Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Позднее А.А. Марков заметил, что рассуждения Чебышева позволяют получить более общий результат (см. й 27) . Дальнейшие усилия долго не приносили принципиальных успехов, и лишь в 1926 г. А.Н. Колмогоров получил условия, необходимые н достаточные для того, чтобы последовательность взаимно независимых случайных величин $,, С„..., $н, ... подчинялась закону болыпих чисел. В 1923 г. А.Я. Хинчин показал, что если случайные величины й„не только независимы, но и одинаково распределены, то сушествование математи. ческого ожидания Мйп является достаточным условием для применимости закона больших чисел. В поатедние годы много работ было посвяшено определению условий, которые следует наложить на з а в и с и м ы е величины, чтобы для них выполнялся закон больших чисел. Теорема Маркова принадлежит к предложениям этого рода.
Используя метод Чебышева, легко получить условие, аналогичное условию Маркова, но уже не только достаточное, но и необходимое для применимости закона больших чисел к последовательности произвольных случайных величин. Т е о р е м а. Для того чтобы для последовательности Ь,Ь,сз, (нак угодно зависимых) случайных величин при любом полозштельном е выполнялось соотношение )93 4 29. Необходимое н достаточное условна Легко проверить следующую пепочку соотношений: (Ск — МЬс) ~ е л Р() яи ) ~ е) = (~1 л 1 як=! 1+ е' х Х т(фл(х) <, Х, (фи(х) < !» ! в е с~»!эе1+х е) 1+е х 1+е т)~» < — )' т(ф„(х) = — - М вЂ”"— е 1+х е' 1+ц' Это неравенство доказывает достаточность условия теоремы.
Покажем теперь, что условие (2) необходимо. Легко видеть, что х Р() т)л ) ~~ е) ) т(фи(х) ~ ) етфи(х) !»~>е )х)ве 1+х х' х' лХ,С(ф (Х)- Х, т(ф (Х)~ 1 !.х' )»)се1+х' 2 7 в) 2 с(фл(Х) — Е =М " — Е (3) 1+х 1еп2 Таким образом, 2 О <М <е~ + Р((ди ) >е). 1+Уй Выбирая сначала е сколь угодно малым, а затем л достаточно большим, мы можем сделать правую часть последнего неравенства сколь угодно малой. Отметим, что все теоремы, доказанные в предыдушелт параграфе, легко вытекают из только что доказанного обще~о предложения.
Действительно. так как при любом и и любых Кк имеет место неравенство л 12 и ( 2 ~ ц щ 1+ ц„т! к =! то в случае существования дисперсий отсюда вытекает неравенство л М " < — 0 ш' Ск. 1+ т)~ л' к = ! *) Последнее равенство мы пишем на основании фарм> лы м1(0 =-) г(»)е(рг(х) (см, теорему ! а 22). 7. Б.Б. Гнеденко Гл. б. Закон больших чисел Таким образом, если условие Маркова выполнено, то выполнено также условие (2) и, следовательно, последовательность $ю $„ ..., 3„, ...
подчиняется закону больных чисел. Все же мы должны заметить, что в более сложных случаях, когда у величин йа не предполагается конечных дисперсий, доказанная теорема для фактической проверки применимости закона больших чисел весьма мало пригодна, так как условие (2) относится не к отдельным слагаемым, а к их суммам. Однако рассчитывать на то, что, не сделав никаких предложений о величинах Ь и о существующей между ними связи, удастся найти необходимые и достаточные условия, к тому же удобные для приложений, по-видимому, нельзя.
Если предположить, что величины «м $„3т,... взаимно независимы, то можно показать, что условие (2) эквивачентно следующему: при ил 12 2 2 2 +~2 где обозначено Ь =Ь вЂ” Ме». Практическое использование только что доказанных теорем встречает одно принципиальное затруднение: можем лн мы считать, что изучаемое нами явление нли производственный процесс протекают под воздействием независимых причин? Не противоречит ли само понятие независимости нашим основным представлениям о взаимосвязи явлений внешнего мира? При математическом изучении тех или иных явлений природы, технических процессов нли тех или иных общественных явлений мы прежде всего должны выводить наши основные предпосылки, опираясь на глубокое изучение существа самого явления, качественных его особенностей.
