Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Положим 1 М„(и) = !' — с(С„(х) = л Ф„(и) для и < 0 — х* 1 Ф„(и) = ) —, с!Си(х)=л[! — Ф„(и)) для и>0. и Х Изтого,чгопри л - в точкахнепрерывностифункции С(и) С„(и) С(и) мы по второй теореме Холли делаем вывод, что в точках непрерывности + ) (ени — ! — 1ги) ~У(и). (2') о Выясним теперь теоретико-вероятностный смысл функций М(и) и тУ (и) . В З 43 при выводе формулы канонического представления безграничноделимых законом мы ввели функцию Э 5Ь.
Пропессы снезависимыми прирашениями функции М(и) М„(и) = п Ф„(и) М(и) . С точки зрения случайных процессов, Ф„(х) (х < 0) есть вероятность !')с 1с е 1 того, чзо величина й (т) за промежуток ~ —, — ) изменения парамети п ра т получит отрицательное приращение по абсолютной величине, большее, чем х. Таким образом, М„(х) есть сумма по всем л от 0 до и — 1 вероятностей того, что величина $(т) получит отрицательное приращение скачками /)с )с«1ь по абсолютной величине, большими, чем х, эа промежутки ~ —, — ~ и п изменения параметра т. Поскольку М(и) и !ч (и) являются пределами при п -+ соответственно функций М„(и) и !ул(и), то они получили название функций скачков. Если М(и) ы 0 (для и < 0) и !У(и) — = 0 (для и > 0), т.е. функции скачков отсутствуют, то из формулы (2') видно, что в этом случае стохастический процесс управляется нормальным законом.
Мы видим, что случайный процесс, управляемый нормальным законом, является непрерывным в смысле теории вероятностей. Мы докажем теперь более сильное утверждение. Т е о р е м а. Лтя того чтобы однородный случайный процесс с независимыми приращениями и конечной дисперсией ) управлялся нормальным законом '«), необходимо и достаточно, чтобы при произвольном е > 0 вероятность того, чю максимальное значение абсолютной величины приращемил с(т) за промежутки ~ —, — / ()с = 1, 2,..., п) превзойдет е, стремилась к нулю вместе с 1/п "") . Д о к а з а тел ь ство.
Мытолько что видели,что однородный случайный процесс с независимыми приращениями управляетсн нормальным законом тогда и только тогда, когда при х > 0 М( — х) — = !)с(х) — = О. (3) Так как М(и) = 1нп М„(и) и !!с(и) = 1пп Мл(и), л л «) Теорема верна и без допущения конечности дисперсии. «*) В частности, нормальным законом с дислерисей О, т.е. законом вида р!я) = О при х са, с !х) = 1 лри х > а. «««) Таким образом, пропессы, управляемые нормальным законом, и только они, являются "равномерно непрерывными" в смысле теории вероятностей. Гл. 10, Теория стохастических ироиессов 338 то условие (3) равносильно следующему: Нш пФл(-и) = йш л(1 — Фл(и)1 =О.
(4) л 1'й — 1 Обозначим приращение с(г) в интервале ~ —, — ) через ель, тогда л л Рла и Фл( — х) +1 — Фл(х+О) = Р (~ «л» ~>х). Очевидно, что соотношения (4) эквивалентны такому: л 1пп э Рле =О. Из неравенств л л Рва 1 — ~ Рля ~ П (1 — Рле)<е й! 1, а=1 и=1 мь1 видим, что соотношения (4) равносильны утверждению, что л 1пп П (1 — Рль) = 1, и а=1 которое означает, что вероятность осуществления неравенств ! $„е! < е при всех 1с(1 < й < л) при л .л.
стремится к единице. Иначе говоря, мы доказали, что соотношения (3) имеют место тогда и только тогда, когда прил- Р( илах ~ $„е~ ~ е) О, 1сьил что и требовалось доказать. э 57. Понятие стационарного случайного процесса. Теорема Хинчина о корреляционной функции Процессы марковского типа или, иначе, процессы без последействия, изученные нами в предыдуших параграфах, ни и какой мере не исчерпывают всех запросов естествознания к теории вероятностей. В самом деле, во многих случаях прошлые состояния системы оказывают весьма сильное влияние на вероятности ее будущих состояний, и пренебрегать этим воздействием прошлого нельзя даже при приближенной трактовке вопроса. Принципиально положение может быть исправлено изменением понятия состояния системы путем введения новых параметров.
