Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 28
Текст из файла (страница 28)
П ри м ер 3. Найти математическое ожидание случайной величины $, распределенной по закону Пуассона аее а Р е=)с 1«1 (1с = 0 1. 2 ., ), Имеем: а не « М~= Йй «=О А! а-1 ае' Х е=.с (й — 1)! а е =не ' 2,' е«о А! б.. В.В. Гнеленко Мы получили важный результат, вскрывающий вероятностныи смысл одною из параметров, определяющих нормальный закон: параметр а в нормальном законе распределения равен математическому озсиданию. При м е р 2. Найти математическое ожидание случайной величины $, равномерно распределенной в интервале (а, Ь) .
Имеем: Ых Ьг аз аьЬ Ме= (х е Ь вЂ” а 2(Ь вЂ” а) 2 Гл. 5. Числовые характеристики !Ь2 Если Р (х 1 В) есть условная функция распределения для случайной величины Е, то интеграл й!(с ~В) = 3х т(т"(х ~В) (4) мы назовем условным математическим ожиданием случайной величины С относительно события В Пусть В,, Вт,..., „— полная группа несовместимых событий и (х! В! ) Е (х! Вт ),..., Р (х ! В„) — соответствующие этим событиям условные функции распределения величины $. Обозначим через В(х) безусловную функцию распределения величины $; по формуле полной вероятности находим, что В(х) = Х Р(Ве)т(х!Вь).
Это равенство совместно с (4) позволяет нам получить следующую формулу: МР= Х Р(Вн)йЬИ~В,), которая, очевидно, может быть записана и иначе: мй=ал мц~в,) . (5) Только что найденная формула во многих случаях значительно упрощает вычисление математических ожиданий. П р и м е р 4. Рабочий обслуживает л однотипных станков, расположенных прямолинейно на расстоянии а друг от друга (рис. 19).
Считая, что г Рис. 19 рабочий обслуживает станки, подходя к ним в порядке очередности, найти средний переход (математическое ожидание величины перехода) мехгцу станками. Пронумеруем станки слева направо от 1-го до л-го и обозначим через Вь событие, состоящее в том, что рабочий находится у станка с номером й. Так как все станки по условию задачи однотипны, то вероятность рт1~! того, что следующим станком, потребуюшим внимания рабочего, буде~ станок с номером 1, равна 1!л (1 < 1 < л).
Величина перехода Х в этом 1бз а 23. Математическое ожидание случае равна Лбь) = ~ [/с — с)а при 7с > с, ~ [с — сс)а при сс( с'. По определению 1 сс и МссЛ]В«) = — [ 2~ [сс — с)а -1- х, [с' — )с)а) п С=«+1 а ( )с[)с — 1) [и — й)[п — /с + 1) и'ч 2 [2)сг 2[п + 1)«+и[и + 1)] 2п Вероятность рабочему находиться у 1с-го станка равна 1/и, поэтому по формуле [5) находим, что и а МЛ - Х [2)с — 2[и + 1)й + и [и + 1)] . «=1 2п' Известно, что п [и + 1) [2 и + 1) ис.г сс=! 6 поэтому а[п — 1) 1 )с 11 МЛ= -'1+- ~, Зп 3 и где 1 = [п — 1)а означает расстояние между крайними станками. Математическим ожиданием и мерной случайной величины Йг ег .,е„) называется совокупность п интегралов а« = Д'... ]х«сгг[х с,..., х«,..., хи) = /хс)г «[х) = МЦ«, где г«[х) — функция распределения величины ««е) .
") Мы не даем формального определении и-мерного интеграла Стилтьеса, во-первых, потому что фактически будем рассматривать тоссько дискретные и непрерывные случайные величины и, во.вторых, потому что, по существу, для теории вероятностей нужна не общая теория интегралов Стилтьеса, а теория абстрактного интеграла дебета (см. об этом подробнее в гл. 1 монографии Гнедеико и Колмогорова "Предельные распределении для сумм независимых случайных величин", 1949 г.) .
Гл. 5. Числовые характеристики П р и м е р 5. Плотность распределения двумерной случайной величины (Е,, $т) задана формулой (двумерное нормальное распределение) 1 ( 1 ! (х, — а) 2яо,от у! — гт 2(1 — г ) о, 2г(хт — а) (хз — Ь) (хт — Ь) о,оз о, т найти ее математическое ожидание. По определению л, =)зхер(»,,хт)И~,охз = )х,р,(х,)ох, и лз Охтр(хм хе)ох1с(хт !херт(хз)яхт. В примере 2 й 22 мы видели, что (л, — а)' 2оз 1 р,(х,) = ехр о,х/2л 1 рт(. т) = ехр (х, — Ь)' ~ 2оз поэтому согласно результагам примера 1 настоящего параграфа находим, что а,=а, а,=Ь.
Нам удалось выяснить вероятностный смысл параметров а и Ь также и для двумерного нормального распределения. з 24. Дисперсия Дисперсией случайной величины Е называется математическое ожидание квадрата уклонения е от Ме. Мы условимся дисперсию обозначать символом 0е. Таким образом, по определению Ое = М(е — Ме) = ) хс(Ь'л (х), (1) о где через Ьч(х) обозначена функция распределении случайной величины и = (~ — Ме)'.
