Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Для характеристических функций эта сложная операция заменяется весьма простой — простым умножением характеристических функций. Т е о р е м а 4. Если случайная величина ч имеет абсолютный момент и-го порядка, то характеристическая функция величины е дифференцируема и раз и при й К п ~!" >(О) = !"м ~". (3) Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно,к-кратное (к <и) формальное дифференцирование характеристической функции приводит к равенству З'( 1(Г) = !е ) хее""с!Р(х) . (4) Но ! !" х" егтадИх) ! < ) ! х ! " Ы'(х) и, следовательно, в силу предположения теоремы ограничен.
Отсюда следуют существование интеграла (4) и законность дифференцирования. Положив в (4) г = О, находим, что т (~1(0) = !~ Гх" с!Р(х). Математическое ожидание и дисперсия весьма просто выражаются при помощи производных от логарифма характеристической функции. В самом деле, положим ф(г) =!пг (г). Тогда Х'(г) Ф'(г) =— Х(г) Гл. 7. Характеристические функция 212 Приняв во внимание, что 7 (0) = 1 и равенство (3), находим, что Ф (0) =Г (0) =1мс и Фа(О) =ха(О) — [У'(О)) ' = 1тМ~ — (1М Ц' = — О ~. Отсюда 1'Ф"'(О) =. — (М~' — ЗМ»' М~+ 2(М~ !э», 1 ф (о) = м~ — 4М~ м~ "з (м~ ) 4 12м~ (мц — б(мца Рассмотрим теперь несколько примеров характеристических функций. П р и м е р 1. Случайная величина е распределена по нормальному закону с математическим ожиданием а и дисперсией а . Характеристическая функция величины Е равна (х а)' 1 ох Ф(Г) = — )' е 24 гтх а,/ эя Подстановкой х — а т = — —.
1'го а ч(г) приводится к аиду — па х/2я — — «а ~(Г) Е1аà — а'р/2 Производная 74-го порядка логарифма характеристической функции в точке О, умноженная на 1а, называется ссмииквариантом 11-го порядка случайной величины. Как это непосредственно следует нз теоремы 3, при сложении независимых случайных величин их семиинварианты складываются, мы только что видели, что первыми двумя семиинвариантами являются математическое ожидание и дисперсия, т.е.
момент первого порядка и некоторая рациональная функция моментов первого и второго порядков. Путем вычислений легко убедиться, что семиинвариант любого порядка я есть (целая) рациональная функция первых й моментов. Для примера приведем явные выражения семиинвариантов третьего и четвертого порядков: й 32. Опрелеяенне я простейшие свойства 2!3 Известно, что при любом вещественном и )' е * г ~й=лПл, следовательно, (г) — !ас -а Н 12 Пользуясь теоремой 4, мы можем без труда вычислить центральные моменты для нормального распределения и тем самым другим путем по- лучить результат примера, рассмотренного в й 26, П р н м е р 2.
Найти характеристическую функцию случайной величи- ны е, распределенной по закону Пуассона. Согласно предположению величина е принимает только целочисленные значения, причем Л" е р(с=я)= (/с = О, 1, 2,... ), к1 где Х > Π— постояннан. Характеристическая функция величины $ равна ла у(г) м спт 2, епы р ($ тс) 2, енв е-л в=о в=о х! () 1с)ь =е л 2 а=о я! „,— Лала' Л1а' — 1) Согласно (5) отсюда находим, что 1 М ~ = — 4/'(0) = Л; 0 ~ = — фа(0) = Л. Эти равенспва были нами ранее (й 23, пример 3) получены непосредственно.
П ример 3. Случайная величина е равномерно распределена в интервале ( — а, а) . Характеристическая функция равна ох юп аг Дг) = ) е'" — а 2п от П р и м е р 4. Найти характеристическую функциювеличины д, равной числу появлений события А в и независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления собьпия А равна р. Величина д может быть представлена как сумма и=д +и.+ +дп 214 Гя. 7. Характеристические фуикиии и независимых величии, каждая из которых принимает лишь два значения О и 1, соответственно с вероятностями ц = 1 — р и р.
Величина дч принимает значение 1, если собьпие А происходит в й-м испьпаиии, и значение О,если собьпие А в 1с-м испьпании не происходит. Характеристическая функция величины де равна 1'„(т) = М е!™!с = еи ед ь еи' 'р =ц+ре". Согласно теореме 3 характеристическая функция величины д равна )(т) — П тн(г) — (ц+ре' ) . а=1 Р— нр Найдем еще характеристическую функцию величины и =- .
По тео- ,Г ирц реме 2 она равна 1 тир /ир — 11 М вЂ” à — 11 ~т— Гч(т)= е ч у( — 1 =е ч (ц+ре рч )" ,/нрц/ .Л ич + ре ир ) = (це П р и м е р 5. Характеристические функции удовлетворяют равенству У(-г) = йг). Действительно, У( — т) = )'е и"ь(Е(х) = )'е"хор(х) = т(г) й 33.
формула обращения и теорема единственности Мы видели, что по функции распределения величины ч всегда можно найти ее характеристическую функцию; для нас важно, что имеет место также обратное предложение: по характеристической функпии функция распределения определяется однозначно. Т е о р е м а 1, Пусть т"(т) и Р(х) — характеристическая функция и функция распределения случайной величины $. Если х, и х, — точки непрерывности функции Р (х), то с е-их, — их1 Р(хт) Р(х1 ) 1нн ! 1 (т) 111 (1) 2л с -с Р 215 й 33.
