Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 32
Текст из файла (страница 32)
— определяются не замысловатым поведением одной молекулы, а их совокупным действием. Так, давление газа равно суммарному воздействию молекул, ударившихся 1вт а 28. Закон больших чисел в форме Чебышева о пластинку плошади единица за единицу времени. Число ударов и скорости ударившихся молекул меняются в зависимости от случая, однако в силу закона больших чисел (в форме Чебышева) давление должно быль почти постоянным. Зто "уравннваюшее" влияние закона больших чисел в физических явлениях обнаруживается с исключительной точностью. Достаточно вспомнить, что, скажем, в обычных условиях даже очень точные измерения с трудом позволяют отметить уклонения от закона Паскаля о давлении жидкости.
Противникам молекулярного строения материи это чрезмерно хорошее совпадение результатов теории с опьпом даже слу~кило своеоб. разным аргументом; если бы материя имела молекулярное строение, то наблюдались бы и уклонения от закона Паскаля. Эти уклонения, так называемые флюктуации давления, действительно удалось наблюдать, когда научились изолировать сравнительно небольшие количества молекул, в результате чего влияние отдельных молекул еще не полностью ннвелнровалось и оставалось еШе достаточно сильным.
з 28. Закон больших чисел в форме Чебышева Мы перейдем теперь к формулировке и доказательству теорем Чебышева, Маркова и др.; употребляемый прн атом метод принадлежит Чебышеву. Не р а в е н от в о Ч е б ышев а. Даялюбойслучайной величины й, имеющей конечную дисперсию, при каждом е > 0 имеет место неравенство Р(~ Р— Мй!~е) <— (1) Д о к а з а т е л ь ст в о. Если Е(х) обозначает функцию распределения случайной величины $, то ясно, что Р()й — Мй)~е) = з ЙЕ(х).
!» — М1)~с Так как в области интегрирования ! х — М$ ! /е Р- 1, то 1 с1с (х) < —; / (х — Мй)з с(с (х). 1х — МГ1и с е (» -Мг~ис Мы только усилим это неравенство, распространяя интегрирование на все значения х 2 ./ дГ(х) ~ — з'(х — М$) йс(х) =— 1х — М( ~ Ь с е Неравенство Чебышева доказано. Т е о р е м а Ч е б ы ш е в а. Если $ „$з,..., 3л,... — последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих конечные диспер- Гл.
б. Закон больших чисел сии, ограниченные одной и той же постоянной О«, <С, О«, <С,...,0«»<С,..., то, каково бы ни было постоянное е > О, » » й Р~~ — Х «„— — Х М«„< » 11п»=з п»=1 (2) Д о к а з а т е л ь с т в о. Мы знаем, что в условиях теоремы о — ~ «„= —, и,следовательно, — «» Согласно неравенству Чебышева — «» «»-- Х М4 <е ~1- п»=з ! е' 2 пе Переходя к пределу при и -~ е, получаем, что » » йга Р Х «» Х М«» <е ~~ 1. » 11п»=» п»=1 1пп Р— — р <е =1.
До к а за тел ь от в о. Действительно, введя случайные величины И», равные числу наступлений события А при й-м испьггании, имеем: и=и!+из+ +и» А так как Ми» =р, Од»»рай<1(4, А так как вероятность не может быть больше единицы, то отсюда и следует утверждение теоремы. Мы отметим некоторые важные частные случаи теоремы Чебышева. 1. Те о ре ма Б е р н ул ли.
Пусть и — число наступлений события А в п независимых испытаниях и р есть вероятность наступления события А в каждом из испытаний. Тогда, каково бы ни было е) О, й 28, Закон больших чисел в форме Чебышева то теорема Бернулли является простейшим частным случаем теоремы Чебышева. Так как на практике часто неизвестные вероятности приходится приближенно определять из опыта, то для проверки согласия теоремы Бернулли с опьпом было проведено большое число опытов. При этом рассматривались события, вероятности которых можно считать по тем ичи иным соображениям известными, относительно которых легко проводить испьпания и обеспечить независимость испытаний, а также постоянство вероятностей в каждом из испытаний.
Все подробные опыты дали прекрасное совпадение с теорией. Мы приведем результаты нескольких таких легко воспроизводимых экспериментов. В примере 5 б 3 мъь рассмотрели результаты 100 разделений колоды карт на две равные части. Интересующее нас событие состояло в том, что в каждую полуколоду попадет одинаковое число красных и черных карт. В рассмотренном случае получилось довольно значительное окончательное (при и = 100) уклонение частоты от вероятности (приблизительно равное 0,02) . По теореме Лапласа вероятность получить такое уклонение или еще большее равна Р() Р ~002)=Р) ~002 — ) 1.-2ь(002 / — )- ч7прд рц 1 рв 7 100 = 1 — 2ф 0,02 = 1 — 2Ф(0,455) = 0,65. 0,26 0,74 / Таким образом, если повторить указанный эксперимент большое число раз, то приблизительно в двух третях случаев получится уклонение, не меньшее, чем полученное в нашем опыте.
