Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Тогда, как это следует нз равенства (2), если — Р(В ! х ) при й+а а и Д стремящихся к нулю, равномерно относительно х стремится к р (у ~ х), то имеет место равенство еон о~ ) р (*)И= О.ы оеМе* ' Эта формула будет нами широко использована в следующей главе. 3!6 Гя, 10. Теория стохастнческня процессов й 53. Обобщенное уравнение Маркова Мы перейдем теперь к изучению случайных процессов без последействия, ограничиваясь при этом лишь лросгейитими задачами. В частности мы будем предполагать, что множество возможных состояний системы есть множество действительных чисел.
Таким образом, для нас случайным процессом будет совокупность случайных величин $(т), зависящих от одного действительного параметра г. Мы будем называть параметр г временем и говорить о состоянии системы в тот или иной момент времени. Полную вероятностную характеристику процесса беэ последействия мы получим, задав функцию Е(г, х; т, у), равную вероятности того, что в момент т случайная величина р(т) примет значение, меньшее у, если известно, что в момент г(г <т) имело место равенство $(г) =х.
Дополнительное знание состояний системы в более ранние чем г моменты вре. мени дпя процессов без последействия не изменяет функцию Е(г, х! т, у). Отметим теперь некоторые условия, которым должна удовлетворять функция Е(г, х; т, у) . Прежде все~о для нее, как для функции распределения, должны быть при любых х, т и т выполнены равенства: 1) !лп Е(бх;т,у)=0, !лп Е(ах; т,у)=1; х у е 2) функцияЕ(г, х;т,у) непрерьвна слева относительно аргумента у, Предположим теперь, что функция Е(Е х; т, у) непрерывна по ц т н по х. Рассмотрим моменты времени Е а т(г<э<т). Так как из состояния х в момент ! система переходит в момент т в одно из состояний интервала (г, э+с!г) с вероятностью с!еЕ(ц х;а г), а из состояния г в момент г переходит в состояние, меньшее у, в момент т с вероятностью ЕО,г; т,у), то согласно формуле (! ) предыдущего параграфа находим, что Е(Е х; т, У) = ХЕ(а г: т, У)де Е(Е х; Х г).
Полученное ранено~во естественно назвать обоби!енным уравнением Маркова, так как оио представляет собой распространение равенства (1), й 17 теории цепей Маркова на теорию случайных процессов и в этой теории играет столь же важную роль, как упомянутое тожцество в теории цепей Маркова. Вероятность Е(б х, т, у) определена пока только для т > с. Дополним это определение, приняв |О для у<х, !пп Е(дх;т,у)= Вш Е(лх;т,у)=Е(х,у)= т еео т т — о 1 для у>х. Если существует плотность д У(бх; т,у) = — Е(г,х; т,у), ау б 54. Непрерывный случайный пронесс 317 то для нее выполняются следующие очевидные равенства: у ) 7"(т, х;т,г)дг =г(бх;т,у), О'(Л х; т, г) с)г = 1.
Для этого случая обобщенное уравнение Маркова должно быть записано в таком виде: ,Г(т, х; т, у) = О(г ', г; т, у) Г(т, х; г ', г) 67г. а 54. Непрерывный слу ийный процесс. Уравнения Колмогорова Мы скажем, что случайный процесс $(т) непрерывен, если за малые промежутки времени лишь с малой вероятностью $(г) может получить заметные по величине прирюцения. Более точно, случайный процесс р(т) непрерьгвен, если, каково бы ни было постоянное Ь (Ь > О), имеет место соот- ношение 1 йп — ( пг(т — Ат, х; г, у) = О.
дг о гтт )у — х)э б ар(б х; т, у) аа р(г, х; т, у) и дх яхт существуют и непрерывныприлюбых значениях т, х и т>г; 2) каково бы ни было б >О, существуют предел ') 1 Игп — 1 (У вЂ” х)иур(т — бхт, х; т, У) =д(т, х) ат о Гат ~у — х)<6 (2) При некоторых достаточно общих предположениях А.Н. Колмогоров доказал сущестованне пределов а1г, х) и ЬИ, х).
