Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 57
Текст из файла (страница 57)
)Хля него в формуле (3) мы должны положи~ь 0 при х< — Л, Г(х) = ! 0,5 при — Л ( х ( Л, 1 [1 при х>Л. П р и м е р 2. Пусть р(г) = Х Ь» р»(г), 'с = ! где 4(г)= $ соил»!+л» з«п л» г, л„— постоянные, Е «у» = 1, случайные » — 1 величины й» и и» удовлетворяют следующим условиям: Мч»» МЛ» О Пча» СУЛ» 1 (1 С УС < и) МЦ Ц = Мт«, и, = 0 при !' Ф «Л М$«Л =0 при !',/=1,2....,л. ') Случайные величины ! и л называю«сл некоррелированными.
если М!л = Мт . мч а 57. Стационарный процесс. Теорема Хннчнна 343 Легко подсчитать, что корреляционная функция для»»т) равна й(и) = 2" Ь~~ соа Х„и а=.1 и что, следовательно, процесс является стационарным в широком смысле. Функция т (х) в формуле (3) растет только в точках и имеет в них скачки размера 0,5 Ьт . Случайные процессы, для которых Ь (х) растет только скачками, называются процессами с дискретным спектром. Легко видеть, что всякий процесс вида »»т)= Х Ь„»„(г) (4) а=1 где 2ц Ь,',( и»а(т) сохраняют смысл, приданный им в примере 2, а=1 является стационарным в широком смысле и имеет дискретный спектр. Важно отметить, что Е.Е.
Слуцкий обнаружил глубокое обратное предложе- ние: всякий стационарный процесс с дискретным спектром представим в виде (4) . Обобщение этой теоремы Слуцкого на случай произвольного спектра будет сформулировано в следующем параграфе, Паратлельно с развитием теории стационарных процессов развивалась теория стационарных последовательностей. Последовательность случайных величин »-т»- » »о, »1»т называется стационарной в широком смысле, если для всех членов последовательности математические ожидания и дисперсии являются постоянными числами, не зависящими от места в последовательности =М» т= и» 5=М»о=М»т=М» =...=а, =О» т=0» ~ =О» =0»1=0»т=...=о о а коэффициент корреляции между», и» является функцией только ~1-! Е В качестве упражнения мы предлагаем читателю 1) вывести, используя результаты а Зб„общий вид корреляционной функции для стационарной последовательности; 2) доказать теорему — если для стютионарной последовательности 11ш И(т) = О, Ги.
1О. Теория стохестических процессов 344 гдето(а) — коэффициент корреляции между «1 и « „, то дпя нее имеет место закон больших чисел, т.е. при и— и Р[ — 2 «„— в1<е[-~1, Л 4=1 каково бы ни было постоянное е) О. з 58. Понятие стохастического интеграла. Спектральное разложение стационарных процессов Для дальнейшего нам необходимо ввести понятие стохастнческого интеграла.
Пусть в сегменте а < г < Ь заданы случайна!й процесс «(г) и числовая функция Я). Разобьем сегмент [в, Ь[ точками а=го <г, «... г„= Ь и рассмотрим сумму и У„= Х Дгс)«(гс)(11 — г,,). 1= 1 Если при шах (г; — г;,)- О эта сумма стремится к некоторому 1<!Яи пределу (представляющему собой, вообще говоря, случайную величину), то этот предел называется интегралом ог случайного процесса «(г) н обозначается символом у = тт (г) «(г) с(г. а Несобственный интеграл (при а = — ',Ь =+' ) определяется обычным путем как предел собственных интегралов при а — — Ь вЂ” ' . Сходимость интегральных сумм У„мы будем понимать в следующем смысле: существует случайная величина У ~акая, что прн л -е М(ӄ— Х)2 О Опираясь на известные теоремы теории функций действительного переменного легко доказать, что последовательность случайных величин Ха сходится к пределу У в смысле (1) тогда и только тогда, котла при пип(гл, л)- йй(,У У„)з - О, (2) На доказательстве этого факта мы останавливаться не станем.
