Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Действительно, если $ распределена решетчато и р„есть вероятность равенства $ = а+ Кп, то характеристическая функция величины 1 равна )Т!) 4, Р еп(а хн) е)а! Б Рхепьь ь =-- я Отсюда находим, что а о )2лх то!— ~~ — ~=е !' Х рне "'" =е й я=в Мы видим, таким образом, что для каждого решетчатого распределения 'й = Предположим теперь, что при некотором г, чь О ~Лг!) ~ =1, и докажем, что при этом $ имеет решетчатое распределение. Последнее равенство означает, что прн некотором О )Тг!) =е! .
Таким образом, ) еи' сК(х)=е' 9, Б.В. Гнеяенко Гл. 8. Классическая предельная теорема и, следовательно, 1'гцс, х-9)т)г1х) — 1 Отсюда вьпекает, что /сот(гтх — 0) лгг(х) = 1. Для того чтобы это равенство было возможно, необходимо, чтобы функция Р(х) могла расти только при тех значениях х, при которых соз(г, х — О) = 1. Это означает, что возможные значения $ должны быть вида 0 2я х=- — +)с —, П что и требовалось доказать. Число Ь мы будем называть шагом распределения.
Шаг распределения Ь максимален, если нн при каких Ь(- <Ь< ) и Л, > Ь нельзя представить все возможные значения С в виде Ь + Ы,. Для иллюстрации различия между понятиями шага распределения н максимального шыа распределения рассмотрим такой пример. Пусть $ может принимать в качестве своих значений все нечетные числа. Очевидно, что все значения ~ могут быть записаны в виде а + )гИ, где а = О, Ь = 1.
Шаг Ь, однако, не будет максимальным, так как все возможные значения с можем записать также в виде Ь+ И, „где Ь = 1,Ь, = 2. Условия максимальности шага распределения можно выразить и в других терминах. В о-и е р в ы х, шаг распределения будет максимальным тогда и только тогда, когда общий наибольший делитель попарных разностей возможных значений величины $, поделенных на )т, равен единице. В о-в то р ы х, шаг распределения Ь максимален тогда и только тогда, когда модуль характеристическойфункции в промужетке 0<1 г ~ < 2я/Ь меньше единицы и при т = 2я)Ь равен ецинице. Последнее утверждение немедленно вьпекает из только что доказанной леммы, В самом деле, если при 0 < П < 2я)Ь 1Лг~)!е! то согласно доказанному величина 2я/г~ должна быть шагом распределения, атак какй < 2я(г„то шаг Ь не может быть максимальным.
Отсюда мы можем сделать такой вывод: если Ь вЂ” максимальный шаг распределения, то для каждого е г О найдется такое число со .г О, что при всех г в интервале е < 1г 1 < 2я)Ь вЂ” е имеет место неравенство 1Дг)1< е (1) 259 й 4 Е Локальная предельная теорема Пусть теперь случайные величины»,, »,...
»„,... взаимно независимы, решетчато распределены и имеют одну и ту же функцию распределения Р(х) . Рассмотрим сумму "»1 т»г + . +»„. Очевидно, что она также является решетчатой случайной величиной и возможные ее значения могут быть записаны в виде па+ И. Обозначим через Р„(сс) вероятность равенства ! „= па + /с)г; в частности, Рг(я) = Р (», = а + )сй ) = р„, Обозначим далее оп+И вЂ” А„ г - = — — — —---- ак и Гдс А„= М(п, Вг = 0(л = ИО»1 Мы можем теперь доказать следующее предложение, очевидным образом обобщающее локальную предельную теорему Муавра — Лапласа.
Т е о р е м а. Пусть независимые решетчатые случайные величины »1, »г, .,»„ имеют одну и гу же функцию распределения Р(х) и их математические охсидания и дисперсии конечны. Тогда для того чтобы равномерно относительно )с( — (lс (' ) при и — имело место соотношение 2 В„ 1 гпя — — Р„()с) — — е й,/2л необходимо и достаточно, чтобы шаг распределения Ь был максимальным. Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость условия теоремы почти очевидна. Действительно, если шаг п не максимален, то возможные значения суммы»„= Х»„будут содержать систематические пропуски: разность к=! между ближайшими возможными значениями суммы не может быть меньше сбг, где с! есть общий наибольший делитель разностей возможных значений („, деленных на )г. Если й — не максимальный шаг, то с(> 1 при всех значениях п.
Доказательство достаточности условия теоремы требует несколько более сложных рассуждений. 260 Характеристическая функция величины $ .(1с = 1, 2, 3,... ) равна ~астгтлл ат ч нлл Л- =аа характеристическая функция суммы ~„есть еилс ~ Р тт) ) с~тел а=- Умножив последнее равенство на е ""' "ал и в пределах от — я/и до л/Й, находим, что проинтегрировав его Заметив, что Ьй = Вл тля + А„— ал (вместо я„л мы будем дальше писать г), можем написать где обозначено /'*(т) = е " Дг) . Положив, наконец, х = гВ„, находим окончательно; Легко подсчитать, что °,/2л я2л Представим разность 2л а1Л вЂ” Р (с) = / сЛЯЕ ~ — ал,ат — лгл 2л лг» Р рс) / /'"лгт) е — пел„Вг — тл Й вЂ” ивлГЛ Вл 1 Ял = 2я~ — Рл(/с) — — е В х/2л Гл. 8.