Формула обращения Д о к а з а т е л ь с т в о. Из определения характеристической функпии следует, что интеграл с -ггх -Пх, е — е Ус = — )' Ф) т(Г 26. Й равен 1 "' 1 у = — ) ) — (е"(а "') — е"(' "') ) ст)с(г)тгГ 2тг -с г'г В последнем интеграле можно изменить порядок интегрирования, так как по Б интеграл абсолютно сходится, а по г пределы интегрирования конечны. Таким образом, р с етт(*-х,) ' егт(~ — х,) ~, = — 3'~ )' стг с(Р(г) = 2тг ~- с й 1 с еи(а — х, ) е-(т(т-х, ) ' стт(т-х, ) + е-гт[т — «, ) 2гг о (г 1 ' 1 Бщ г(г — х,) ап г(т — ха) 1 У вЂ” ~ тгг г(г'(т). тг- о Из анализа известно, что при с -' 1/2, если а>О, 1 ' 61паг — 3' огтг о -1('2, если а < О, (2) и эта сходимость равномерна относительно а в каждой области и > б > 0 (соответственно а < — б), и прн! а 1 <б, при всех с 1 с арлаг — ) — с((~<1.
о х, -6 х,+6 хт-6 х +Б Ус = ) + ) + ) + 3 + (' т(т(с, т;хт, хг)т(Р(т), «,-'Б х,+Б хт-6 х,+Б Положим для определенности, что хт >х,, и представим интеграл сс в виде следующей суммы: Гл. 7. Характеристические фуикиии 2Ы где для краткости обозначено 1 6!л Г(г — хе) Япт(г — хт) ф(с, г; хо хт) = .à — с(е я 0 и 6 > О подобрано так, что х, + Б <хг — Б. В области — < г < х, — 6 имеют место неравенства г — х, < — 6 и г — х, < -Б. Поэтому мы на основании (2) заключаем, что при с х -6 ! 67(с, г; х,, хт) с(Р(г) — О.
Аналогичнопри х, +6<6<+ и при с-+ ). Ф(с, г; х,, хт ) Нр'(г) -е О х,+6 Далее, так как в области х, + 6 < г < хт — Б имеют место неранено~на г — х, > 6 и г — хт < 6, то согласно (2) при с х — 6 х, — 6 3' 4(с,г; х,,хг)с(Р(г) . ) е1Р(г) = Е(хт — 6) — Р(х, +Б). х, +6 х, +6 Наконец, в силу (3) мы можем воспользоваться оценками х +6 х, еа ( Ф(с,г; х,,хт)йР(г)!<2 3' е1Р(г) х2(Г(х, +6) — Е(х, — 6)) х,— 6 х, — 6 х,е6 3' 67(с, г; х,, хт) НР(г) ! < 2 )' с)с(г) = 2[с(хт + 6) — с(хт — 6)1.
х, -6 х — 6 Таким образом, находим, что при любом Б > О 1ип Ус = Г(хт — 6) — Р(х, +6)+А,(Б,х,,х,) с и 11тл ус =с(хт — 6) — с(х~ + 6)+ест(6. х~ хг) где !Яе(Б,х,,хт)~ <2 (йх, +6) — Е(х, — 6)+Р(хт +6) — с(хт — 6)) (1= 1,2). б 33. Формула обращения 2(т Пусть теперь Б — О. При этом из того, что х, и х, являются точками непрерывности функции с (х), следуют равенства 1пп с(х1 + б) = 1пп с(х, — 6) =Р(х,) б о а о и 1пп с(ха + Ц = 1пп с(х, — 6) = с(ха). 6 О а о Атак какУ, не зависит от 6,то 1(т У = Яхт) — Р(х1), Равенство (1) носит название ф о р м у л ы о б р а щ е н и я.
Мы ис- пользуем эту формулу для вывода следующего важного предложения (теорема единственности). Т е о р е м а 2. Функция распределения однозначно определяется своей характеристической функцией. Д о к а 3 а т е л ь с т в о. Действительно из теоремы 1 непосредственно следует, что в каждой точке непрерывности функции с (х) применима формула 1 +с — иу — их е — е Р(х) = — 1нп 1пп ( У(г) с(г, 2л у-а- . -с и где предел по у берется по множеству точек у, являющихся точками не- прерывности функции р(х) . В качестве приложения последней теоремы мы докажем следующие предложения.
П р и м е р 1. Если независимые случайные величины $, и $, распреде- лены нормально, то их сумма $ = Е, + $а также распределена нормально. Действительно, если МЬ =вы 0й~ =о|' Мйа =аа, ОЬ оа то характеристические функции величин й, и « а равны а юа,с- — а, с га с- — а,х У'1(г) = е ' Ут(г) = и По теореме 3 б 32 характеристическая функция)'(г) суммы равна и(а, +а, ) — — (а,' + а,* ) р У(г) = г",(г) Уа(г) = е Это - характеристическая функция нормального закона с математическим ожиданием в = а, + а, и дисперсией о' = оа + ~~.
На основании теоремы единственности заключаем, что функция распределения величины $ нормальна. 218 Гл. 7. Харгктеркспнескке фгккоки П р и м е р 2. Независимые случайные величины $г и $г распределены по закону Пуассона, причем иге Ль лг Р((~ =Й)=, Р((~ кЙ)= И И Докажем, что случайная величина $ = Ог + $г распределена по закону Пуассона с параметром 7( = лг + лг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