Найдем связь между функцией г ч(х) и функцией распределения Ь'! (х) величины е. Имеем: Ел (х) = О при х ~ О. 165 5 24. Дисперсии апри х)0 Го(х) = Р(П < х) = Р(($ — М$) < х) = = Р( — ч/х < е — Ме < ч/х ) = Р(М$ — х/х < $ < Ме + г/х ) = = Ь'1(М$+,/х ) — Р'1(М$ — г/х + О). Формула (1) переписывается так: 0$ =)'с(х(Е1(М$+ч/х ) — Ь1(Мф — ч/х + О)) = о = (хе(Ь1(М~ + г/х ) — )тхЮ1(М$ — г/х е О) . о о В первом интеграле произведем замену г = М$ + ч/х, а во втором — за- мену г = М$ — ч/х, в результате ) хсгсг(М$+г/х ) = ) (г — Мс) е2Ь((г), о мт м1 /хг2Ь1(М$ —;/х + О) = / (г — М$)~сггес(г).
о Таким образом, 0$ =/(г — Ме) огЬ'1(г). (2) Так как (г — МС)г = г' — 2гМ~ + (М$)' и йчс = /геваре(г), то формула (2) может быль записана иначе ОЕ /ггпу. (г) (/гДЬ' (г))г Щг (Щ)г Так как дисперсия является неотрицательной величиной, то из последнего соотношения мы выводим, что )г с2Гт(г) Р (/гЫ1(г)) . Это неравенство представляет собой частный случай известного неравенства Буняковского — Коши. Подобно математическому ожиданию дисперсия существует не для всех случайных величин. Так, рассмотренный нами ранее (пример 5 3 2!) закон Коши не имеет конечной дисперсии. Рассмотрим примеры вычисления дисперсии.
При мер 1. Найти дисперсию случайной величины $, равномерно распределенной в интервале (а, Ь) . Гл. 5. Числовые характеристики 1бб В нашем примере х' Ьз — а' Ь'+аЬ+аз (хзс//г (х) =( — с/х = о Ь вЂ” а 3(Ь вЂ” а) 3 В предыдущем параграфе было найдено а+Ь М» = 2 Таким образом, а +аЬ+Ь' /' а+Ь 1' (Ь вЂ” а)' О»=— 3 1 2 !2 Мы видим, что дисперсия зависит только от длины интервала (а, Ь) и является возрастающей функцией длины. Чем больше интервал значений, принимаемых случайной величиной, т.е. чем больше рассеяны ее значения, тем больше дисперсия.
Дисперсия, таким образом, играет роль м е р ы р а с с е я н и я (разбросанности) значений случайной величины около математического ожидания, П р им е р 2. Найти дисперсию случайной величины», распределенной по нормальному закону 1 ~ (х — а)'~ р(х) = ехр ач/2я ( 2а' Мы знаем, что М» = а, поэтому (х -«) О» = Х(х — а)'р(х)ах = — ((х — а)'е з" слх, о, /зя Произведем лод интегралом замену переменных, положив х — а г= а при этом 2 О» = — (т'е-"/,/, х/2и Интегрированием по частям находим, что /"т е-г /тс/т / те — с'/2 в (е-«'/2~/т ч/2и !67 а 24.
Дисперсия Таким образом, окончательно 01=о . Мы выяснили, таким образом, вероятностный смысл второго параметра, определяющего нормальный закон. Мы видим, что нормальный закон распределения иолностыа определен математическим ожиданием и дисперсией. Это обстоятельство широко используется в теоретических изысканиях. Заметим, что и в случае нормзльно распределенной случайной величины дисперсия позволяет судить о рассеянии ее значений. Хотя при любых положительных значениях дисперсии нормально распределенные случайные величины могут принимать в с е вещественные значения, все же рассеяние значений случайной величины будет тем меньше, чем меньше дисперсия; при этом вероятности значений, близких к математическому ожиданию, будут болыпе.
Это обстоятельстно было отмечено нами в предыдущей главе при первоначальном знакомстве с нормальным законом. Прим ер 3. Найти дисперсию случайной величины К, рассмотренной в примере 4 5 23. Сохранив обозначения примера 4, находим, что к л М(Хз]Ве)= — ( Х (К-!)тат+ Х (!-К)зат)= и !=1 1=ьь! а2 — НК вЂ” 1) . К(2 К вЂ” 1) + (и — К) (и — К + 1) (2 и — 2 К 4 1)] = бл а' — (6К вЂ” б(п+ 1)К+(2и+ 1) (и+ 1)] 6 и, следовательно, л чр')=- Х аа(К'])9,)= п а=! а' а' = — ~п(п + 1) (2п + 1) — 3(п + 1)!и + и(п + 1) (2п+ 1)] = — (пт — 1) бл 6 Отсюда следует, что а, а'(и' — 1)' !У(К) = ае(Кз) .(Яет)з — (лз !) 6 9пт ат(и' — 1)(л'+ 2) 1' / 2 1 2 18пт 18 ~ п — ! л(п — 1) лз(и — 1) / 168 Гл.
5. Числовые характеристики Дисперсией пмерной случайной величины ($2, $2,..., ел) называетсЯ совокУпность п' постоанных, опРедепЯемых формулой Ь у, = И... У (ху — М3 ) (х „Мй„) аТ(х,, хе,..., хл ) (1< Ус< и, !<у'< и), (4) Так как при любых вещественных т (1 < у < п) л л л У...У'( а, Уу(ху — Мху))тс(г(х2,хэ,,х„)= Х а, ЬуаУуте >О, У=у У=т К=2 то, как известно из теории квадратичных форм, величины Ьук удовлетворяют неравенствам Ь„Ь„... Ьта Ь Ь ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
