Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Пределыше теоремы для характеристических функций Важнейшими с точки зрения приложений характеристических функций к выводу асимптотических формул теории вероятностей являются две предельные теоремы — прямая и обратная, Эти теоремы устанавливают, что соответствие, существующее между функциями распределения и характеристическими функциями, не только взаимно однозначно. но и непрерывно. Прямая предельная теорема. Еслипоследовательность функцйй распределения Е,(х),Гт(х),...,с„(х), сходится в основном к функции распределения Р(х), то последователь- ность характеристических функций Л(т), Л(т),, У' (т), сходится к характеристической функции У(т).
Эта сходимость равномерна в каждом конечном интервале т. Доказательств о. Так как (ь(т) = (еп'ас„(х), У(т) = )'епчдГ(х) и функция е'" непрерывна и ограничена на всей прямой — «< г < °, то согласно обобщенной второй теореме Хелли при п -ь ' У (т) Лт). й 35. Предельные теоремы 225 Утверждение. что эта сходимость равномерна в каждом конечном интервале г, проверяется буквально теми же рассуждениями, какие мы провели при доказательстве второй теоремы Хеппи. О б р а т н а я п р е д е л ь на я те о ре ма.
Если последовательность характеристических функций г'1(г) Л(г) ° /л(г) сходится к непрерывной функции г(г), то последовательность функций распределения Ег(х), Е,(х),..., Е„(х),... (2) сходится в основном к некоторой функции распределения Е(х) (в силу прямой предельной теоремы /(г) = /'еихЫЕ(х)). Д о к а з а т е л ь с т в о. На основании первой теоремы Хеппи заключаем, что последовательность (2) непременно содержит подпоследовательность Е„(х), Е„(х),..., Е„(х), сходящуюся в основном к некоторой неубывающей функции Е(х). При этом понятно, что функцию Е(х) мы можем считать непрерывной слева: йш Е(х ) = Е(х).
х х — О Вообще говоря, функция Е(х) может и не быть функцией распределения, так как для этого должны удовлетворяться еще условия Е( — ) = О и Е (+ ) = 1. Действительно, для последовательности функций 0 при х<-п, Е„(х) =11/2 при — и < х < п, (1 при х>п, предельная функция Е(х) — = 1/2 и, следовательно, Е( — ) и Е (+») также равны 1/2. Однако в условиях нашей теоремы, как будет сейчас показано, обязательно будетЕ( — ) = О и Е(+ ) = 1.
В самом деле, если бы это бьио не так, то, приняв во внимание, что лля предельной функции Е(х) должно быль Е( — ) > О и Е(ь ) ( 1, мы имели бы: Возьмем теперь какое-нибудь положительное число е, меньшее 1 — б. Так как по условию теоремы последовательность характеристических функций (1) сходится к функции т'(г), то т (0) = 1. А так как, сверх того, функция 2'(Г) негрерывна, то можно выбрать достаточно малое положи- 8. Б.В. Гледелко ГЛ.
7. Характеристические фуикиии 226 тельное число т такое, что будет иметь место неравенство т — ! г (с)ссс > 1 — е/2 > б + е)2. (4) гт Но в то же время можно выбрать Х > 4!те и настолько большое К, чтобы при 7с > К было б„= Р'к,(Х)-лк„(-Х) < б + е!а. Так как Т„(с) есть характеристическая функция, то т (С)ссг = ~'[ / естхс!с ] с)р'„(х). -т -т Интеграл, стояший в правой части этого равенства, можно оценить следую- щим способом. С одной стороны, так как ! е"" ! = 1, то ! т )' естхссс < 2т, С другой стороны, ! е""с!с = — з!и тх, — т х итаккак!з!лтх! < 1, то при !х~ >Х ! !' есткс7с < — т Х Отсюда, применив первую оценку при !х ! < Х и вторую при ! х ! > Х, получаем; ! т т Х 1 „(с)с2с < ~ / ( ( ест"с7г)с!Рая(х) + — т !.
!<х т 2 + ) ( ( е~т"с!с)сЖаь(х)~ < 2тйь + м! > х — т Х и,следовательно т Š— ) У „(с)с!с ~ < б +— 2т 2 Это неравенство сохраняется и в пределе т е — ~ (Т(с)!с < б +— 2т -т 2 что, очевидно, противоречит неравенству (4) . 227 8 35. Предельные теоремы Таким образом, функция Р(х), к которой сходится в основном последовательность Гл (х), есть функция распределения; согласно прямой предельной теореме ее характеристическая функция равна т (г). Чтобы закончить доказательство теоремы, нам остается доказать, что и вся последовательность (2) сходится в основном к функции Е(х), Предположим, что зто не так.
