Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Действительно, в примере 2 предыдущего параграфа мы нашли,что характеристические функции случайных величин $г и $г равны и и у' (Г) = ел, (е — г) уг(т) = елг(е В силу теоремы 3 предыдущего параграфа характеристическая функция суммы с = Рг +гг равна и гатт) (( ° у () (л,+л,де -г) т.е. является характеристической функцией некоторого закона Пуассона. Согласно теореме единственности единственное распределение, имеющее т (г) своей характеристической функцией, есть закон Пуассона, для которой (7(г +7( )» -(л +л > Р($= )='' (Ус > О). Д.А.Райков доказал обратное более глубокое предложение: если сумма двух независимых случайных величин распределена по закону Пуассона,то каждое слагаемое также распределено по закону Пуассона.
Пример 3. Характеристическая функция вещественна тогда итолько тогда, когда соответствующая ей функция распределения симметрична, т.е. когда при любых х функция распределения удовлетворяет равенству Р'(х) = 1 — Р( — х+О). Если функция распределения симметрична, то ее характеристическая функция вещественна. Это доказывается несложным подсчетом: У(г) = )'е""с(Р'(х) = = )' е ""(Р'(- +0) + ),л,тл(х) Р( ~) о о ) (е '"" + е"")с(Р(х) к( щ) ь( о = 2 Х ° з~ (Р(х)-Г(0) р( 0)= („„,„,,„ о 219 1 34.
Теоремы Хелли (Напомним здесь, что мы условились включать нижний предел в интервал интегрирования и не включать верхний) . Для доказательства обратного предложения рассмотрим случайную величину ч= — с. Функция распределения величины и равна 6(х) = Р ( и (х ) = Р ( Е > — х ) = 1 — г"( — х + О). Характеристические функции величин е и и связаны соотношением а(г) = алстл=Мс о1=5~е'~е = 1(г) Так как по условию Дг) вещественна, то 7(г) = Дг) и, значит, Иг) = Ф) Из теоремы единственности мы теперь заключаем, что функции распределения величин Е и и совпадают, т.е.
что г"(х) = 1 — с'( — х+О), что и требовалось доказать. а 34. Теоремы Хеппи В дальнейшем нам потребуются две теоремы чисто аналитического характера — первая н вторая теоремы Хеппи. Условимся говорить, что последовательность неубывающих функций Г,(х), с'э(х),..., сл(х),... сходится в основном к неубывающей функции с (х), если при л -+ она сходится к этой последней в каждой ее точке непрерывности.
Впоследствии мы всегда будем считать, что функции с'л (х) удовлетворяют условию ~.(-) =, и не станем далее оговаривать этого. Отметим сразу же, что для сходимости в ссновном достаточно, чтобы последовательность функций сходилась к функции с (х) на каком-нибудь всюду плотном множестве Ю.
Действительно, пусть х — любая точка и х' и х ~ — какие-нибудь две точки множества О, такие, что х < х < х . При этом также Р„(х') < Р'„(х) ~ Г„(х ). Следовательно, Йп Е„(х') < 1пп гл(х) < Мщ сл(х) < 1пп )с„(хл) Гя. 7. Характеристические фуикиии 220 А так как по предположению !пп Р„(х') = Г(х') и 1!щ т„(хл) =Р(хь), л то н т"(х') < !пп тл(х)< !пп г„(х)<р(хл). л л Но средние члены в этих неравенствах не зависят отх их, поэтому т (х - О) < 1~и г„(х) < 1пп )с„(х) < р(х + О).
л. л Если функция т (х) в точке х непрерывна, то т(х — 0)лт"(х) = т(х+О), Следовательно, в точках непрерывности функции Г(х) 1пп т"„(х) = т(х). л-' Первая теорема Хеппи. Всякая последовательность ограниченных в совокупности неубывающих функций р,(х), тт(х),..., р„(х),... (1) содержит по крайней мере одну подпоследовательность Р (х) Рл (х) Рл (х) сходящуюся в основном к некоторой неубывающей функции г (х) . Доказательство. Пусть Р— какое-нибудь счетное всюду плотное множество точек х,,хт,., х„, ...
