядков, меньших чем 1с. В самом деле, гак как при г < й ~ х'1" > !х1", если 1 х| > 1, то /)х ~ "АЗ(х) = ( 1х "сЖ1(х) + )' !х !сас7сс(х) ( ~х1< 1 1х~) 1 1х("с(Е1(х) + ) ~1х(~с3Гт(х) .. 1х1< 3 с) с Ги. 5. Числовые характеристики 178 При й нечетном абсолютный момент равен т = ч/ — он/хне г Нх= х/ — оь2 г Г~ т„=,/ — о гг о и 2 Моменты функций распределения не могут быть произвольными величинами. Действительно, каковы бы ни были постоянные го, г,,..., г„, квадратичная форма и и У„=/( с.
гь(х — а)~)~гге(х) = х с, и„,ч(а)сьсг > О к=о г=г гг=г неотрицательна; поэтому первые и (а) должны удовлетворять следую. шим неравенствам: Ро(а) иг(а) ... иь(а) иг (а) иг (а), иг г (а) > О (Гг = 1, 2,..., п) . иь(а) ин, г(а) ... Рте(а) Аналогичным неравенствам подчинены и абсолютные моменты.
Относительно абсолютных моментов мы докажем еще следующую теорему. Те о р е м а 2. Если случайная величина с имеет абсолютный момент порядка сг, то при любых си т (О < с < т < к) г т ,гтг< х/т, <,гть, где обозначено т,= М! е — а~', а — любое вещественное число. Доказательство. Докажем сначала теорему для того случая, когда г, т и Сг — рациональные числа. Пусть для определенности с = р/гг, т = г/гг, Сс = и/ч, причем по предположению теоремы р< г(и.
й 26. Моменты Пусть теперь г — какое-нибудь целое положительное число, меньшее чем и. Рассмотрим неотрицательную квадратичную форму У вЂ” 1 У+1 т„1 и! + 2т„ии+тУУ1 н2 =) 1и!х12Р + и)х) 2Р ) 2Жтх). ч ч ч Условие ее неотрицательности состоит, как известно, в том, что 2 тг тг — 1 ' Л1 У+1 ° ч ч ч Это неравенство, очевидно, может быль записано и в таком виде: 2У< У У У У вЂ” 1 У+1 ч ч ч от 1 до г, то мы получим Если придать г последовательно значения последовательность неравенств 1 2 2 2 2 2У Унотг тз т1 та, ° .. ч Р Ч ч ч < т„т„ ч ч Заметив, что всегда то = 1, перемножив выписанные неравенства и произведя сокращения, мы приходим к неравенству тг'1 < т".
У 2+1 ч Р Таким образом, т„" < т„"'",', или же т„" < т„'+,' . ч ч ч Это неравенство доказывает, очевидно, теорему, в случае Г, т и х рациональных. Так как функция т, непрерывна относительно аргумента т в области О < г < гт„то предельным переходом мы убеждаемся в правильности теоремы при любых т, т и я. Заметим, что в только что доказанной теореме содержится следующее важное свойство моментов: 1 1 1 1 т1 < т2 < т, < ...~ т„< тау1 < з Е ь 1 В примерах предыдуших параграфов два первых момента случайной величины полностью определяли ее функцию распределения, если только 'заранее известен вид этой функции (так зто имело место для распределений нормального, Пуассона, равномерного и др,). В математической статистике играют значительную роль законы распределения, зависящие от большего чем два числа параметров, Если заранее известно, что случайная Гл. 5.
Числовые характеристики величина подчинена закону вполне определенного вида, но неизвестны лишь значения параметров, то зти неизвестные параметры в важнейших случаях определяются через первые моменты. Если же нам неизвестно, к. какому вицу принадлежит функция распределения, то, вообще говоря, не только знание одних первых, но и знание всех целочисленных моментов не дает возможности определить неизвестную функцию распределения. Оказывается, можно построить примеры различных функций распределения с одинаковыми моментами всех целочисленных порядков. В связи с этим возникает вопрос (и р о б л е м а м о м е н т о в): дана последовательность постоянных чисел Со 1 Сг Ст,С3 1) при каких условиях сушествует такая функция распределения Р(х), для которой при всех и имеют место равенства с„= ) х "гЖ(х), 2) когда эта функция ецинственна? В настояшее время эта задача получила полное решение, мы не останавливаемся на нем, так как оно стоит в стороне от назначения нашей книги.
Среди прочих числовых характеристик наиболее сушесгиенную роль играют так называемые с е м и и н в а р и а н т ы; их определение мы отложим до главы 7, сейчас же отметим только слецуюшее. При сложении независимых случайных величин момент суммы, вообще говоря, не равен сумме моментов слагаемых. Для момента суммы независимых слагаемых $ и Л имеет место равенство М((ел)п = Е С„"М(кмлл-а. к=о Семиинварианты различных порядков обладают тем свойством, что при сложении независимых слагаемых семиинвариант суммы равен сумме семиинвариантов слагаемых того же порядка.
Оказывается, что семиинвариант лгобого порядка )г есть рациональная функция моментов порядков, меньших или равных lс. Упраяепекия )ыцлучвйная величина т прннимаст целые неотрицательные значения с вероятностями я а в) р(1 = й) = — — — —, а > Π— лостояннвл) это рвслрслслснис носиг назвв- 1! га) нис распРеделения Паскигя: 1В( Упражнения оЛ 'с а (1 + о)...
(1 + (!с — 1)с,) б) = Р(Е = )с) = ) †, — — рч при всех й > О,где о > О, Л > О и р, = Р(( = 0 = (1+ ох ) '. Это распределение носит название раслределеиия Пойа. Найти М( и 00 2. Пусть и — число поивлений собьпип А в л независимых испытаниих, в каждом иэ которых Р(А) = р. Найти а) Мд'. б) Мл", б) М ! и — лр!.
3. Вероятность поивления события А в й-м испытании равна ра. Пусть и появлений событии А в л первых независимых испы галиях. Найти число л л а) Мд, б) О», в) М(д — Х р.)Э, г) М(в — с' р!) . с=1 1=1 4. Доказать что в условиих предыдущей задачи максимум Ол достигается для сс данного значения а — — — — Х р,. при условии п р, ='Рс = ..
=- Рл =а, 5. Пусть и - число лоивлсний события А в л независимых испытаниях, в каждом иэ которых Р(А) = р. Пусгь, далее, величина и равна 0 или 1 в зависимости от того, оказалось и четным или нечетным. Найти Мп. б. Плотность распределения случайной величины 1 равна 1х- а! 1 а р(.г) = — е о э (расиределеиие !)алласп) Найти М( и 00 7. Плотносгь распределения абсолютной величины скоросги молекулы дается распределением Максвелла ссэ 4х' ",' э" р(х) = — е при х>0 о' )е и р(х) = О при х и О, о > 0 - логгоинная.
Найти среднюю скорость молекулы, ее дисперсию, среднюю кииепсческую энергию (масса молекулы равна гл) и дисперсию кинетической энергии. 8. Плопсость вероятностей молекуле, находящейся в броуновском движении, отстоясь иа расстоянии хат отталкивающей стенки в момент Г если в момеит Г, она оп-соила на расстоянии х„. дается формулой (х.гхч)' (х —.:с) 1 — — (е +е )! при х- О, 4Ог 4ОГ 2,„(сгОг р(х) = при х< 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