Французский естествоиспытатель ХЪ'П! века Бюффон бросил монету 4040 раз, герб выпал при этом 2048 раз. Частота появления герба в опыте Бюффона приближенно равна 0,507. Английский статистик К. Пирсон бросил монету 12000 раз и при этом наблюдал 6019 выпадений герба.
Частота выпадения герба в этом опыте Пирсона равна 0,5016. В другой раз он бросил монету 24000 раз, и герб при этом выпал 12012 раз; частота выпадения герба при этом оказалась равной 0,5005. Во всех приведенных опытах частоты лишь немного уклонялись от вероятности — 0,5. 2. Т е о р е м а П у а с с о н а. Если в последоватеаьности независимых испытаний вероятность появления события А во-м испытании равна рь, то Гл. Ь. Закон больших чисел где, как обычно, через д обозначено число появлений события А в первых и испытаниях Введя в рассмотрение случайные величины дю равные числу появле.
ний события А в к-м испытании, и заметив, что Мрн =рь, Рдь = рьч < 1/4, мы убеждаемся, что теорема Пуассона является частным случаем теоремы Чебышева. 3. Если последовательность попарно независимых случайных величин с1 йз, $„,... такова, что МЬ =Мьз =... =М1„= „=а 0$1 <С, Рйз <С,..., Ось <С,..., то, каково бы ни было постоянное е ) О, ь 1!т Р— Х $а — а <е =1. и 1 и н=! Этот частный случай теоремы Чебышева дает основание правилу среднего арифметического, постоянно употребляющемуся в теории измерений.
Предположим, что производится измерение некоторой физической величины а Повторив измерения п раз в одинаковых условиях, наблюдатель получит не вполне совпадающие результаты хы хз, ..., х„. В качестве приближенного значения а принято брать среднее арифметическое из результатов наблюдений х, +ха+... ьх„ а- Еели измерения лишены систематической ошибки, т.е. если Мхь = Мхз =... = Мх„= а, и если сами наблюденные значения не обладают неопределенностью, то согласно закону больших чисел при достаточно больших значениях п с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, мы указанным путем можем получить значение, сколь угодно близкое к искомой величине а. Сказанное мы должны пояснить следующим. если измерительный прибор устроен так, что он не может давать точности отсчета большей, чем некоторая величина 6, например, из-за того, что ширина деления шкалы, по которой производится отсчет, равна б, то, понятно, нельзя н рассчнтьвать получить точность измерения, большую, чем + 6.
Кажпое измерение в этом случае а 29. Необходимое и достаточное условие 191 дает результат с неопределенностью 8; но ясно, что при этом н среднее арифметическое будет обладать той же неопределенностью, как и кажцое измерение. Зто замечание учит нас, что если приборы дают нам результаты измерений с некоторой неопределенностью 8, то стремиться посредством закона больших чисел получить значение а с большей степенью точности является заблуждением, а сами произведенные прн этом вычисления превращаются в арифметическую забаву. Мы ограничимся формулировкой теоремы Маркова; ее доказательство является очевидным следствием неравенства Чебышева. Т е о р е м а М а р к о в а. Если последовательность случайных величин с ы еа,..., $,о...
такова, чю лри и -~ » и — тО(Х Ы О, 14) л а=а го, каково бы ни было положительное лосюлнное е, л и а ~1 — т ь — — т еь <.)=~. и 1!Л Е=1 * па=1 Если случайные величины ~ы Еа, ..., $„,... попарно независимы, то условие Маркова принимает вид: при л— и —,-Б ОЬ О. Л' а=1 Отсюда видно, что теорема Чебышева является частным случаем теоремы Маркова. з 29. Необходимое н достаточное условие для закона больших чисел Мы уже указывали, что закон больших чисел является одним из основ.
ных предложений теории вероятностей, Отсюда становится понятным, почему так много усилий было полоисено на то, чтобы установить наиболее широкие условия„которым должны удовлетворять величины Е,, $а,..., Е„,..., побы для них имел место закон больших чисел. История вопроса такова. В конце ХЧП вЂ” начале ХЧП! века Яков Бернулли нашел предложение, получившее его имя. Теорема Бернулли была впервые опубликована в 1713 г., после смерти автора, в трактате "Ага Соп1ес1апо1*' (Искусство предположений).
Затем в начале Х1Х века Пуассон доказал аналогичную теорему в более широких условиях. До середины Х1Х века не было достигнуто каких-либо новых успехов. В 1866 г. великий Гл. Ь, Закон больших чисел 192 и 1 н 11 Р ~ — 2' ܄— — Х Мть (е =1, л- ~ и а=~ па=~ необходимо и достаточно, чтобы при пп ( 2' (г Мй ))~ а =~ М вЂ” — О. п +( Е (чан — МЬс))' е=~ (2) До к а з а т е л ь с т в о. Предположим сначала, что (2) выполнено, и покажем, что в этом случае выполнено также (!). Обозначим через Ф„(х) функцию распределения величины и и„= — ~ (6 — МЬ ) и русский математик П.Л. Чебышев нашел метод, изложенный мами в предыдушем параграфе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