Так, например, если бы изменение положения частицы в явлениях диффузии или броуновского движения мы стали рассматривать как процесс беэ последействия, й 57. Станнонарныа процесс. Теорема Хннчнна 339 то это означало бы, что мы при этом не принимаем в расчет инерцию частицы, которая, само собой разумеется, в этих явлениях играет существенную роль.
Введение в понятие состояния помимо координат частицы ее скорости в приведенном примере исправило бы положение. Однако сушествуют случаи, когда такое исправление никакого облегчения при решении поставленных задач не дает. В первую очередь здесь следует указать на статистическую механику, в которой указание на положение точки в той нли иной ячейке фазового пространства дает только вероятностное суждение о будущем ее состоянии. При этом ознакомление с предыдущими положениями точки существенно меняет наши суждения относительно ее будущего. В связи с этим А,Я.
Хинчин выделил важный класс случайных процессов с последействием, так называемые с т а ц и о н а р н ы е п р о ц е с с ы. однородно ведущие себя во времени. стохастический процесс с (Г) называется стационарным, если распределения вероятностей лля двух конечных групп переменных с (Г, ), $ (Г,),... се(ге) н се(ГГ + и) с(гг + и), ... с(го + и) совпадают и, значит,не зависят от ю Числа л и н, а также моменты времени Г,, Г,,..., Г„могут быть при этом выбраны совершенно произвольно. ° К стационарным пропессам приводит, например, изучение ряда акустических явлений, в том числе встречающихся в радиотехнике (случайные шумы), а также разыскание скрыл ых периодичностей, интересующее астрономов, геофизиков н метеорологов.
Часто в установившемся технологическом процессе легко подметить явления, протекающие по схеме стационарных процессов. Пля примера рассмотрим процесс прядения. Значительная неоднородность свойств прядильных материалов (длина волокон, их крепость, величина поперечного сечения и пр.), колебания в скорое~и и равномерности подачи продукта на машинах в различные этапы процесса прядения и многие другие причины приводят к тому, что свойства пряжи меняются от одного сечения к другому, При этом оказывается, что знание того ипи иного свойсгва пряжи н какой-либо одной части мотка не дает нам полного знания ее свойств в другой его части.
Но поскольку процесс прядения можно считать установившимся, постольку вероятностные характеристики качества пряжи представляют собой стационарный процесс. Понятно, что любая числовая характеристика стационарного процесса е (Г) не зависит от момента Г н, например. если с (Г) имеет конечную дисперсию, то, очевидно, имеют место следующие равенства: МР(Г+ и) = М$(Г) = МКО) = а, Ре(Г+ и) = рг(Г) = ог(0) = а', М ($(Г + и) ф(Г)) = М($(и) ((О) ) . Зто обстоятельство позволяет без ограничения общности дальнейших ре- Гл.
!О. Теория стохастичесиих процессов 340 зультатов считать а = 0 и о = 1 (для этого, очевидно, достаточно вместо Пс) -е1 с (с) рассматривать отношение о Мы о~рани гимся здесь только изучением важнейшей числовой характеристики с (С) . ее корреляционной функции, т.е.
коэффициента корреляции между величинами е (с) и с(с + и) М[1(с+ и) — М$(с+ и)] [[(с) — М1(с)] А(и) —— хс 0с(с) . Ос(!+ и) В силу сделанного предположения о том, что а = 0 и о = 1. выражение для А (и) принимает более простой вид А(и) = М ( $(и) $(0)) . Мы назовем стационарный процесс не и р е р ы в н ы м, если !пп А(и) = 1. и о В случае непрерывного стапионарного процесса А(и) есть непрерывная функция от и. Лействительно, ! А(и + йи) — А(и) ! = ! М (с(и + хги)е(0)) — М(е(и) е(0)) 1= = ! М ( Сч(0) [С(и + С!и) — $(и)])], Но в силу неранено~на Коши-Буняковского ! М (е(0) [с(и+ Ли) с(и)]) ! < чс Меч(0) М[$(и+ Ьи) — Е(сс)]с.
