Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Найдем распределение вероятностей т. 1ак как очевидно, что собьпие т ъ г эквивалентно тому, что за промежуток времени г собьпие не появится ни разу, то Рту> Г) =е Искомая функция распределения, таким образом, задается формулой Р~т(г) 1 е — м (9) Полученный результат мы можем физически трактовать многими способами. Например, мы можем смотреть на него как на распределение времени свободного пробега молекулы или как на распределение времени, протекшее между двумя отказами элементов в сложной радиотехнической схеме. Заметим, что теория, развитая в настоящем параграфе, может быть применена не только в предположении, что параметр г играет роль времени. С этой целью рассмотрим дополнительный пример.
П р и м е р, В пространстве разбросаны точки с соблюдением следующих требований; 1) вероятность й точкам оказаться в области П зависит только от объема и этой области, но не зависит ни от ее формы, ни от ее положения в пространстве; эту вероятность обозначим рь (г); 2) числа точек, попавших в неперекрывающиеся области, являются независимыми случайными величинами; 3) Х рл(тлн) = о(тЛн). «=з Гл. !О. Тесриа стсхастических процессов 300 Наложенные условия являются ничем иным, как условиями стационар- ности, отсутствия последействия и ординарности.
Отсюда Если в жидкости взвешены мельчайшие частицы какого-либо вещества, то под влиянием ударов окружающих молекул зги частицы находятся в непрерывном хаотическом движении Гброуновское движение). В результате в каждый момент времени мы имеем случайное распределение частиц в пространстве, о чем только что бьиа речь. Согласно теории настоящего примера следует считатц что распределение частиц, попадающих в некоторую определенную область, будет подчинено закону Пуассона.
В таблице 14 сравниваются результаты опыта с частицами золота, взвешенными в воде, заимствованные нами нз статьи Смолуховского, и результаты вычислений по закону Пуассона. Таблица 14 Числа части Постоянное Х = ац, которым определяется закон Пуассона, выбрано равным среднему арифметическому из наблюдавшегося числа частиц, т.е. 0.112 + 1.168 + 2.130+ 3 69 + 4 32 + 5.5 + 6.! + 7.1 Х= -1,54.
518 а 51. Процессы гибели и размножения В начале текущего столетия в связи с задачами биологии и телефонной связи возникла простая, но весьма полезная схема, получившая наименование процессов гибели и размножения. В качестве весьма частного случая 112 166 130 69 32 5 1 1 0,216 0,325 0,251 О,!33 0,062 0,010 0,002 0,002 0.213 0.328 0,253 0,130 0,050 0,016 0,004 0.00 ! !10 173 131 67 26 а 2 1 й 51. Проаессы гибели и резмнаження ЗО1 она включает в себя задачу предшествующего параграфа о процессе Пуассона. Несмотря на узость исходных предположений процессов гибели и размножения, они находят широкое применение в ряде прикладных задач, позволяя получить не только схематическое представление о происходящих изменениях системы, но и расчетные формулы.
Представим себе, что интересующая нас система может находиться в одном из состояний Е„Е,, Ет,..., множество которых конечно или счетно. Со временем состояния системы изменяются. причем за промежуток длительности й система из состояния Е„переходит в состояние Е„„с вероятностью Л„п е о(й) и в состояние Ел ~ с вероятностью илй + о(й). Вероятности того, что за промежуток (г, г е й) система перейдет в состояние Е„а„с lс > 1, бесконечно малы по сравнению с й. Отсюда следует, что вероятность остаться в том же состоянии Е„за промежуток времени й равна 1 — Л„й — или+ о(п) .
Постоянные Л„и д„мы предполагаем зависящими от и, но не зависящими от г н от того, каким путем система пришла в это состояние. Последнее обстоятельство означает, что рассматриваемьй процесс является марковским. Теория, которая будет здесь изложена, может быть распространена и на тот случай, когда Л„и ил зависят так же и от г. Случайный процесс, о котором только что щла речь, носит название процесса гибели и размножения. Если под Е„понимать собьпне, состоящее в том, что численность популяции равна и, то переходЕ„- Е„,1 означает, что численность популяции увеличивается на единицу.
Точно так же на переход Е„- Е„1 следует смотреть как на гибель одного члена популяции. Если при любом и > 1 имеют место равенство р„= О, т.е. если возможны только переходы Е„Е„или Е, е Е„,1 в момейт изменения состояния, то процесс называется процессом размножения (иногда говорят о процессе чистого размножения; именно таким является процесс Пуассона) . Если же все Л„= О, то говорят, что имеет место процесс гибели. Обозначим через р„(г) вероятность того, что изучаемая нами система в момент ~ находится в состоянии Еь. Рассуждениями, подобными тем, которые мы провели в предыдущем параграфе, мы придем к системе уравнений, управляющей процессом гибели и размножения Ре(г) = — Лере(г) + р Р И (1) и при гс > 1 рь(г) = — (Л„+ иь) ря(т)+ Ль,ра,(г) е р„„р„„(г).
