Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Рассмотренные нами ранее предельные теоремы для сумм, очевидно, укладываются в эту общую схему. Так. в теоремах Муавра — с!апласа и Липунова мы имели следующую последовательность серий: »и!'»и2' ' ' »ли 277 й аб. Продольные тсорсмы дли сумм З 46. Предельные теоремы дпя сумм Пусть имеется элементарная система; обозначим через сна(х) функ. цню распределения случайной величины е„а и через гиц(х) — функцию распределения величины $ла = й„а — Мйаа; очевидно, что Г„а( )=Г„„( +Мйп„). Т е о р е м а б.
Зля гого чтобы функции рагпределенич сумм ,тр +,, +Еа (1) при п — сходились к предельной функции распределения, необходимо и достаточно, чтобы к предельному закону сходились безгранично делимые законы, логарифмы характеристических функций которых определяются формулой ал ф„(1) = г, (1)мй„ь ь ) (еп" 1)гасла(х)) *). (2) а. 1 Предельные законы для обеих послседовагельностей совпадаю), Д о к а э а т е л ь с т в о.
Характеристическая функция суммы (1) равна а„ ач М(!га ал згп(1)= зП)в (1)=г а ! П )о„(1) (3) )г- ! «-! ГДЕ 1'„а (!) - ХаРаКтЕРИСтИЧЕСКаЯ ФУНКЦИЯ СЛУЧайНОй ВЕЛИЧИНЫ йиа, а т„а (1) — хаРактеРистическаЯ фУнкцил величины ~„а. Мы знаем, что для сходимости функций распределения сумм (1) к предельной Ф(х) необходимо и достаточно, чтобы при и- з'„(1) 'Р(1) . где ч)(1) непрерывная функция: ч!(1) при этом оказывается характеристической функ циси закона Ф(х) .
ч)! сли ввести обозпачс пни )гп "н и — ~ Мг„а. Пп! ) = " ( РН):ва)т) а! ь ! и заметить ч!о (хй)бгь)т) и. !о фгокпии оли) могУт быль записаны в виде 'пи)= Зг!)'Л ' ! П ), Лг) Ю) !и л Как мы знаем. з!о он!счасть. что Е„!1) лвлисзси логарифмом заракзсристичсскои фупкпии нчкоюро!о бсз!ранично делимого закона Отмолим. чго дисперсии ти и безгранично дслимыь законон !2) совпадают 278 Для величин $лн равномерно в каждом конечном интервале г ни = щах !плн! з~е~ел (4) Действительно, аин =1(ее * — !)гК„е(х) =1 (еггх — 1 — 1гх)Лань(х), Мы знаем, что при всех вещественных а ! е — 1 — зо ! < а !'2; (5) Из (5) и третьего условия элементарности системы следует (4) .
Из (4) мы прежде всего выводим, что при лгобом Т мы можем считать, чтодлядостаточно больших л и ! г! < Т !нее! < !!2 (6) В силу этого мы можем воспользоваться разложением логарифма в ряд 2 з ние нле 1п1'„,,(г) = !п(!+аль) =аль — — + — — ..=низ+ген. Очевидно, что ьи Ни Ял л ! 1и Хл(г) - Х (1 е М1ле + ои ) ~ = ! Х (1п Хин(г) - Оие) ~ ~ п=! и=1 "и - !а е!з 1 "" !аль!' ( Х Б < — Е е=з и=-г 2 е =! 1 — ! аль ! (7) Формулы (5) и (6) приводят.к неравенству зи е.'за Я„~ пзах !аи„! 2: !~„„! м — т~х !аин!.
!кенни е-..! 2 !кенни Положим аи „= Ки а(Г) — 1. так как М4„„и 3'хЮ„е(х) = О. поэтому гз ! низ ! ( — ) х гВ„з(х) = — 0$„„. Гн. 9. Теория безгранично деннмых законов и 46. Пасхальные теоремы яяя сумм В силу (4) мы заключаем, что равномерно в каждом конечном ннтерва. ле г прип- ~ )пав„(г) - й.(ти - О (8) Таким образом, мы установили, что в катсдои элементарной системе функции распределения сумм Т„и бсэгршзично делимые функции распределения, определяемые формулой (2), неограниченно сбликшотся при и -», чем собственно теорема 6 и доказана, Доказанная теорема позволяет заменять исследование сумм (1) случайных величин с функциями распределения, вообпге говоря, произвольными исследованием безгранично дслимых законов.
Последнее, как мы увидим, во многих случаях оказывается весьма простым. Теорема 7. Всякий закон распределения, предельный для функций распределения сумм элементарной системы, является безгранично делимым с конечной дисперсией и, обратно, кахгдый безгранично делимый закон с конечной дисперсией являегсл предельным для функций распределения сумм некоторой элементарной системы. Доказательство. Из предыдунтей теоремы мы знаем, что предельный закон для функций распределения сумм (1) является предель.
ным для безгранично делимых законов и, значи~, по теореме 3 является безгранично делимым; его дисперсия конечна, так как дисперсии сумм по второму условию элементарности системы ограничены в совокупности. Обратное предложение, что кюкдый безгранично делимый закон с конечной дисперсией является предельным для сумм, немедленно вьпекает из определения безгранично делимых законов.