Классическая лрелельиая теорема 261 а 4!. Локальная предельная теорема в виде суммы четырех интегралов )~е '1! ~ 22 уз + )4 где у )'Е.тхх ) т.~ ~ -х )2 — А 'тВ„, У вЂ” )' Š— Ых —.т )2 )Х 2 ~х~>А /Х т тз хв л Ы еВ < 1х1 л ! хт уа = ) е тех)' » — е)х, А <1х1< еВе 11В„~ где Л > Π— достаточно большое, а е > Π— достаточно малое постоянные числа, более точные значения которых бупут выбраньн нами позднее.
В силу следствия из теоремы, доказанной в препыдушем параграфе, в любом конечном интервале значений г равномерно относительно г выполняется соотношением ) л „,— т )2 (и х ) Вл Но отсюда следует. что каково бы ни было постоянное Л, Ут - О (л - ), Интеграл Ха оценивается посредством неравенства т х т 2 Аттт ~уа!< ) е х ) т)х< — ) хе ~ тех = — е !ха> А АА Л Выбрав достаточно большое А, мы моакем сделать 22 сколь угодно малым. Согласно неравенству (1) имеем т,е т ~Г( — )~ х ( ""2В„~- евл «1х1< Гл. 8. Классическая лрелсльлая аеарсма Отсюда ясно, что при ив У, Р.
Для оценки интеграла 14 мы заметим, что существование дисперсии влечет за собой существование второй производной у функции ~*(г). Мы можем, следовательно, в окрестности точки г = Р воспользоваться согласно 13) 5 32 разложением о2 Г2 у'1г) = 1 — — + о 11'), 2 и при 11 ! < е, если е достаточно мало, получим: 2 12 с*1' ! у '(г) ! < 1 — — < е Тогда при !х ! -~ еВ„ лае 1* 12 (1"( — ) е е Поэтому 12 1' ела !14 !~ 2) е 4 111(2/' е 4 112. А А Выбором достаточно большого А мы можем добиться, чтобы и1ггеграл 14 бьщ сколь угодно мал.
Теорема доказана. Имеется еще другой случай, когда естественно ставить вопрос о локальном поведении функций распределения сумм. Зто — случай непрерывных распределений. Здесь ставится вопрос о том,когда плотности распределения нормированных сумм сходятся к плотности нормального распределения, если соответствующие функции распределения сходятся к нормальной.
Оказывается„что для случая одинаково распределенных независимых слагаемых с конечной дисперсией достаточным является условие ингегри. руемости плотности слагаемых в какой-либо степени о > 1. Если отказаться от этого условия, то легко указать примеры случайных величин, имеющих плотности распределения вероятностей и принимающих значения только в ограниченном интервале, но для которых локальная теорема не имеет места 1см.
монографию Б.В. Гнеденко и А.Н. Колмогорова) . Упражнения 263 Упраэги ения 1. Доказать, что прн и У к а з а н н е. Применить теорему Ляпунова к распределению х'. 2. Случайные величины — и с вероятносзью 0,5, о 1л +по с вероятное!ью 0,5 независимы. Доказать, что при о > — 0,5 к ним применима теорема Ляпунова. 3.
Доказать,что прн и л е " Х -р а=п я! 2 У к аз ан не. Применил, теорему Ляпунова к сумме случайных величин с параметром Х = 1. 4. Вероятность появления события А в (-м испытании равна РР и — число появ. лений события А в и независимых испытанинх. Доказать, что И вЂ” о Р1, и=! 1 х — ! е с!г ;/2я < х ~ ~ Разов а=! тогда и только тогда, когда 2 р!д! = зм! 5. Доказать, что в условиях прслыдупгей задачи требование Й Р!д! = даст!гочс=! но не только для интегральной, но н дпн локальной теоремы. р2 !+!ч л ле — ч' ~ — ~ ~ г е и'з "Я ! г — — г ! — — 5» ж. 2 /зе ГЛАВА 9 ТЕОРИЯ БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛЮФЫХ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Долгое время центральной задачей теории вероятностей считали отыска. ние наиболее общих условий, при выполнении которых функции распределения сумм независимых случайных величин сходятся к нормальному закону. Весьма обшие условия, достаточные дпя этой сходимости, были найдены, как мы говорили об этом в главе 8, А.М.
Ляпуновым. Попытки расширить условия Ляпунова увенчались успехом лишь в тридцатые годы, когда были найдены условия, являюшиеся не только достаточными, но и, при весьма естественных ограничениях, необходимыми. Параллельно с завершением классической проблематики возникло н развилось новое направление в теории предельных теорем для сумм независимых случайных величин, тесно связанное с возникновением и развитием теории стохастических (случайных) процессов. В первую очередь возник вопрос о том, какие законы, помимо нормального закона, могут быть предельными для сумм независимых случайных величин.
Оказалось, что класс предельных законов далеко не исчерпывается нормальным законом. Затем возник вопрос об определении условий, которые следует наложить на слагаемые, чтобы функции распределения сумм сходились к тому или иному предельному закону. В настояшей главе мы ставим своей целью изложение некоторых иссле. дований, посвященных предельным теоремам для сумм независимых случайных величин. При этом мы ограничиваемся случаем, когда слагаемые имеют конечные дисперсии. Рассмотрение задачи без этого ограничения требует более громоздких вычислений; для ознакомления с ее реше.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
