Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Вероятность того, что произойдут все четыре перечисленных события, в силу теоремы умножения, равна Ро(г х, т) [Р(т х) + о(1)( 1ь. ь Р(е х У) -Р„,(е+ 2)е У, т). Так как т и у могут быть произвольными (г < т < т и — < у < ), то, в силу формулы полной вероятности, Ри(г, х, т) = ) ) Ро(г,х, т)Р(т,х)Р„т(т,У, т)ахР(к„х, У)сЬ= = ( ро(г,х„т)р(т,х) (ри т(т,у,т)т) Р(т,х,у)с)т.
(б) Гл. 10. Теории стохастических происссов Отсюда, в частности, т р, (г, х, т) = )' ро (г, х, а) р(т, х) / ро (и, у, т) А Р(д х, у) с(т, (7) Процесс определения р„(г, х, т) очевиден: по формуле (5) находим ро (г, х, т), по формуле (7) вычисляем р, (г, х, т) и затем последовательно ра (г,х, т),рз((,х, т) и,наконец,р„(1,х, т). П р и м е р 1. Пусть интересующая нас величина с(т) есть числоизменений состояния за время от О до т.
В предположении р(г, х) = а, где а > ) Π— постоянное, найти р„(г, х, т) . Возможными состояниями системы будут в нашем случае все неотрицательные целые числа (х = О, 1, 2,... ) и только они. Так как при каждом изменении состояния величина $ (() увеличивается ровно на 1, то О при у<х, У) 1 при у >х. По формуле (5) имеем: ро(Ох, т)= е '(' Согласно (7) р,(г, х, т) = ( р,((,х, и) р(а, х) р,(а, х + 1,т) (Ь = т = а (е (' Оае (' а1а с(а=а(т — г)е аО '> По формуле (7) Рт(О х, т) = ( Ро(т, х, т) Р(а «) Р, (», х + 1, т) с(г = с Предположим теперь, что й 55. Чисто разрывный пропесс По формуле (7) т Рл (е, х,.
т) = 1 ро (е, х, 5) р (т, х) р„е (е, х + 1, т) ЕЕЕ = = )' (и — 1)! и! Этим доказано, что при любом целом п > 0 1а(т — Е)1" р (Ехт)= е н! Решением нашей задачи является, таким образом, закон Пуассона. В частности, — ат ри(0, О,т) = — е' ". п! Легко сообразить, что функпия 0 при у~<0, Р(т,х;т, У)= ~а(т — Е))л е т-Е1 —,—.Š— 1пр, у>О и(у является решением ннтегроднфференциальных уравнений (2) и (3). П р и м е р 2. В момент Е = 0 имеется ее' радиоактивных атомов. Вероятность распада а~ома в промежуток времени (е, е + езе) равна дезе (е)ье + + о (езе), где а > 0 — постоянное, а Ф (е) — число атомов, не распавшихся до момента Е.
Найти вероятность того, что за время от Е до т произойдет н распадов*). Мы имеем типичный чисто разрывный случайный процесс. Величина с (е), понятно, может принимать только значения О, 1, 2...., ет'(е). По условию задачи (о при х< 0 и х>У, р(е, х) = а(езе — х) при 0 < х ~Езт, 0 цри у<х, Р(Е, х,у)= 1 при у> х. з) Мы предполагаем при зтом, что продукты распада атома сами уже не распадаются и во всяком случае не воздействуют на еше нераспавшиеся атомы, Гл.
10. Теория стохастичесиих оровессов 332 Оценим прежде всего вероятность того, что за время от 0 до ! произойдет и распадов. По формуле (5) т )р(е, о)лт ро(0,0 т) = е о = е' аит Точно так же р,(г,lст) =е '( Далее, по формуле (7) т р,(0,0, т) = ( ро(0,0,г)р(д 0)р„(з, ],т)!(гп о т -ажа )у,. а(тт — !)(т — а) о — 7Уге-ахт )' теа(т-а) Тг — Л!е — акт[опт о 11о формуле (7) легко последовательно найти рз (О, О, т), рз (О, О, т) т.д.