Наглядный смысл ф> нкций а н Ь мы выясним в конде пара|рафа. Наша ближайшая задача состоит в выводе дифференциальных уравнений, которым при выполнении некоторых условий удовлетворяет функция г (т, х; т, у), управляющая непрерывным случайным процессом без последействия. Эти уравнения впервые строго были доказаны А,Н. Колмогоровым (хотя второе из них и встречалось до этого в работах физиков) и носят название уравнений Колмогорова Мы предположим, что 1) частные производные ЗЕВ Гя. 10.
Теория стохастическях прочессов и предел 1 Йп — 3' (у — х)тгЕ>ар(е — Ье, х; е, у) = Ь(е, х), а>- О ЕЬЕ ~ > . я ~ < Ь (3) дГ(Е, х; т, у) дГ(е, х; т,») Ь(е, х) д Г(е, х; т,у) — = — а(е, х) (4) дг дх 2 дх' До к а за тел ь с т в о. Согласно обобщенному уравнению Маркова Г(е — Еге, х; т, У) = > Г(е, е; т, У) >Ет Г(е — Ы, х; е, е). Кроме того, в силу свойств функции распределения, Г(е, х; т,у) = /Г(е, х; т,у)>Ее Г(е — ете, х; е, з). Из этих равенств заключаем, что Г(е- Ье,х; т,у) — Г(е,х;т.у) 1 ( (Г(е, гет,у) — Г(е, х; т,у)) ЕЕ,Г(е — Ь е, х; е, т). ,1Е По формуле Тейлора при сделанных нами предположениях имеет место равснс>во д Г(Е, х; т, у'1 Г(е,е;т,у) =Г(Е„х; т,у) + (е — х)- + дх 1 д Г(г,х;т,у) (е «) — — +о((е — х) ).
2 д«2 и зта сходимость равномерна относительна х. Левые части равенств (2) и (3) зависят от Б. Эта зависимость, однако, в силу определения непрерывности процесса (т.е. в силу (1)) является лишь кажущейся. П е р в о е у р а в н е н и е К о л м о г о р о в а. Если только что сформулированные условия 1) и 2) выиолнены, то функция Г(е, х; т,у) удовлетворяет уравнению. Згр 64 Непрерывный случайный лропесс Последующие аналитические преобразования не требуют пояснений: ь(г - Ег г, хг т, у) — Р'(е, х; т, у) Га Г 1 — — — [Ь"(Г, т; т, > ) - Р(г, х; т, у)[ ГГ,Ь'(Г Ь г, х; г, е) + Лг |х — х~>6 1 + ( [Р (г, г; т, У) — )л(Г, хг т, У)[ ЕГх Р (г — 5 г, х; е, т) = .ЬЕ ~а — «~< 6 1 .( [г' (г, е; т, у) — гс(г, ег т, у) [ гг, гс(е — ег е, х; е, е) + Г.'Г Е ~х- хи 6 др(г,х;т,у) 1 — (г — х) ГГ, Ь'(г — е! Г, х, г, г ) + дХ туг ~ — х~< 6 1 д'Ь'(Е, х; т, у) ! — .( [(е — х) +о(т — х) ] Х 2 дх' Ы .
. Х ггср(г — гзг,х;г,т). (5) Перейдем теперь к пределу, положив Еуг -у О. Первое слагаемое правой части в силу (1) имеет своим пределом О. Второе слагаемое,соглас- дЬ но (2), в пределе равно а(г, х) — . Наконец, третье слагаемое дх 1 д 'г' может отличаться от — Ь(», х) —, только на слагаемое, стремящееся 2 дх' к нулю при Ь вЂ” О. Но так как левая часть последчего равенства от д не зависит и только что указанные предельные значения от Ь не зависят, то предел правой части существует и равен дР'(г,х, т,у) ! д Ь'(г,х;т,у) а(Г, х) — + — Ь(г, х)— дх 2 дх' Отсюда мы заключаем о существовании предела: Р'(е — г5 г, х; т, у) — Ь'(е, хе т, у) др(е, хг т, у) 1пп ег-е е! г дг Равенство (5) приводит наск уравнению (4).