Возьмем значения функций последовательности (1) в точке х,' ть(х,), т'т(х,),..., Вл(х!), ... Так как множество этих значений, по предположению, ограничено, то оно содержит по меньшей мере одну последовательность Вт!(х!'), В!э(х!'), ..., Гь„(х!'), ..., (2) сходящуюся к некоторому предельному значению, которое мы обозначим через С(х,). Рассмотрим теперь множество чисел р! !(хт ) Е! 2(хт ),...., р! л(хт ), Так как и это множество ограничено, то существуе~ в ием последовательность, сходящаяся к некоторому предельному значению С(х,).
Таким образом, из последовательности (2) мы можем выделитьподпосле- и 34. Теоремы Холли довательность Рт,(х), Рта(х),..., рт„(х), (з) для которой одновременно !!ш Рзл(х, ) = С(х, ) и 1!пз Рзл(х, ) = С(х, ). и л Продолжим такое выделение цодпоследовательностей Р~ г(х), Рьт(х)... Гь (х), (4) для которых одновременно имели бы место равенства 1пп Рал(х'„) = 6 = С(х„) при всех г < !с.
Составим теперь диагональную последовательность Р,,(х),рт,(х),..., Р;„,(х), (5) Вся она в конечном счете выделена из последовательности (1), поэтому для нее 1пп Р„„(х, ) = С (х,) . Далее, так как вся диагональная последовал тельность, за исключением лишь первого члена, выделена из последовательности (2), то 1пп Рлл (хт ) = С (хз) . Вообще вся диагональная последова- И тельнось, за исключением первых ее !с — 1 членов, выделена из последовательности (4); поэтому для нее также 1пп Рлл(хр,') = С(хь) при кажл дом !с. Полученный результат можно сформулировать так; последовательность (1) содержит по крайней мере одну подпоследовательность, которая во всех точках хь множестваР сходится к некоторой функции С (х), определенной на множестве 2!. При этом, так как функции Рлл (х) не убывают и равномерно ограничены, то, очевидно, и функция С (х) будет неубывающей и ограниченной. Теперь ясно, что функцию С (х), определенную на множестве Р, можно продолжить так, что она будет определена на всей прямой — < х < оставаясь неубывающей и ограниченной.
Последовательность (5) сходится к этой функции на всюду плотном множестве В; следовательно, она сходится к ней в основном, что и требовалось доказать. Заметим, что функция, полученная продолжением функции С, может оказаться не непрерывной слева. Но мы можем изменить ее значения в точках разрыва так, чтобы восстановить этой свойство. Подпоследовательность Рлл бУдет сходитьсЯ в основном и к таким обРазом "попРавленной" функции. В т о р а я т е о р е м а Х е л ли.
Пусть)(х) — непрергавная функция и пусть последовательность неубывающих, ограниченных в совокупности функций Г,(х), ст(х),..., Р„(х),... сходится в основном к функции Г(х) на некотором конечном интервале Гл. 7. Характеристические функнии а <х <Ь, где а и Ь вЂ” точки непрерывности функции Р(х); тогда ь ь 1нп )' У(х) г7Рп(х) = ) У(х)г7Р(х).
и а а Д о к а з а т е л ь с т в о. Из непрерывности функции 7 (х) вытекает, что как бы мало ни бьшо положительное постоянное е, найдется под. разделение интервала а < х < Ь точками ха = а„х,, ..., хн = Ь на частичные интервалы хь < х < хн м такое, что в каждом интервале (Ха, Хьа7) будЕт ВЫПОЛНятЬСя НЕраВЕНСтВО 1((Х) — 7"(ХН)! < Е. ПОЛЬ- зуясь зтнм обстоятельством, мы можем ввести вспомогательную функшпо у; (х), прннимаюшую только конечное число значений, определив ее посредством равенств Ях) — 7(хн) при хн <х<ху„.ю Очевидно, что для всех х в интервале а <х <Ь выполняется неравенство 1 ((х) — та(х)1< е. При этом мы можем заранее выбрать точки деления х,, х„..., х„ч так, чтобы они были точками непрерывности функции Р(х).