Т е о р е м а 8. Лля того чтобы функции распределения сумм (1) при и -+ е сходились к какой-нибудь предельной функции распределения и их дисперсии сходились к дисперсии предельного закона, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие функция С(и) и постоянное у, что при л +'.ю к»» ) 24(с ( ) „6(„) а=г т точках непрерывности функций С(и) ь» 2) Е /х'дРиа(х)-+С(+ '), н=~ а» 3) Х )'ха%»а(х)- Т. а»~ Логарифм характеристической функции предельного закона отцэеделяется формулой (1) 6 43 с только что опредсленщами функцией б(и) и постоянной Т. Гл.
9. Теории безгранично делимых законов Д о к а з а т е л ь с т в о. Если ввести обозначения «и н С„(и)= Е 3' х'НР'„«(х) и «» 7и = Х 3 хек'л«1х), сс = ! то мы придем к условиям теоремы 5. Теорема этим доказана. Несколько вндоизменив формулировку последней теоремы, мы мо- жем яолучить не только условия существования предельного закона, но также и условия сходимости к каждому данному предельному закону. Т е о р е м а 9. Для того чтобы функции распределения сумм (1) при п — сходились к данной функции распределения Ф(х) и дисперсии сумм сходились к дисперсии предельного закона, необходимо и достаточно, что- бы при п выполнялись следуюи!не условия: «и и 1) Х 3' х'с1Е„«)х)- С(и) «=!— в точках непрерывности функции С(и) «и о) Т..1хзсК„«тх) Сг ), «=1 "н 3) Х 1хстт;с«(х)-с7, сс = 1 где функции С«и) и постоянное 7 определяются формулой (1) б 43 для функции Ф(х) .
а 47. Условия сходимости к законам нормальному и Пуассона Мы применим результаты предыдущего параграфа к выводу условий сходимостн функций распределения сумм к законам нормальному и Пуассона. Т е о р е м а 10. Пусть дана элементарная сиссема независимых случайнь!х величин. Для того чтобы функции распределения сумм 1н=1 !+~ з+ Ей «н (1) при п -с сходились к закону 1 ф1х) = — )' е " 1тс1х, гв1 а 47. Схоцнмостьк законам Гаусса н Пуассона необходимо и достаточно, чтобы при п -' ' были выполнены условия «л 1) Х )хНЕл«(х)- О, « =-! "л 2) Х ) х дрл«(х) -т О, «=1 ~л Р.т «л 3) Х )' хт г(рл«(х)— «=1 м~<т где т — любая положительная постоянная. До к а з а т ел ь с т в о.
Из теоремы 9 следует, что искомые условии состоит в выполнении при и -т' соотношений «л Х )хдрл«(х)- О, «=1 «л и 10 для и< О, / хада„«(х)- «=т— 1 для и)0, «л Х )'хтатлл«(х)- 1. Первое из них совпадает с первым условием теоремы, равносильность двух остальных второму и третьему условиям теоремы очевидна. Особенно простую форму зта теорема принимает, если элементарная система, рассматриваемая нами, нормирована заранее условиями «л 2; ~х дрл«(х) = 1, «=ь (хдрл«(х)=0 (1~ 7с( Кл; п=1,2,...), (2) Т е о р е м а 11. Если элементарная система нормирована соотношениями (2), то для сходимости функций распределения сумм (1) к нормальному закону необходимо и достаточно, чтобы для всех т ) 0 при п «л хтдЕ (х) з 0 (3) «=7 Ш1ьт Д о к а з а т ел ь от в о теоремы очевидно.
Требование (3) носит название условия Линдеберга, так как им в 1923 г. была доказана его достаточность для сходимости функций распределения сумм к нормальному закону. В 1935 г. В. Феллером была доказана необходимость этого условия. Гл. 9. Теории безгранично поиимых законов В качестве другого примера использования общих теорем предыдущего параграфа мы рассмотрим сходимость функций распределения элементарных систем к закону Пуассона 0 для х<0, Хк Р(х)= Ж е к — для х>0. о< к<. М (4) Если $ — случайная величина, распределенная по закову (4), то, как мы знаем Ме = 0$ = Х.
Мы ограничимся элементарными системами, для которь|х кп Монк к=! кл (5) г 0$„ к=! Те о р е ма 12. Пусть дана элементарная система, подчиненная условиям (5) . Функции распределения сумм зп оп! оп2 . опал тогда и только тогда сходятся к закону (4), когда при любом т > 0 кп г,' ) хзое„к(х + М$пк) 0 (п ). к=! ~а — 2!>з Очевидно, что сумма дл о !+о 2+'' +$ представляет собой число появлений события А в и-й серии испытаний.
Согласно теореме Пуассона функнии распределения величин д п при п — сходятся к закону Пуассона (4). Этот результат следует и из только что сформулированной теоремы, тис как все ее требования в данном случае выполнены. Доказательство этой теоремы мы предоставляем читателю. В э 13 нами была доказана теорема Пуассона. Легко убедиться, что при прп = Х она является частным случаем только что доказанного пред. ложення. Действительно, пусть $„к (1 < и < и) есп случайная величина, принимающая значения 0 или 1 в зависимости от того, появится или не появится прн й-м испытании п-й серии наблюдаемое нами событие А. При этом Х Х Рй, = 1) = — н Р[1„п О) = 1 —— пк лк В 4В. Суммирование в случайном числе 2ВЗ Общие теоремы о сближении функций распределения сумм (1) с некоторыми безгранично-делнмымн функциями распределения, доказанные в более широких, чем у нас, предположениях, позволяют также получить необходимое и достаточное условие для закона больших чисел (в случае независимых слагаемых).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