Т е о р е м а 1. Для существования интеграла ь а' = Х т'(г) «(г) с11 а 345 З 58. Спектрапьяое разложение Достаточно, чтобы существовал интеграл В В А = Х) Я(у — и р'(у)У(т)йаЖ. е и Лри атом ь А = М[ 1У(у)с(у) ау) а Д о к а з а т'е л ь с т в о. Действительно, дня доказательства первой половины теоремы достаточно обнаружить, что если существует интеграл А, то имеет место соотношение (2) . Имеем н М(ӄ— У ) =М[ Х ЯЯ(уу)УьуЛз— у= ! — 2М г г У(уу)У((2)йууй(51)ттуу Ь~~ е М[ г Х(~~)Н~~) Ь~~] != !у'=! у'= ! У(~у)У(та) )з(у — та) х уу т! ть— у=! к=! у! ун — 2 2' Х У(ту) Яву)К(ту — ау) У5тудту+ уу=! + Х Х У(з )У(оь)Л(т — оа) у)а Ьау . 1=1 е = ! Здесь численные значения у, и т„т.
н о) совпадают. у В силу предположения о существовании интеграла А, л и А = 1пп 2' Х Яь)Я(ту)й(уь — ту) узууУьта = а=!у-! е ну =1пп Х ~ Яуу)У(зу)й(уу — еу)у5ууЛеу= у=-уу'=! 1пп Е Х У(а )У (оа ) )1(т ' аа) у!ау 25ое у=!а=! если только тпах (тзу„зету) -' О. Таким образом, при уп!п(пу, и) е М(Ум — Уа) О. 346 Гл. 1О.
Теория стохастических процессов Для доказательства второй части теоремы заметим, что л и М[ ~ Т(г!)~(/!)/г!)' =М ~ ~ Т(О)Т(т,)~(г,:)р(т!)//;/т;и ! =1 /= 11= 1 п л = Х Е я;)1(т!) И(г! — т/)/ь/1/Лт/; /=1!=1 при гпах зЛ/! — О последняя часть равенств стремится к А. Наряду с только что введенным понятием стохастического интеграла можно рассматривать также сгохасгический иитеерач Сгилгьеса, который мы определим как предел сумм (3) К=з при шах(Г! — Г! 1)- О.
Здесь по-прежнему а = Го < /1 «... Г„= Ь н предел понимается в смысле () ) . Есз!н предел сумм (3) существует, то мы станем обозначать его символом /.Г(г) /е(г) . е В конце предыдущего параграфа мы сформулировали теорему Слуцкого, выясняющую связь между стационарными процессами с дискретным спектром и рядами Фурье со случайными некоррютированными коэффициентами. Можно доказать, что для каждого стационарного в широком смысле процесса имеет место следующее свойство: каковы бы нн были е) О и (сколь угодно большое) Т, существуют такие попарно некоррелированные случайные величины Ея, П (1 </с <и) и такие вещественные числа Ля(! </с <л)*), что при любом / из сегмента — Т< г < Т выполняется неравенство М[е(г) — Х ($„созЛ„г+п„з!и Л„г))' < е. л=! Отсюда, в частности, следует, что в указанных условиях Р (! ~(/) — - Х (~е со5Ля/+ Пе $!и Ль 1)) ц) <е/ц е=! где т/ — наперед заданное положительное число.
') Числа и и Хя, а также всличииы ць и ч ие зависят от с и Т. й 58. Спектральное разложение 347 Приведем без доказательства следующую важную теорему. Те о р е м а 2. Всякий стационарный в и«ираком смысле случайный процесс представим в виде р(г) = ( сох Л««Ы«(Л)+] зю Л««(?з(Л), (41 о е где случайные процессы l,(Л) и ?з(Л) ооладают следующими свойствами: а) М(?,(Л, + «ЛЛ,) — ?;(Л,)] (? (Л.+ «ЛЛ ) - 7,(Л~)] =О, «',/= 1, 2.
если т Ф/ и для неперекрывающихся отрезков (Л«,Л, + ЬЛ«), (Л,, Лз + «ЛЛэ) такзге при «' =у: б) М ]? «(Л + д«Л) — ? «(Л) ] = М ]Ха ( Л + «Л Л) - ?т ( Л)] . Формулу (4! естественно называть спектральным разложением процесса Цг) .
Случайные процессы ?«(Л1 и Уэ(Л) формулы (41 могут оыть определены посредством равенств 1 т — зщЛг У«(Л) = йт — ) Цт)«(г т- 2а т 1 — соз Лг ?з(Л) = 1пп — ( — -- ~(г) ««т. -'а — т Легко доказать, что оба указанны., интеграла существуют; можно также показать, что Е(Л + ЬЛ) — В(Л) = М]?«(Л+ «ЛЛ) — ? «(Л)]', где Р (Л) определена теоремой Хннчина. Возможность разложения (4) для произвольно«о стационарного в широком смысле с««учайного процесса была указана в 1940 г.