Мы должны учитывать изменение внешних условий, в которых протекает изучаемое нами явление н изменять математический аппарат и предпосылки, лежащие в основе его применения, как только обнаружится. что условия осуществления.явлеиия изменились. Отбрасывая несущественные связи между причинами, под влиянием которых развивается изучаемое явление, мы приходим к возможности в качестве рабочего аппарата пользоваться независимыми случайными величинами.
Насколько удачно мы произвели схематизацию явления, насколько удачно выбран нами математический аппарат для его изучения, мы можем судить по согласию созданной нами теории с практикой. Если наши теоретические результаты существенно расходятся с опьпом, то мы должны пересмотреть предпосылки, в частности, если идет речь о применимости закона больших чисел, то быть может придется отказаться от предположения о полной независимости действующих причин и перейти к предположению об нх зависимости, быль может и слабой. !95 а 30. усиленный закон больших чисел Мы уже говорили, что накопленный опьп использования теорем о законе больших чисел показывает, что условие независимости удовлетворительно во многих важных задачах естествознания и техники.
а ЗО. Усиленный закон больших чисел Нередко из теоремы Бернулли делают совершенно необоснованный вывод, что частота события А при безграничном увеличении числа испытаний стремится к вероятности события А. На самом же деле теорема Бернулли устанавливает только тот факт,что для достаточно большого числа испытаний и вероятность одного единственно~о неравенства: ! р р (е может быть сделана больше чем 1 — т! при произвольном П> О. В 1909 г. французский математик Э. Борель обнаружил более глубокое предложение, согласно которому при любых е > 0 и т! > 0 можно указать такое но, что, каково бы ни было з, вероятность одновременного выполнения неравенств )-"-)сь для всех л, удовлетворяющих неравенствам ло < л ( но + т больше чем 1 — и.
Эту теорему мы выведем нз теоремы Колмогорова об усиленном законе больших чисел. Не раве н ство Кол мо горо на. Если взаимно независимые случайные величины $т, $з,..., $н имеют конечные дисперсии, то вероятность совместного осутиесгвления неравенств Х !т,— айа )~<е 01=1,2,...,н) з=! не меньше, чем и — Б О$,, е /с=! Доказательство. Введемобозначения ,„=~, м~,, я„= Б,, 1=! Пусть, далее, Еа обозначает событие, состоящее в том, что (от((е для /~й — ! н (ое)>е; Ео означает событие, состоящее в том, что ! о! ! <е для у <и. 196 Гл. б. Закон больших чисел Так как событие, состоящее в том, что хотя бы при одном /с (1 < й < и) бу/ют выполнсно неравенство 1Я» !>е (//=1,2,,л) (иными словами, что птах /Яа !>е) равносильно событию 2,' Ь/„то т ч/скл /с =1 в силу несовместимости событий Еа л Р( /пах /бя ~>е)= х Р(Еа) 1 К Я < сс /с=1 Согласно равенству ((5) 5 23) и л Оьч = 2' Р(Е ) М(Е„1Е )> 2' Р(Ь'-).
М(Е„~Ь'„). а=о /с = / Очевидно, далее, что М(оа ~Е ) М(оеа+2 ~ оо + ~ т+2 ~ „сЬ )> />/, ' />А / />л>а / л Эмил +2 Х 5ал.+2 2' т/Лл! Еа) . />а ' />л>а Так как осуществление события Еа налагает ограничение только на значения первых /с из величин т/, а последующие остаются при этом условии независимыми друг от друга и от Яю то М (бап/ ~ Ьа) = М (Яа ~ Ея) ' М(т/. ! Еа) = О и М(п,л/л!Ее)=0 (ЬФУ', Ь>/Ч У'>Ь>1), Кроме того, согласно (1) имеет место неравенство М(5/ ! Е/, ) к> е (я к> ! ), Мы можем написать поэтому, что Ыл> ' Х Р(Ь„).
а=! Отсюда л 1 2' Р(Еа) =Р( щах ~Ьа (~>е)< 05„. «=/ /Чабан Е Неравенство Колмогорова доказано. Мы скажем, что последовательность случайных величин еьс сеа, чез подчиняется усиленному закону болел/их чисел, если, каковы бы ни были 197 5 30. Усиленный закон больших чисел е>0 н л>0, можно указать такое пс, что для любого з ивсехп,удовлетворяющих неравенствам пс < л < пс + з, вероятность неравенства 1 п Я и!ах -- 2' «» — — а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