и доказать, что .рп(0 О, т) = С п и аит [еат ]] л (8) (9) Это мы предоставляем читателю. Очевидно, что при 0 (л <Лг — )с имеет место равенство (! )с т) Сл е — а(ж — Я)(т — т) [еа(т — т) 1]п (9' ) Ф вЂ” п рл(г, т) = Х р),(0,0,!) .рл(г, )], т) = я=о И вЂ” л -аФт [,ат ]]л Сл и-а(тт -а)(т- т)[еа(т-т) ]]л а=о % М- )с и — л — ажт [,а(т — т) ]]л а, Ся Сп,а)с(т — !) [,а! 1])с а=о Так как Теперь мы можем перейти к определению интересующей нас вероятности, которую мы обозначим че[юз рл(г,т), По формуле полной вероятности, используя затем (9) и (9 ), находим, что ззз й 56.
Процессы с независимыми лрврашеввямв И гч-и [еа(т — О (еае 1)) е — [1 + а(тт — е) еа(г — е)) л — и а=о то окончательно р О т) Си [е — аа е — ае) и [е-аг + еа(г — е) е — ае [ Ф-и Ф Легко понять, что функция при у< х, Р(г,х; т,у)= 2' р„(г,х, т) при у<Лг — х, и<у 1 при у ) тч' — х является решением интегродифференциальных уравнений (2) и (3) . а 56.
Однородные случайные процессы с независимыми приращениями Мы рассмотрим теперь важный класс случайных процессов, полная характеристика которых будет дана в терминах характеристических функций. Под однородным случайным процессом с независимыми приращениями понимается совокупность случайных величин Е (г), зависящих от одно. го действительного параметра Г и удовлетворяющих двум следующим условиям; ! ) функция распределения величины с (г + ге) — $ (г,) не зависит от ге (однородность процесса по времени); 2) для любых неперекрывающихся промежутков (а, Ь) параметра г приращения величины $ (г), т.е. разности с (Ь) — с (а) взаимно независимы (независнмость приращений), Прежде чем переходить к получению конкретных результатов, мы рассмотрим несколько примеров.
В этих примерах условия, о которых только что шла речь, могут быть приняты в качестве рабочей гипотезы. Естественно, что их допустимость оправдывается только согласием выводов с опытом. П р и м е р 1. Л и ф ф у з и я г а з о в. Рассмотрим молекулу некоторого газа, движущуюся среди других молекул того же газа при условиях постоянных темпераауры и плотности. Введем в пространстве декартовы координаты и станем следить, как изменяется с течением времени одна из координат избранной молекулы, скажем, координата х. Вследствие случайных столкновений данной молекулы с другими молекулами зта координата будет изменяться во времени, получая случайные Гп. 1О.
Теория стохастичесиих пропессов 334 приращения. Требование постоянства условий, в которых находится газ, очевидно, означает собой однородность изучаемого процесса во времени. Ввиду большого числа движущихся молекул и слабой зависимости их движения процесс оказывается с независимыми приращениями. Пример 2. Скорости молекул. Рассмотримсновамолекулу некоторого газа, движущуюся в объеме, наполненном молекулами того или иного газа постоянной плотности и температуры. Отнесем снова все пространство к декартовым осям координат и будем следить,как изменяется со временем компонента скорости по одной иэ осей координат.
В своем движении молекула будет подвергаться случайным столкновениям с другими молекулами. Вследствие этих столкновений компонента скорости будет получать случайные приращения. Мы снова имеем однородный случайный процесс с независимыми приращениями. Пример 3. Радиоактивный распад. Известно,чторадиоактивность вещества состоит в том, что его атомы превращаются в атомы другого вещества, выделяя при этом значительное количество энергии. Наблюдения над сравнительно большими массами радиоактивного вещества показывают, что распад различных атомов происходит независимо друг от друга, так что числа распадов атомов в неперекрывающиеся промежутки времени независимы между собой, Кроме того, вероятности того, что за промежуток времени определенной длины произойдет некоторое число распадов, зависят от длины этого промежутка и практически пе зависят от того, где во времени он расположен.