А.Н. Колмогоровым. Этот результат им формулировался в терминах геометрии гильбертовских пространств и доказывачся посредством спектральной теории операторов. Теоретико-вероятностному истолкованию и выводу этого разложения были посвящены впоследствии работы многих авторов — Г. Крамера.
К, Карунена, М, Лоэва, Бланк-Лапьера и др. 348 )л. 10. Теории статистических цроцсссои з 59. Эргодическая теорема Биркгофа — Хинчина В 1931 г. американский математик Георг Биркгоф доказал одну общую теорему механики, которая, как показал через три года А.Я. Хннчнн, допускаес ~лирокое теоретико-вероятностное обобщение.
Эта теорема состоит в следующем:если непрерывный стационарный процесс Ь(т) имеет конечное математическое ожидание, то с и роятностью единица существует предел 1 Глп — ) Цг)с)). т-- То Стационарность процесса предположена здесь в узком, а не в широком смысле этого слова. Так как это предложение представляет собой своеобразную форму усиленного закона больших чисел, то мы докажем ее с целью непосредственного продолжения формулировок главы 6 не для процессов, а для стационарных последовательностей. Т е о р е м а. Для стационарной последовательности случайных величин ,с-1 со с1 для которых М$1 конечно, последовательность средних арирметичсских и — 2: п с=1 с вероятностью единица сходится к пределу.
До к а з ат е л ь с т в о. Введемобозначение йа йа+\ '' ЕЬ Ьаь Ь вЂ” а Нам требуется показать, что с вероятностью единица величины Ьоь при Ь - стремятся к пределу. Обозначим случайное событие, состоящее в существовании этого предела, буквой К.
Нам нужно доказать, что Р(К) = 1 или,что то же самое, Р(К) = О. Предположим обратное, что событие К (т.е. что величины Ьоь прн Ь- не сходятся к пределу) имеет положительную вероятность и покажем, что это предположение приводит к противоречию. О этой целью рассмотрим все сегменты (пи, рп) с рациональными концами о„<б„. Множество всех таких сегментов счетно. Если 1нп Ьо„не ьсушествует, то найдется такой сегмент (и„, йи), для которого йщ ьцр Ьоь ) ь> йи и !цп зцр Ьоь (ои (событие Ки ) . Таким образом.
событие К распада- и- 349 59. Зрголическаи теорема Биркгофе - Хинчина ется на счетное множество несовместимых случаев К„. Так как по предположению Р(К ) > О, то найдется такое и, что Р(К„) > О. Таким образом доказано, что если Р(К) > О, то существуют два числа и и (1(п < ф1, для которых одновременно выполняются неравенства йш зпр Ьоь > б ) йп га1'Ьоь < Предположим теперь, что все 1 приняли какие-то определенные значения. Если сегмент (а, Ы таков, что Ь ь > Д но при всех Ь, для которых а < Ь' < Ь, Ь, ь < Д, то этот сегмент назовем особым [относительно Д .
Легко обнаружить, что два особых сегмента не перекрываются. Лействительно, если два особых сегмента (о, Ь) и (аы Ье ) таковы, что а < а, ( ( Ь ( Ь~, то из равенства (а1 - а)Ьаа а(Ь вЂ” ае)Ьа,ь Ь.- а и неравенствайаь>бвытекает, что или Ь„>били Ь, ь > б. Однако первое из зтих неравенств невозможно, так как сегмент (а, Ь) особый, а второе неравенство так же невозможно, поскольку сегмент (а,, Ь,) особый. Разность Ь вЂ” а назовем рангом сегмента (а, Ь), Если сегмент (а. Ь) являешься особым, имеет ранг на превышающий г и не заключен ни в одном сегменте ранга, не превышающего з, то такой сегмент назовем а.особым.
Так как среди особых сегментов, заключающих в себе произвольный сегмент (о, 1)) ранга, не превышающего г, и имеющих также ранг не больший з, должен найтись хотя бы один наибольшей длины. Если бы таких сегментов нашлось два, то они перекрывались бы, что по ранее доказанному невозможно. Тзким образом, каждый осооый сегмент ранга не большего з, может находиться внутри только одного г-особого (нли же совпадать с ним). Из определения следует, что два з-особых сегмента могут лежать только один вне другого. Обозначим через Ка событие, состоящее в том, что выполнены неравенства (1) и, кроме того, существует такое г(з, что Ьот>Д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
