Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Так как К является пределом для событий К„то Р(К) = 11ш Р(К,). Отсюда следует, что лля всех достаточно больших з имеет место неравенство Р(К,) > О Лалее мы ограничиваемся рассмотрением только таких значений 5. Гл. 1О, теория ссочастнческит процессов 350 Пусть событие К, имеет место. Тогда среди тех г ( а, для которых Ьо, > Д, существует наименьшее г'.
Сегмент 10, г') — особый. Следовательно он заключен в некотором г-особом сегменте (а, Ь) (или же сам является таковым), для которого а<0(Ь, Верно и обратное: если существует а.особый сегмент (а, Ь), лля которого ам О(Ь, то существует такое г ( а, что Ьо, > б. )Тля а = О это очевидно: достаточно положить г = Ь.
Если же а ( О, то из равенства цйао + Ьйоь Ьаь = — ' Ь вЂ” а и неравенств Ь,ь>б, Ь о (Двытекает Ьоь >й. Таким образом, и в этом случае можно положить г = Ь. Обозначим —.а через р, Ь вЂ” а через ц. Так как т.особый сегмент ( — р, — р + ф может существовать только один, то событие Ка разбивается на несовместимые случаи Крц, соответствующие наличию т-особых сегментов (-р, -р е ц): К = 2 К (д=1,2,...,а, р=0,1,...,1 — 1).
юц Замена нумерации последовательное~и 1 = 1+ р переводит случай Ко ц в случай Крц. Поэтому в силу стационарности ) Р(Крц) = Р(Коц) М(ьо1Крц)М(ео1Коц).'1ак как Р(Ка)М(ао ~К ) У вЂ” Р(Крц)М(ео ~ Крц) Р ° ц У Р(Коц) ™Йл ~ Кос) У Р(Коц) М(йоц 1Коц), а л ц то, приняв во внимание, что в случае Коц имеет место неравенство Ьоц > ф„ находим Р(Ка) М(Ео 1Ка) > э' Р(Коц)() = и э — 'Р(Крц) = 1)Р(Ка) Отсюда, так как по предположении) Р(К ) Ф О, то М(1о1К,) > й. *) Обратим внимание, что только в асом пункте мм использовали предположение о стапионарности. 351 5 59.
Эргодичесиаи теорема Биркгофа — Хиичииа Так какК,— К,то М(Ь ~К)) б. Подобным же способом (если бы рассматрнвачи особые сегменты относительно о) можно доказать, что МЯо!К) < а. Мы пришли к противоречию. Отсюда вытекает, что Р(К) = О, что и требовалось доказать. Исследование того, чему равен предел, к которому стремятся величины Коп при л-, требует предварительных рассуждений. Мы ограничимся здесь доказательством одного предложения на зту тему. Т е о р е м а. Если случайные величины»» стационарны, имеют конечную Дисперсию и корреляционная функция 21(К)- О при К- „то йгп Р (Кои -» а) = 1 (а = М$»).
н До к аз а!ел ь с та о. Рассмотрим дисперсию величины Кои. В силу стапионарности имеем Очевидно,что и — 1 2' и!' — !') = 2' (л — К) К(К) . 1Ч 1<1 Ч»» » =1 Рассмотрим столь большое и1, что при К) и имеет место неравенство ~ Л(К) ~ ~~ е (е ) О) . Отсюда следует, что Щ »и и — 1 О»1ои ~ ~а 1л+ 2 2 (п — К)Я(К)+ 2е Х (п — К)1. л' » =1 м»1 Это неравенство, очевидно, усиливается следуюшнм образом: 0~„ Ойои ~ —" [л + 2т(п — 1)+ е(п — и! — 1)(л — тп)), пт Отсюда ясно, что если п достаточно велико, то правая часть зтого неравенства может быть сделана меньше, чем Зе. Таким образом, при л- ' вели- ЧИНЫ йеп ПО ВЕрОятНОСтИ СХОдятея К а, а таК КаК 11Ои СХОдятея Прн Л .
с вероятностью единида„то отсюда следует утверждение теоремы. 552 Гп. 10. Теория стохастических пропсссов Доказанная теорема представляет не только значительный теоретический интерес, но н находит широкие применения в статистической физике и непосредственной технической практике. Причина этого состоит в том, что для определения таких важных характеристик явления, какими являются ййЦт), ОЦт),А(и) в случае стационарных процессов не нужно знать распределения вероятностей возможных значений и вычислять эти величины по соответствуюшим формулам. Определение этих, как говорят в физике, пространственных средних требует от исследователя сведений, которых у него зачастую нет.
И во всяком случае практическая оценка этих величин посредством эксперимента требует многократного осуществления испытаний для процесса Цт). Эргодическая теорема Биркгофа — Хинчина показывает, что с вероятностью единица можно при этом ограничиться единственной реализацией процесса Цт) . ГЛАВА 11 ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИКИ 5 60. Основные задачи математической статистики В теории вероятностей выводятся правила, которые позволяют по вероятностям одних случайных событий вычислять вероятности других, с ними связанных; по числовым характеристикам и функциям распределения одних случайных величин подсчитывать функции распределения и числовые характеристики других.
Но естественно возникает вопрос: как найти этн исходные вероятности, функции распределения и числовые характеристики? Как оценить хотя бы цриближенные нх значения? Это является предметом исследования другой науки о массовых случайных нвленнях, которая получила наименование математической статистики. Как наука с оформившейся тематикой и методами исследования математическая статистика возникла, в сущности, только в нашем двадцатом веке. Однако отдельные задачи возникали н рассматривались задолго до нашего времени — и в девятнадцатом, и в восемнадцатом и даже в семнадцатом веках. Термин статистика происходит от латинского слова "статус" (ата1па)— состояние. Первоначально, в ХЧП1 веке, когда статистика начала оформляться в научную дисциплину, термин статистика связывался с системой описания фактов, характеризующих состояние государства.
