Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 39
Текст из файла (страница 39)
и к г! О /(Г" Г/) Еа С/ = т ~ ((Е !" Г~егЕ(Х))~,Д,= !с =1 /=1 1=1 1=1 и -'.! ~ х е ' $1$с/Е'(х)= Гс=! /=1 к к =)( Хе" Ь,)( Х е"""ц;)агЕ(х)= а =.1 !.— ! к = ) ! Х е""" йь!1тс/Е'(х)»О Локазательство достаточности условий теоремы требует более сложных рассуждений. //с'1 последовательность чисел / ~ — /1, зависящую от цело- Рассмотрим су-! ст — 1 //; / У'"'(х)= — Х Х /(- — 1,-'(»»" » б су ь=-о /=е л Легко подсчитать, что в атой сумме имеется су — 1г1 слагаемых, для которых разность /с — / равна Г.
Лалее очевидно, что число г может изменяться от — су + 1 до су — 1. Таким образом, имеет место равенство Во(~) (х) х, 1 ' /. е — сгх Умножим обе части полученного равенства на е!зх и проинтегрируем по х в пределах от - я до а: — сг г -М /х' л Известно, что ,.(г )х ~ О ДЛЯ Гает, — ~ йа лля г=а. численного параметра л.
В силу положительной определенности функции /(х) мы имеем при любом /11. й Зб. Положительно определенные функции Поэтому где 'и. (х)= ' Х "а. (,).. 2н есть неубывающая функция с полным изменением, равным Р(.) ( ) = — ( й" (.) (х) бх = Г(О) = 1, 2л т.е. является функцией распределения.
На основании первой теоремы Хеппи мы можем найти последовательность Ли - при )с —, для которой функции Р, (х) (и фиксировано!) сходятся к предельной; обозначим ее через г (и) (х). Функция тт(") (х) снова является функцией распределения, так как при любых тт' и произ. вольном е> О Тт~", ( — и — е) = О. й (и + е) = 1 и, значит, при произ- -(и) (н) вольном е ) О также й(п)( — н — е) = О, с (")(и+в) = 1. Согласно второй теореме Хелли е 1т йтп ( е'вх су-( ) (х) ) еых сгг (и) (х) тс — л антс — л Таким образом *), у'1 — )х У ем' с(й'(")(х) ьл / — л при всех целочисленных з (т = О, а1, а2,...). ь)Заметим, что попутно нами доказана спедуюпыа те о ре м а Ге р т н о т п а Если последовательность чисел с„(п = О, ь),...) обладает тем свойством, что прилюбом выборе комплексных чисел ч,, (,,..., (ми произвольном тч М Я ~ ~ с„,тийт пс.
и=а т.=т то последовательность с„мометбыть записана в форме е сыхб» (х) где а(х) — неубывающая функция с ограниченной вар ацией Гл. 7. Характеристические функлии рассмотрим теперь последовательнощь характеристических функций ,у„(г ), определенных посредством равенства )„(г) = ) е'" ИГ„(х), где л (х~ р (~)=ь( )~ ), Легко проверить, что при всех целочисленных )с )» — — = ) Но каково бы ни было г, мы можем поцобрать такую последовательность )с = lс (л, г) *), что )с 1 0<г — — — (— и л Из непрерывности функций )" (г) следует, что (4) 1'(г) = йт 1 ~ — ) = 1пп л л» л Если мы докажем, что при всех вещественных Г )'(г) = 1пп )"„(г), (б) то доказательство теоремы будет завершено, так как Яг) — непрерывная функция и поэтому, в силу обратной предельной теоремы для характеристических функций, будет характеристической функцией.
С этой целью заметим, что из (3) и (4) следует равенство 11ГЛ 7» (Г) = 11ГЛ ~ )л (Г) )» т )» (6) *) Всюду дальше под)с мы понимаем числа л (л, г) . 3 36. Положительно определенные фтнннии 233 7г Обозначим В = т —, Согласно выбору величин )с имеем О< В < 1/п. п По определению функции Ул (г) I lг 3 лл ! — х ~ л ( ) — 7'„~ — -) ~ =- ~ ( е " (е!в. 1)ь(Р'„(х) !» и, — л !' 1е!ех — 1!с(Р'л (х), (7) Воспользовавшись неравенством Буняковского, находим, что Г лл ) ~ его» ! 1е!и (х)(,/ !., е!ех 112~(щ (х) — лл хл ъ/ ( 2(1 — сот Вх) Мал(х) = «72(! — КК„(8)), — лл (8) А так как т"„(гп) = !ц"! (г), то 1 — )тУ'„(В)< Г (1 — созе)тФ"1(г)=1- !т Г егиЫ'("!(г), Отсюда в силу (3) находим, что (9) Собрав вместе неравенства (7), (8) и (9), находим, что где символ )т7л (В) означает вещественную часть 7'„(В) .
Так как сонг < созог при 0 < и < 1 и -л < г < л, то лл и 1 — К~„(В) = ) (1 — созВх)т!Гл (х) = ) (1 — созВ пг)ВВ'„(гп)< — хл л и < )' (1 — созг)т(Гл (гп). Гн. 7. Характеристические функннн 234 Из непрерывности функции 1 (т) отсюда следует.