Тогда найдется подпоследовательность функций Рл' (х) 2'л' (х) ° Рль(х) (5) сходящаяся в основном к некоторой функции Р"(х), отличной от Р(х) по крайней мере в одной из точек непрерывности. По уже доказанному Г'(х) должна быль функцией распределения с характеристической функцией Г(г) . По теореме единственности должно быть Г'(х) = Г(х). Это противоречит сделанному предположению.
Заметим, что условия теоремы выполнены в каждом из двух следующих случаев: !) Последовательность характеристических функций Гл(Г) сходится к некоторой функции 1(г) равномерно в каждом конечном интервале г. 2) Последовательность характеристических функций 1л(г) сходится к характеристической функции т' (Г) . П р и м е р. В качестве примера использования предельных теорем рассмотрим доказательство интегральной теоремы Муавра — Лапласа. В примере 4 8 32 мы нашли характеристическую функцию случайной Д лР величины П = „'тир~~ п,ж Г'„(г) = ( це "ч + .Ре ) Воспользовавшись разложением в ряд Маклорена.
находим, что — !га†г' Че "ч +Ре "л = 1 — — (!+А ), 7 л и где н РЧ +и( Р) Ял =2 2' — ~ — ) а=-з й! ~, /„) /(РЧ)ь Так как прил -~ !т„- О, ае Ги. 7. Характеристические фуикиии 228 то Е2 )и / (е)= !1 — — (!+Н ) — е 2л В силу обратной предельной теоремы отсюда вытекает. что при любом х л-лр 1 Р' <х -~ ) е 'Ее!ЕЕ, х/при ! х/2и когда лИз непрерьвности предельной функции легко вынести. что зта сходимость будет равномерна по х. 8 36. Положительно определенные функции Цель настоящего параграфа — дать исчерпывающее описание класса характеристических функций.
Приводимая нами ниже основная теорема была одновременно найдена А.Я. Хинчиным и С. Бохнером н опубликована впервые С. Бохнером, Для формулировки и доказательства атой теоремы нам нужно ввести новое понятие, мы скажем, что непрерывная функция /(е) вещественного аргумента Е положительно определена в интервале — < е < ', если каковы бы ни были вещественные числа Е,, Е,,..., Е„, комплексные числа ч Е, ч т,..., е и и целое число и ~ /(ее - еа)с! Ь ~ О. ь=! Е.— ! Перечислим несколько простейших свойств положительно определенных функций. 1.
/(0) > О. В самом деле, положим и = 1, е, = О, $ ! = 1; тогда из условия положительной определенности функции У(Е) находим, что Х 2 /(еа — ее) $а йе = /(0) » ~О. а=-! Е- ! 2. При любых вещественных е /( — Е)= 1(Е). й 36, Положительно определенные функции Для доказательства положим в (1) п = 2, г, = О, г. = г, 3г, с т произвольны. Имеем по предположению 2 2 О«Х Х Т'(г„гГ) $„ЕГ = Т'(0-0)й,йг +)'(Π— г) е,Ь + а=г Г-1 + .г (г — 0) сто|+ г'(г — г) Е2$2 = У(О)(~ йг ~'+! Ь !') + У(- г) $Л, + У (г) ье г Е„ (2) поэтому величина у'(-г) ЗА + Г(г) 6,Ь должна быль вещественной.
Таким образом, если положить Г" ( — Г) =а, + Гбь Х(г) = аз + гРз, $~ ччг = 7 + г4, с, Ет = 7 — гб, то должно быть аге +Рг7 — ате + Рт7 = О. Так как с, и с г, а следовательно, у и Ь произвольны, то должно быть а, -а,=О, б, +Р, =О. Отаода следует наше утверждение. 3. Прн любых вещественных г ~ )'(г) ~ «Х(О). положим в неравенстве (2) сг = г'(г), е т = — 1 г (г) П тогда согласно предыдущему 2 )'(О) ~ У (г) ~ ' — ! Т'(г) ~ ' ~ У (г) ~ — ! 3 (г) ~ ' ~ Т' (г) ~ > О. Отсюда при ~ Г (г) ! Ф 0 получаем; Г'(0) > ~ у'(г) ~. Если же ~ 1' (Г) ~ = О, то опять-таки в силу свойства ! У(О) >1 Г'(г) Е Из доказанного следует, между прочим, что если положительно определенная функция такова, что Г (0) = О, то Г'(г) =- О. Те о рема Б о хне р а — Х ни чина.
Дчя того чтобы непрерывнач Функция г (г), удовлетворяюиагя условию г'(0) = 1, была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она была положительно определенной. Д о к а з а т е л ь с т в о. В одном направлении теорема тривиальна. Лействительно, если г (г) (емгН (х) Гл. 7. Характеристические фтнкиии 230 где Е(х) — некоторая функция распределения, то при любом целом л, произвольных вещественных !,, Г,, ..., /„и комплексных числах Е! ° Ст,..., Сгс ИМЕЕМ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
