Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 34
Текст из файла (страница 34)
М«„< е п„<пап ~ а Л»=! п»=1 больше, чем 1 — т1. Т е о р е м а К о л м о г о р о в а. Если последовательность взаимно независимых случайных величин «,, «г,, удовлетворяет условию (у«п 2, — <+ Р!=1 и г то она подчиняется усиленному закону больших чисел. До к а за т ель от в о.
Положим и 1 «п = «п — М«п, Яп и Х «», оп = — -Еп. /.=! и Рассмотрим вероятность Р,„= Р(шах ! оп ! > е, 2~ < и < 2 псе ). Так как Р„,<Р(шах!оп!>е, 1<п<2м ) то согласно неравенству Колмогорова 1 Р, < Х О«. (2 ') < е! Так как, далее, Р(пюх!оп!>е для п>и)< Х Р ю=п где р определяется из неравенств 2 и <и < 2 а ", то ясно, что 1 1 г гп «! е и!=а 2 '. !пч! г<г После перемены порядка суммирования в правой части последнего неравенства получим: / 2гп! „, ! ',, г1 ! 2гп г<г где сумма Х; распространена на те значения и! > р, для которых > г( !п! !-! 198 Гл. б.
Закон полынях чисел При /<2»" коэффициентпрн 0$1 равен ! 3 Х трр 4 4» 3 а при 2~~'' >у~ 2~' > 2»+' этот коэффициент равен 4м, — 1 3.16 3 16 ( 22(ма+1) /2 Таким образом; 1 3 2 0ч. Р+ 1 Х вЂ” Х опт< —, Х 0$ ьз. 16 Х бакр 2 . тьг 4» ' 1=1 '=гр"+~ г<г у=г р 2 0Ь. 0$.
Х 01!ь3 4 Х, +3 16 Х вЂ” '< 4» 1 1=2 1= ~1 2~!р+ ! . р+1 1~ =р 1=г +! 3 Р г 0йг 0$ Х 0$+3 4 Х вЂ”,'+3 16 Х 4Р-1 1 2 1 Р+г /2 != 2»'1~! ! оЬ. В силу сходимости ряда Х вЂ”: пг 1 . Две последние суммы в написанном выше неравенстве могут быть сделаны сколь угодно малыми при р достаточно большом. 2'. Существует такая постоянная С, что 0йл < Сп', откуда следует, что 3 " 3 Срэ Х 0йтк 4» 1=1 4» т.е. и первая сумма может быть сделана сколь угодно малой прн достаточно большом р. Из всего сказанного следует, что при п, достаточно большом Р(шах!ол !>е для п>р! может быть сделана сколь угодно малой, что и требовалось доказать. С л е д с т в и е.
Если дисперсии случайных величин йь ограничены одной и той ме постоянной С, то последовательность взаимно независимых случайных величин $„12, йз,... подчиняется усиленно чу закону больигих чисел. Один окончательный результат, относящийся к усиленному закону больших чисел, был получен также А.Н. Колмогоровым для случая одинаково распределенных независимыхслагаемых.
а 30. Усиленный зенон больших чисел Т е о р е м а. Существование математического ожидания является необходимым и достаточным условием для применимости усиленного закона больших чисел к последовательности одинаково распределенных и взаимно независимых случайных величин, Эту теорему мы можем вывести из уже доказанной нами теоремы Колмогорова. Действительно, из существования математического ожидания следует конечность интеграла ) 1х1с!Г(х), где Р(х) — функпия распределения случайных величин й„.
Поэтому Х Р(! )1>п) л Е Х Р(«<~ й1<й+1) = п=! л=! «Ьл Х «Р(«<1)! <й+ !) < Ь )' !х !дР(х)< лп! « =о «< !х! к «+! < 3'1х ! с!Р(х) < -. Введем в рассмотрение случайные величины при ! йл ! < и, ) О при 1 й„1>п. Тогда получим: 1тй* < !ч1«' з = ( х э!!р(х) < т. (ь + 1)э р(й < ~ е ! < ь + 1) — л «о )те~и л («+ 1)э 2 2 п=! и ил! «=О и' 1 Х Р(й < ~ $1< «+ 1) (й + !)' Е «=о ль« п Так как 1 1 1 2 Х вЂ”,< — + — < —, иь«п' й /с то в силу (1) находим, что О)„ Š— и<-, и=! и 2 Гн.
6. Закон больших чисел т.е. К*„удовлетворяют усиленному закону больших чисел. Далее Р((„чк(л при каком-либо л> У)( з. Р(ьш чь(„') = л >л Р П („~ > л ) <— л л 4- (2) прн Л'> Л'о(е). Выберем ло столь большим, чтобы при и> ио(е, и) Х Ь-М8к) «=1 и 1 е ~Э 3 ! 4 (3) ло йк* — М$к') к=1 ц е 3~ 4 (4) Наконец, так как «'„удовлетворяет усиленному закону больших чисел, то ц ) е Р шах~ о„* ~> —; л>нг< — при ~ >л,(е,л), (5) 3 ) 4 л где ил* = — 2 Д„- М(„). л к=а Из (2), (3), (4) и (5) выводим Р(шах ~ он )>П; л>и)(е при л > гпах(и„л,, Л'о), т.е, и кл удовлетворяют усиленному закону больших чисел. Принципиальная роль усиленного закона больших чисел в теории вероятностей и в ее приложениях весьма велика. Действительно, предположим на минуту, что, скажем, в случае одинаково распределенных слагаемых, имеющих конечное математическое ожидание, усиленный закон не имеет места.