В действительности, конечно, по мере уменьшения массы вещества его радиоактивность постепенно убывает. Однако для сравнительно небольших промежутков времени (и не слишком больших количеств вещества) это изменение настолько незначительно, что нм вполне можно пренебрегать. Легко привести большое число других примеров, где интересуюшее нас явление природы или технический процесс может рассматриваться как однородный процесс с независимыми приращениями. Укажем дополнительно на такие примеры: космическое излучение (число космических частиц, попавших за определенный промежуток времени на определенную площадку), обрывность пряжи на ватере, загрузка телефонистки (число вызовов абонентов, поступающих за определенный промежуток времени) и пр. Перейдем теперь к выяснению характеристического свойства однородных случайных процессов с независимыми приращениями.
Обозначим функцию распределения приращения величины с(г) за промежуток времени т через Е(х, т) . Тогда, если промежутки времени т, и т, не пересекаются, то г (х, г, + т, ) = ( Р(х - у; т, ) Нэ Р(у, т, ). 335 й 56. Пронессы с независимыми приращениями Если 1'(г, т) — характеристическая функция, т.е. если З'(г, т) = (еи"и' с'(х; т), то равенство (1) в терминах характеристических функций принимает следующий вид: з (г; т, + тг) = ! (г, т, ) з(г, т, ), Вообще, если интервалы времени т,, тг,..., т„не пересекаются, то и я Дг; Х т!,) = ПДг; те). я=! «=1 В частности, если т! = т!....
= т„и Х тя = т, то и= ! д(г, т) = [з'(г; т/п)[п. Таким образом, функция распределения любого однородного случайного процесса с независимыми приращениями безгранично делима. Нужно отметить, что к рассмотрению безгранично делимых законов распределения в теории вероятностей пришли благодаря изучению однородных процессов с независимыми приращениями. Мы видели, что теория безгранично делимых законов распределения оказала решающее влияние на развитие классических задач теории вероятностей по суммированию случайных величин. Если раньше, как мы указывали, интересы исследователей были сосредоточены на определении наиболее широких условий, при которых имеют место закон больших чисе:)и сходимость нормированных сумм к нормальному закону, то после того как А.Н.
Колмогоровым был полностью охарактеризован класс законов, управляющих однородньпаи случайными процессами без последействия, естественно возникли те общие задачи, которые бььчи рассмотрены в предыдущей главе. Оказалось при этом, по основные законы распределения, которые раньше получались как асимптотические, в теории случайных процессов играют роль точных решений соответствующих функциональных уравнений. Более того, зта новая точка зрения позволила выяснить причины, в силу которых в классической теории вероятностей рассматривались только две предельные функции распределения — нормальный закон и закон Пуассона.
Поскольку при произвольном т ) 0 для однородных процессов с независимыми приращениями Дг, т) =[Г(г, 1)[', то они полностью определяются заданием характеристической функции величины с(1) — с(0). В 3 43 мы видели, что для безграничноделимых за- Ги. 10. Теория стохастичесиих проиессов конов с конечной дисперсией 1 !и р(г, 1) = ~уг + с! (еге™ вЂ” 1 — (ги) — ЙС(и), 2 (2) где у — действительное постоянное, а с(и) — неубьваюп1ая функция с ограниченным изменением. Мы ограничимся рассмотрением зтого частного случая однородных процессов. Введем в формуле (2) такие обозначения: и М(и) — ! с!С(х) лля и(0, х 1 Лг(и) = ) — с1С(х) для и>0, и о' =С(+О) -С(-О); тогда она примет следуюптий вид: 2 а о 1пр(г, 1) = туг — — + ) (епи — 1 — 1ги) ЙМ(и) + 2 Си(и) = л / х'с(Ф„(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