При этом даже не предполагалось, что ведению статистики подлежат только явления массового порядка. В настоящее время статистика включает в себя и большее и в то же время более определенное содержание. А именно, можно сказать, что статистика состоит из следующих трех разделов: 1) сбор статистических сведений, те. сведений, характеризующих отдельные единицы каких-либо массовых совокупностей; 2) статистическое исследование полученных данн ы х, заключающееся в выясненнн тех закономерностей, которые могут быть установлены на основе данных массового наблюдения; 3) разработка приемов статистического наблюдения и аналаза статистических данных. Последний раздел, собственно, и составляет содержание математической сгагистпкке Сбор статистических сведений, касающихся главным ооразом населенпа, производился уже давно: имеются сведения, что в 2238 г. до нашей эры в Китае при императоре Яо была произведена перепись населения; производнлнсь переписи населения и в древнем Египте, древнем Иране, Римской 12.
Б.В. Гнеденко 354 Гл. 11. Элементы статистики империи; известны переписи населения в России в 1 245, 1259, 1 273, 1287 1х. и более поздние. Нужно, правда, отметить, что зти переписи были чреэвы. чайно примитивны и в Китае, например, в ~ечение 200 лет население учитывалось путем копировки списков предыдущих переписей. Однако даже такие неполные и несовершенные переписи давали возможность намечать важные государственные мероприятия. Практическое значение статистики в наше время велико. Большим мастером использования статистических методов был В.И.
Ленин. Желая иметь дело не с отдельными фактами, не с отдельными событиями, а со всей совокупностью фактов, желая путем анюгиза массовых явлений вскрыть качественное их своеобразие, В.И. Ленин систематически обращался к статистике. В качестве образца конкретного статистического исследования можно привести работу В.И. Ленина "Развитие капитализма в России". Имеются несколько страниц, к сожалению незаконченной, работы В,И. Ленина "Статистика и социология*' (" Ленинский сборник", т. ХХХ, с. 302), в которой, по-видимому, предполагалось развить общие принципы статистического анализа социальных явлений.
В.И. Ленин высоко ценил статистику как орудие познания реального мира. Его слова, что социально-зкономическая статистика — одно нз самых могущественных орудий социально~о познания, в неменьшей мере относятся и к математической статистике, широко используемой не только в естествознании, но и в экономике, социологии, инженерном деле. Роль математической статистики не ограничивается вопросами обработки экспериментальных данных, а распространяется и на управление технологическими процессами, а также на большую проблему проверки соответствия теории того или иного явления экспериментальным данным, Исходным материалом для статистического исследования реального явления служит набор результатов наблюдений нац ним или же результатов специально поставленных испытаний.
Вопросов, которые при этом возникают, очень много, Укажем теперь некоторые иэ ннх. 1.Оценка значения неизвестной вероятности случайного события. 2.Определение неизвестной функции распределен и я. Задача ставится так: в результате и независимых испытаний над случайной величиной Р получены следующие ее эначенин. Хы Ха,..., Хл. Требуется определить, хотя бы и приближенно, неизвестную функцию распределения г 1х) величины Р.
3.Определение неизвестных параметров распредел е ни я. Часто общетеоретические соображения позволяют сделать достаточно определенные заключения о типе функции распределения интересующей нас случайной величины. Так, например, теорема Ляпунова дает воз- 355 5 60. Задачи математической статистики можность считать, что в определенных случаях функция распределения должна быть нормальной. При этом определение неизвестной функции распределения сводится к определению по результатам наблюдений только неизвестных значений параметров а и а.
Общая задача ставится так: случайная величина 5 имеет функцию распределения определенного вида, зависящую от )с параметров, значения которых неизвестны. На основании последовательных наблюдений величины 5 нужно найти значения этих параметров. Очевидно, что определение неизвестной вероятности р события А является частным случаем только что сформулированной задачи, так как мы можем рассматривать случайную величину 5, принимающую значение 1, если событие А появляется, и значение О, если собьпие А не появляется. Функция распределения $ зависит от единственного параметра р. В $ 50мы рассмотрели результапа наблюдений над числом частиц золота, взвешенных в воде.
Предполагачось, что это число должно подчиняться закону Пуассона и требовалось оценить параметр распределения Х. Рассматриваемая нами задача как раз включает приведенный пример. Решение только что поставленной задачи будет нами дано лишь для нормального распределения ! 1(х!а, а)= е а ~/2яя В этом случае вторая задача, очевидно, может быть разбита на 3 частных вопроса: 1) величина о предполагается известной, требуется оценить неизвестное значение а; 2) величина а предполагается известной, требуется оценить неизвестное значение о; 3) оба параметра а и а неизвестны, требуется оценить их значения.
Более точно эти вопросы могут быть поставлены следующим образом: в результате и неззвисимых испытаний величина $ приняла следующие значения: хт хт '.. х». Требуется указать такие функции а = а(х1,..., х„) и а = о(х,,..., х„) 1в первой задаче а может быть также функцией о, а во второй задаче о может быть функцией а), которые было бы рационально принять за приближенные значения оцениваемых величин а и о. Помимо этого нужно также оценить среднюю точность этих приближенных формул. Иногда предпочтительнее искать ие приближенные значения неизвестных параметров а и ов видефункций а и о,атакие функции а, а (о и о ) от результатов испытаний и известных величин, чтобы с достаточной прак- 12е Гл. 11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