Тогда с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что будут повторяться моменты, когда средняя арифметическая результатов наблюдений будет далека от математического ожидания. И это бы случилось даже в тех случаях, когда наблюдения производятся без систематической ошибки и с полной определенностью (величина Ь, о которой была речь в 4 28, равна 0) . Можно лн было бы в таких условиях считать, что среднее арифметическое из результатов наблюдений сближается с измеряемой величиной, могли ли бы мы в этих условиях считать, что среднее арифметическое можно считать за.приближенное значение измеряемой величины? Сомнительно. тб1 5 31. Теоремь В.И.
Гливенко з 31. Теорема В.И. Гливенко Мы перейдем теперь к доказательству теоремы Гливенко, которая вскоре после ее обнаружения получила в математической литературе название основной теоремы математической статистики. Речь идет об оценке неизвестной функции распределения случайной величины С на основе результатов независимых испытаний. Пусть функция распределения случайной величины равна р(х) а результаты последовательных независимых испьпаний в неизменных условиях будут хг, х,,...,х„ (1) Последовательность результатов испытаний мы расположим в возрастающем порццке. Обозначив йю по величине наблюденное значение через х* мы можем последовательность (1) записать в следующем виде: х~ <хз ~...
~~х„*. Эта последовательность, т.е. последовательность наблюденных значений исследуемой случайной величины, расположенных в возрастающем порядке, носит название вариационного ряда. Эмпирической функцией распределения га(х) мы назовем функцию, определенную следующими равенствами: О при х<х;, Ге(х) =11~я при х*, (х<х,', 11 при х ) х„'. Ясно, что эмпирическая функция распределения монотонна, непрерывна слева и имеет точки разрыва только при значениях аргумента, равных членам вариационного ряда.
Величины скачков в точках разрьюа являются целыми кратными от 1/л. Для дальнейшего подчеркнем то обстоятельство, что при каждом значении х ордината г „(х) является случайной величиной, возможные значения которой будут О, 1/л,..., (я — 1) /л, л/л = 1. Вероятность равенства Ге (х) = х/л, как легко видеть, равна й) Р Ре(г) = — = С„(Е(л))" (1 — Р(х))" В простейшем частном случае, когда случайная величина $ может принимать лишь конечное число значений а,, а,,..., аь членами вариапионного ряда обязательно будут только числа этой последовательности.
Согласно закону больших чисел, если т,, т,, ..., тг (т, + т, + .. + т, = л) будут обозначать соответственно числа испытаний, при которых $ = аы 3 = аз, ..., с = и„то при достаточно большом значении л частоты будут представлять приближенные значения неизвестных нам вероятностей Гл. 6. Закон больших чисел 202 р, = Р(» = ат), рт = Р($ =ах),..., р, = Р(» =а,). Более того, в нашем случае имеет место и усиленный закон больших чисел. Прежде чем переходить к формулировке и доказательству теоремы, составляющей содержание настоящего параграфа, мы установим несколько вспомогательных предложений. Рассмотрим некоторую последовательность случайных величин ст оп Событие, заключающееся в том, что эта последовательность сходится к некоторой случайной величине $, имеет в силу принятых нами аксиом, как мы увидим при доказательстве леммы 1, определенную вероятность.
Если зта вероятность равна единице, то мы скажем, что последовательность ( С п) сходится к» почти наверное*). В другой форме утверждение о сходимости почти наверное можно выразить так: последовательность случайных величин е1 чз чп сходится почти наверное к случа..ной величине $, если с вероятностью единица для каждого целого положительного числа г найдется такое число и, что при всех й > 0 будут иметь место неравенства ! спч» — 1 1< 1/г. Очевидно, что равенство РЦ„О=1 мы можем записать и в иной форме: Ри„т Цлб.
(2) Это выражение означает, что вероятность того, что найдется такое число г, что при всех л и хотя бы при одном значении й имеет место неравенство ! $п+» — $1>1/г равна нулю. Л е м м а 1. Если лри любом целом лолохигельном г 2' Р(~ $„— $ ~ > 1/г) <+ (3) го имеегмесго (1) или, что го же самое, (2). е) Зто понятие в точности соответствует понятию схоцимоети почти всюду в теории функлиа.
гоз 1 31. Теорема В.И. Глнненко До к а з а т ель ство. ОбозначимчерезЕ„"событие,состоял!сев том, что выполняется неравенство !$и-$~ ~1/г. Положим, далее, к=! Из того, что Р(5"„)К 2: Р(Е,",„к)= Х РЦ~,— 6»1) ), к=! мы в силу (3) выводим равенство 11!и Р [Яи )= О. л (4) Пусть теперь ! 3 3 Из того, что событие Я" влечет за собой любое из собьпий Я"л, в силу (4) получаем: Р(Я"] =О. (5) Положим, наконец, 5! + Ез + о!+ Так как то в силу (5) Р(Лм О, по и требовалось доказать.
Л е м м а 2 (теорема Бореля). Пусть д — числонасгупленийсобытия А при и независимых испытаниях, в каждом из которых событие А Как нетрудно установить, это событие означает, что найдется такое г, что для каждого и (и = 1, 2, 3,... ) хотя бы при одном х Рс = х(п)) будут выполняться неравенства ! алек — $1) 1/г. Гл. б, Закон больших чисел может полвигьсн с вероятностью р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