В силу сходимости функций Р, (х), Ь'т (х), Ь'з(х),... к функции Р(х), при достаточно больших л во всех точках деления будут выполняться неравенства 1Ь(хь) — Ьп(ха)! < МЛг где М вЂ” максимум модуля 7" (х) в интервале а < х ~. :Ь. Без объяснений ясно, что ! ь ь 1 ~ ь ь ) У(х)г77т(х) — 3,7 (х)г(Ьп(х) ~ < ! ) Г (х)АР(х) — ( 7;(х)ИЬ'(х) + а а а ь ь 1 ) ь + У Уе (х)47ь"(х) ХХс(х)оп(х)1 + ~ Ууа(х)г77'п(х) а а а ь — () (х)г(Е„(х) .
а Нетрудно подсчитать, что первое слагаемое правой части не превосходит е(г'(Ь) — Р(а)), а третье не превосходит еЯ,(Ь) — Ьп(о)], Что же ка. 223 й 3 К Теоремы Хеияи сается второго слагаемого„то оно равно ! ж — 1 Ж-1 Т У (х»)!Г(х»+1) — Р(х»)! — т У (х»)~Р (х»е1) — Г (х»)1 »=о »=о 1т — 1 ае — 1 Х У(х»)(Р(х» 1) — Еи(х» „)) — Х У(х»)(Г(х») — Е„(х»)) »=1 »=о и, следовательно, при достаточно больших п не превосходит 2е, как это вытекает из неравенства (6). В силу ограниченности функций Р„(х) в совокупности, сумьи е!Г(Ь) — Р(а)) + е[Р„(Ь) — Г„(а)! + 2е может быть сделана сколь угодно малой вместе с е. О б о б ш е н н а я в т о р а я т е о р е м а Х е л л и.
Если функция У'(х) непрерывна и ограничена на всей прямой — ' < х < ', последовательность ограниченных в совокупности неубывающих функций Р1 (х), Рт(х),..., Р'„(х),... сходится в основном к функции Г (х) и 1!гп Р„( — ) = Р( — ' ), 1лп Р'„(+') = Р(+'), то !цп О(х)аси(х) = $У(х)йр(х). и Дока зат ель с тв о. !1усть А < 0 и В> О; положим А А У, = ( У'(х)Ы'(х) — 3' у(х)е!Е„(х), в в У, = 3' У'(х)11Р(х) — ) ~'(х)Ы'и(х), А А Уз = )'У(х)УЕ(х) — )'У(х)ЙРн(х) в в Очевидно,что ! /У'(х)е!Р(х) — /У(х)е!Е„(х)! < У, +У +Уз. Величины У1 и Уз можно сделать сколь угодно малыми, если выбрать А и В достаточно большими по абсолютной величине и притом такими, чтобы точки А и В были точками непрерывности функции Р(х), а п выбрать достаточно большим.
В самом деле, пусть М вЂ” верхняя грань Гл. 7. Характеристические фувкиии 224 [У(х)1 при — < х < '; тогда У1 < М[Г(А)+Ри(А)1 У, < М[Р(+-) — Р(В)[+М[Г„(+-) — Г„(В)[, Но 1пп Р(А) = О, 1ип Р(В) = Р(+ ° ). А А так как, по предположению, 1ип Г„(А) = Р(А), Вш р„(В) = с(В), ч л то наше утверждение об У, и У, доказано. Величина Уз прн достаточно большом п может быть сделана сколь угодно малой в силу теоремы Хеппи для конечного интервала. Теорема доказана. $ 35.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