Зго Гл. 10. Теория стохастическихпропессов Если предположить, что существует плотность распределения д Т'(», х; т, у) = — Р(», х; т, у ), ду то простое дифференцирование (4) показывает,что плотность Т'(»,х; т,у) удовлетворяет уравнению д)'(», х;,, у) дД», х» т, у) + а(»,х) д» дх 1 дз)'(», х; т, у) + — Ь(»х) ' ' ' =О. 2 д,сз (4') Мы перейдем теперь к выводу второго уравнения Колмогорова. При атом мы не станем стремиться к наибольшей возможной общности и сделаем доцушения, не вызываемые существом дела.
Помимо уже сделанных предположений, мы наложим на функцию Е(», х; т, у) еще такие ограничения 3) существует плотность распределения вероятностей др(», х; т, у) 1(», х;т,у) = — — — — —; ду (6) До каза тел ьс та о. Пусть а и Ь(а(Ь) — некоторые числа и»с(у)— неотрицательная непрерывная функция, имеющая непрерывные производные до второго порядка включительно. Кроме того, мы потребуем, чтобы Я(у)=0 при у(а и у>Ь. '1 Второе уравнение Колмогорова была получено раньше физиками Фоккером н Планком в связи с развитием теории диффузии.
4) существуют непрерывные производные дУ(», х» т, у) д д — [а(т, у)»(», х; т, у) [, — [Ь(т, у) Х(», х; т, у)) . дт ' ду ' ' ' ' ' ду' Второе уравнение Кол мого рова*). Если выполнены усусловия 1) — 4), то для непрерывного случайного проиесса без последействия плотность»'(», х; т, у) удовлетворяет уравнению д('(»,х»т у) д 1 д' = — — [а(т, у) 1 (», х; т, у)] ь — — [Ь(», у)» (», х; т, з)) . дт ду 2 дуз й 54. Непрерывный случайный пропесе 32! Из условия непрерывности функции А(у) и ее производных заключаем, что А(а) =А(Ь)=А (а) =А (Ь) =А (а)=А (Ь) =О. (7) Заметим прежде всего, что д7'(е, х; т, у) д ь 1 — А (у) с!у = —,/ Х(Е, х; т, у ) А (у) еЕу = а дт дт е Я, х; т + ЕЕ т, у) — Е (Е, х; т, у) — !нп ! А (у) ~Еу, ьт о Еат Согласно обобшенному уравнению Маркова Е'(Е„хг т+ 1т,у) = !',Е'(Е,х; т, т)Е'(т, т; т+Егт,у)е(т, поэтому ь дт(т,х; т, у) У вЂ” А(у) Ф = а дт 1 !пп — ! 1 1 е (Е, х; т, г) Ят, т; т + б т, у) А (у) е(т Ыу— ьт о бт — эе ) (е, х; т, У) А (У) й У] = 1 1пп — ]1 Е(Е, х, т,т) 1 Е (т, згт+ бт,у) А(у)с(ус!т— ьт о йт — Ще, хе т, у) А (у) «Еу] = 1 1пп — ( 7'(е, х; т, у) ] /' Дт, у; т + б т, г) А (т) еЕŠ— А (у)] е(у.
ье о бт Произведенные преобразования очевидны: первый раз мы поменяли порядок интегрирования, а второй раз изменили обозначения переменных интегрирования (у на з, а г на у), По формуле Тейлора А(г) = А(у) + (г — у)А (у) + (т — у)т Ан(у) + о((т — у)т]. Так как в силу ограниченности функции А (е) н условия (1) Х(т,у; т+ едет, з)А(т)еЕЕ =о(йт) !у-а!на 11. Б.В. Гнепенко 322 Гл, 1О, Теория стохастичесиих пропсссои т'(т,у;т+ Гат, г) с(г =! +о(г.'гт), !т — .!< ь то Г'Г'(т, у; т + з т, г) А (г) г)г — А (у) = =А (у) )' (г — у))'(т, уг т+ Гзт, г) с(г+ !у-а!< 6 1 + — А (у) 1 [(г — у)'+о(г — у)']1(т,у;т+Гзт,г)г1г+о(стт). 2 !у — а!< ь Таким образом, ь дД(г,хгт,у) Х ' — А(у) агу = а дт 1пп 1 г(г,хгт,у) ~ А(у) ) (г — у)г(т,у;ттгзт,г)огг+ ат о ! у-г !<6 + — Ао(у) ] [(г — у) +о(г — у) ] Х 2 !у-г!<ь Х Г'(т,ут+ Ьт, г) с(г+о( 1зт) агу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