(2) Наши обозначения несколько неполны, поскольку мы не указываем, нз какого состояния Е; начала изменяться система. Исчерпывающим было бы такое обозначение; рц(г) — вероятность того, что система окажется в момент г в состоянии Е;, если в момент О она находилась в состоянии Е;.
В задаче о процессе Пуассона мы предположили, что в начальный момент О система находилась в состоянии Ес. Гл. 10. Теория етохаетичееких проаеееов 302 Уравнения (1) и (2) принимают особенно простой внд для процессов чистой гибели и чистого размножения. Во втором случае, проведя последовательное интегрирование, получим (формулы написаны в предположении, что все Л„различны) Ре(1) = е Ле р,(г) = (е е' — е ''), Л~ -- Ле Л„Л, 1 Рэ (г) (е — х„я е-х, е ) е (е — х,г Л, — Л, ~ Л, Л, Ла - Л~ Х 'Ла'.
(4) «=е До к а за тел ьс гв о. Рассмотрим частичную сумму ряда (3) тл(г) = Ре(1) + Р (11+... + Р (!). Из уравнений размножения вытекает, что Зл(Г) Ллрл(Г). Отсюда находим, что 1 — гл(г) = Л. )" Р„(г) йг (6) е (если вместо начального условия ре(0) = 1 взять другое, а именно р,(0) = 1, то равенство(6) имеет место при и >!). Так как все чтены суммы (5) неотрицательны, то при каждом фиксированном значении г сумма гл(г) с возрастанием н не убывает. Следовательно существует предел 1 11 — (г)] = и(г). (7) л (5) Мы предположили при этом, что прн г = 0 система находится в состоянии Ее. Без груда можно выписать и общее решение, убедившись при этом, что функции рх(г) неотрицательны при всех Л и г.
Однако, если Лх растут слишком быстро при возрастании гс, может случиться, что Х р„(г) < 1. а=с Т е о р е м а В. Ф ел л е р а. Дгя того чтобы нри всех значениях г решения р (г) уравнений чистого размножения удовлетворяли соотношению Р (г)=1, (3) а .—. с необходимо и достаточно расходимости ряда ! 5!.
Проиессы гибели и размножения звз В силу (6) мы заключаем, что Л„)'рл(г)Ж > Л(г). Отсюда ясно, что о + ... + — 1. Так как при любых г и л Лл 1 1 ! Хгл(а)!с > и(г) !Л— о Л л„ л, имеет место неравенство тл (г) < 1, то / ! 1 1 г>и(О ~ — + — ' ' — ). Л, Если ряд (4) расходится, то из последнего неравенства вытекает, что при всех г .должно быть л(г) = О, из (7) теперь следует, что расходимость ряда (4) приводит к (3).
г 1 Из (6) Ясно, что Лл ) Р (Г)с!г < 1 и, следовательно, 5 зл(т)пт < — + о 1 1 е + — + . + . В пределе при л — получаем ) (! — д(т))с(т < Л, ' Лл ' о < Х Л,,', л -О Если д(г) = О при всех г, то левая часть неравенства равна 6 а посколь. ку г произвольно, ряд, стоящий в правой части, расходится. Теорема доказана.
В предыдущем параграфе мы имели Лл = Л. Следовательно, ряц (4) расходится и при всех г имеет место равенство Х рл(г) = 1. =-о На сумму Х р (г) можно смотреть как на вероятность того. что за и=о время г произойдет лишь конечное число изменений состояний системы. Таким образом разность 1 — Х р (г) следует интерпретировать как л=о вероятность бесконечного числа изменений состояний системы за время г. В явлениях радиоактивного распада такая возможность означает лавинный распад. Пример 1.
Резервирование без восстановления. Представим себе техническую систему, состоящую из одного основного элемента и л таких же резервных. Основной прибор за промежуток времени (б г + й) отказывает с вероятностью Лй + о(й), а каждый из резервных приборов — с вероятностью Л'л + о(й) . На смену отказавшему прибору немедленно ставится прибор из резерва, отказавший же прибор дальнейшего участия в работе системы не принимает.
Система в целом отказывает в момент, когда все элементы — основной и резервные — окажутся в Гл. 10. Теория стохастических лроиесссв 304 состоянии отказа. Найти вероятности того, что в момент г в системе имеется )с отказавших элементов (событие Е») . Мы имеем дело со случаем чистого размножения. При этом Л„= Л + (и — /с) Л' при 0 < lс < л. Л.+„=0, й>1. Несложные вычисления приводят к равенствам ЛсЛ~ ...Л»-1 -л с лч» (г)=:е»(1 — е ) „0</с<и, х! Л Лс Л, ... Л„ 1Л ' лс В частности, если Л = 0(резерв называется иеиагружениым или холодным, элементы в таком резерве не отказывают), то имеют место равенства Л»т» и (Лт)" р»(т) = е л' (О </с< и), р„„,(1) = 1 — Х е Прн Л = Л (нагруясенный или горячий резерв; в таком резерве все элементы находятся в том же состоянии, что и основной) р(т)С(и+1»)лг(1лс) Обозначим через»» длительность жизни и-го элемента в период работы. Для ненагруженного резервирования длительность жизни системы равна сс + 1, + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