А так как М12(0) =! М[$(и+ сис) - с(и)] = 2[1 . А(~гги)]. то окончательно ! А(и + С!и) — А(и) ! <,/ 2(1 — А(С)гс)) . Это неравенство доказывает наше утверждение. В теореме, которая сейчас будет доказана, стационарность процесса « (г) можно понимать в следую!нем более широком смысле: процесс е(с) стационарен в широком смысле. если,математическое ожипание и дисперсия $ (г ) не зависят от с. а коэффициент корреляции между с (с ! ) и с (сс) является функцией только ! с, - с, 1. Т е о р е м а Х и н ч и н а. Яля того чтобы функция А(и) представляла корреляционную функцию некоторого непрерывного стационарного про- 34! и 5 Л Стапяонарныа лроаесс. Теорема Ханаана цесса, необходимо и достаточно, чтобы ее можно было представить в виде )т(и) = )'соз их ИЕ(х), где Р (х) — некоторая функция распределения.
До к а з а т е л ь с т в о. Условие теоремы необходимо. В самом деле, если 11(и) есть корреляционная функция непрерывного стационарного процесса, то она непрерьвна и ограничена. Докажем, кроме того, что она положительно-определенна. Действительно, каковы бы ни ба!ли действительные числа и,, и,,..., и„, комплексные числа 77,, т1,,..., Л„и целое число п, имеет место следующее соотношение: О( М~ Х Л„Е(и„)~ =М ( Е 4', Лчт! $(и!)Ци))) = е= ! !=! у=! В силу теоремы Бохнера — Хинчина (з Зб) отсюда следует, что Я(и) может быть представлена в виде Я(и) = 1 е"' с(г(х) . где г (х) — неубывающая функция с ограниченным изменением. В силу вещественности функции Я (и) отсюда получаем; Я(и) = ) сот их аг(х), Наконец, приняв во внимание условие непрерывности процесса: тт(+О) = 1.
находим, что г(+ ) .-Е(- ) = 1, т.е. что Е(х) есть некоторая функция распределения. Условие достаточно. Нам дано, что 11 (и) есть функция вида (1) . Требуется доказать, что существует стационарный процесс Е (!), имеющий своей корреляционной функцией функцию Я(и) . С атой целью для каждого целого и и каждой группы действительных чисел т,, тз,..., т „рассматриваем и-мерный вектор Е (т, ), $ (г!),..., Е (г„), распределенный нормально и обладающий свойствами Мит!) = Миг!) = ...
= М1(тп) = 0, О 1(г,) = С!И7,) =... = Щ(г„) = 1, при любых ! и / коэффициент корреляции между е(т!) и е(г ) равен В(г! — т)), т.е. М~(г!) Кг!) = Я(г! — г!). ! л, !О. Теория сгохастических процессов 342 Вид функции тс (и) обеспечивает положительную определенность квадратичной формы, стоящей в показателе л-мерного нормального закона. Определенный таким образом н о р м а л ь н ы й случайный процесс стационарен и в узком и в широком смысле слова. Локазанная теорема играет основную роль в теории стационарных процессов и в ее физических приложениях.
За подробностями отсьшаем к специальной литературе, для начала к литературе. приведенной в конце книги. При мер 1. Пусть Цг) = [ соз Лг+л зщ Лт, где» и Л вЂ” некоррелированныеа) случайные величины, для которых М» = = МЛ = О. 0$ = С!Л = 1, а Л вЂ” постоянное. Так как я(и) =Мцг+и) р(г) = = м[[ сов л(!+и) +л ° . л(г+и)[ [~ соалт ел ап лт[ = = М [~а соз Лг соа Л(! + и) + $н(з1п Л(г + и) соз Лг + + сов Л(!+и) ып Лт) ьлзип Лгзш Л((+и) = = соа Лт соа Л(г + и) + з«п Лг а!и Л(г + и) = соа Ли, то процесс $(г) ствционарен в широком смысле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