что Ул (Г) Ул Соотношение (5), как это видно теперь из (6), доказано. й 37. Характеристические функции многомерныхтлучвйных величин В настоящем параграфе мы излагаем без доказательств основные сведения о характеристических функциях многомерных случайных величин. Характеристической функцией л-мерной случайной величины (т,, т у, ..., Ел) назьвается математическое ожидание величины Г(г, ег + ге т* г -+ 'л Глэ е ' ' ' ' " ", где г,,тт,...,тл — вещественные переменные 7'(тыг,,....г„)=Мехр(г' Е г„$„). Если 1г(х,, х,, ..., хл) есть функция распределения величины (» у, б,,..., ел), то, как мы знаем из предыдущего "1, Т(тг, Гт,..., Гл) = !...
((ехр7 2 Гахн)г(Р'(х,,...,хл). (2) Подобно тому как и в одномерном случае, характеристическая функция л-мерной случайной величины равномерно непрерывна во всем пространстве ( — < г- < + >, 1 < у < л) и удовлетворяет слелующим соотношениям: 1'(О, 0... О) = 1, У(73гтгл)~~1(<ге<+!с!'') Х( — гы — гг,, -гл)= У(гг, гт, ., тл). По характеристической функции г'(гг, г,,..., гл) случайной величины (е,, т,,... $„) легко найти характеристическую функцию любой 7г-мерной (1г < л) величины (т,, ттт, ..., сух), компонентами которой являются величины $, (! < т < л).
Для этого в формуле (2) нужно положить равными нУлю все аРгУменты Г пРи г тг 1г(1 < г < й). Так, напРИмеР, хаРактеристическая функция величины Е г равна Т;(г, ) = Т (г г, 0,..., 0). *) Гр. теорему 1 Я 24 н замечание о многомерныл ннгсгренеч Стан~нега н й 23. гз5 й 37. Многомерные характеристические функции Из определения вытекает, что если компоненты величины (Е (, $,;.... Е и) являются не за в и си мыми случайными величинами, то ее характеристическая функция равна произведению характеристических функций компонент ( (1(, 1т, . ° 1и) = ( (1() ' 1 (гт) ° ° ° ..
( ((и) Так же как и в одномерном случае, многомерные характеристические функции позволяют легко находить моменты различных порядков. Так, например, й()с( с2 . сп = О .Ух(' хт' .. хп (('(х(,хз,. хи)= Зля вычисления характеристических функций полезно знать следующую теорему, доказательство которой оез труда проведет читатель. Т е о р е м а 1. Если характеристическач функци~ величины (с (, се,..., с и) Равна ) (1 (, гт,..., (и), то хаРактеРистическаЯ фУнкЦиа величины (о, Е ( + а,.
вас т + ат,..., оис и + аи), где а( и в( (1 < /< и) — веи(ественные постоямные, равна ехР (!' Х аа га) ' 1 (а(1(, отгт, ° ., оп 1 ). и=( П р и м е р 1. Вычислим характеристическую функцию двумерной случайной величины, распределенной по нормальному закону: 1 р(х,у) =,— ехр~ — — —, (х' — 2тху+ут) .
2л(! — тз) 1 2 (! — 1() По формуле (2) 1 Х(1» гт) = —,— ~3 е ' ' р (х,у) дх с(у. 2л (1 — г') Заменой переменных мы можем привести ((1(, 1,) к виду ) ! — — (и+о) 1 — - Д е ди((о 2л — — ((, +зг(,(, и (,) е 2 236 Гл. 7. Характерастаческне функции П ри м е р 2. Применяя теорему 1, мы найдем характеристическую функцию величины (П,, цз), распределенной по нормальному закону: 1 р (.х„у) = Х 2яа, оэ(1 — г') ! ! (х — а)' (х — а)(у — Ь) (у — Ь)' Х ехр г — ~ — —,— — 2г - — — — -- —.— + — — — (4) 2(1 — г') ~ о', о', оз отэ Если мы положим пл = а, с, + а, и, = азйт + Ь, то величина ($,, й,) будет распределена по закону (3). Согласно теореме 1 характеристическая функция величины (П,, П, ) равна ! ьэ(г,, г,) = ехр гаг, + (ага — — (а', г', ь 2о1атгг, гэ + о', г',) .
2 Из определения характеристической функции вытекает следующая Т е о р е м а 2. Если Г (гэ . гэ,..., 1„) есть характеристическая функция величины (с ы сэ, . $„), то характеристическая функция суммы й, + й, +... + й„равна йг)=э(г,г,...,г). Примечание. Заметим,что У (г) У(ггэ.
ггг» . ггл) есть харак геристическая функция суммы г, ч, + г, с, +... + гнсн. П ример 3. Применим теорему 2 к определению функции распределения суммы г1, + и,, если (и,, Лт) распределена по закону (4) . Согэ~асыо теореме 2 характеристическая функция'суммы и, + Пт равна э Г(г) = схр й (а + Ь) — — (от + 2 го, от + озэ) 2 Мы знаем (пример 1 4 32), что зто — характеристическая функция нормального закона с математическим ожиданием, равным а + Ь, и дисперсией, равной о1 ь 2го, о, э аэ. Это~ результат был нами получен ранее непосредственно (4 21, пример 2).
Важно замегить, что в многомерном случае сохраняется следующая теорема. Т е о р е м а 3. Функция распределения Е(х,, х,, ..., х„) однозначно определяется своей характеристической функцией. Доказательство этого предложения основывается на ф о р м у л е о б. ращения Те о ре ма 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
