Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Теория стохастяческвх процессов системе, находящейся в момент го в состоянии х, в момент г перейти в одно из состояний множества Е. Если дополнительное знание состояний системы в моменты г < го не изменяет этой вероятности, то естественно назвать вьщеленный нами класс случайных процессов .п р о ц е с с а м и б е з п о с л е д е й с т в и я или за их аналогию с цепями Маркова — п р о ц е с с а м и м а р к о в с к о г о т и п а. Общее понятие случайного процесса, базирующееся на изложенной ранее аксиоматике теории вероятностей, может быть введено следующим образом. Пусть П вЂ” множество элементарных событий и г — непрерывный параметр. Случайным процессом называется функция двух аргументов ~(Г) = 1е(со, Г) (с т Е й) Для каждого значения параметра г функция че (со, г) является функцией только ео и, следовательно, представляет собой случайную величину.
Дпя каждого фиксированного значения ео (т.е. для кахщого заданного элементарного события) у (со, г) зависит только от г и является, таким обра. зом, обычной функцией одного вещественного аргумента. Каждая такая функция называется ратлизалией случайного лролесса е (г) . На случайный процесс можно смотреть либо как на совокупность случайных величин $ (г), зависящих от параметра г, либо как на совокупность реализаций процесса $ (г) . Естественно, что при этом для определения случайного процесса необходимо задать вероятностную меру в пространстве реализаций процесса.
Почти вся настоящая глава будет посвящена изучению процессов без последействия и только в последнем параграфе мы дадим представление о стационарных процессах. а 50. Процесс Пуассона Мы начнем краткое знакомство с некоторыми фактами теории случайньех процессов с рассмотрения одного важного примера процесса без после- действия, играющего большую роль в ряде вопросов физики, теории связи, теории надежности.
По-видимому, впервые этот процесс был подвергнут исследованию в начале нашего столетия физиками А. Эйнштейном и М.Смолуховским в связи с задачами броуновского движения. Предположим, что в случайные моменты времени происходит некоторое собьпие.
Нас интересует число появлений этого собьпия в промежуток времени от 0 до г. Обозначим зто число через $(г). Относительно процесса появления события мы предположим, что он: 1) стационарен, 2) без после- действия и 3) ординарен. В перечисленные предположения вкладывается следующий смысл. ; 50. Процесс Пуассона 1. С т а ц и о н ар но с т ь означает, что для любой группы из конечного числа непересекающихся промежутков времени вероятность иастуш|ения определенного числа собьпий на протяжении каждого из них зависит только от этих чисел и от длительности промежутков времени, но не изменяется от сдвига всех отрезков вр:мени на одну и ту же величину.
В частности, вероятность появления А событий в течение промежутка времени от г до т+ г не зависи~от т и является функцией ~олько х и г. 2. О т с у т с т в и е п о с л е ц е й с т в и я означает, что вероятность наступления х событий в течение промежутка времени (т, т + г) ие зависит от того, сколько раз и как появлялись события ранее.
Это предположение означает, что условная вероятность появления собьпий за промежуток времени (т, г + г) при любом предположении о наступлении событий до момента г совпадает с безусловной вероятностью. В частное~и, отсутствие последействия означает взаимную независимость появления того или иного числа событий в непересекающиеся промежутки времени. 3. О р д и н а р н о с т ь выражает собой требование практической невозможности появления двух или нескольких событий за малый промежуток вРемени ЬГ. Обозначим чеРез Рэ~ (Лг) веРолтность поЯвлениЯ более чем одного события за промежуток времени г5 г.
Тогда условие ординарности в точном его выражении состоит в следующем: Р> (Ы) = о(Ьг). Наша ближайшая задача состоит в определении вероятностей Ра(г) гого, что за промежуток длительности т произойдут я собьпий. В силу сделанных предположений зти вероятности не завися~ от гого, где расположен этот отрезок времени. С этой целью обнаружим, что при малых саг имеет место равенство Р,(Ь г) = Лт5 1 + о (Ьг), где Л вЂ” постоянное. Действительно, рассмотрим промежуток времени длительности 1 и обозначим через р вероятность того, что за этот срок не наступит ни одно событие.
Разобьем наш промежуток на и равных непересекающихся частей. В силу первого и второго предположений имеет место равенство р= (Ро(11и))",откудаРо(1/и) = р ~ . Отсюданрилюбомпелом х Рой/и) = р ~~ Пусть теперь г — некоторое неотрицательное чу ело. При любом п можно найти такое я, что (х — 1)/и < г ( й/и.
Так как вероятность Ро (г) ес~ь Гл. 10. Теория стохаствческах процессов 296 убывающая функция времени, то Ро ~ Ро(г ) те Ро Таким образом, Ро (г) удовлетворяет неравенствам Р~ " ~Ро(1)рвР' Пусть теперь 1с и и стремятся к бесконечности так, чтобы 1пп в. л Из предыдущего ясно, что при любом г Ро(г) = Р . Так как Ро (г ), как вероятность, удовлетворяет неравенствам О < Ро (г) ~ 1, то могут представиться три следующих случая; 1) р = О, 2) р = 1, 3) О < р( 1. Первые два случая малоинтересны, В первом из них при любом г имеет место равенство Р, (г) = О и, значит, вероятность за промежуток времени любой длительности произойти хотя бы одному событию равна единице.
Пругими словами, с вероятностью единица за промежуток времени любой длительности происходит бесконечно много событий. Во втором случае Ро(1) = 1 и, следовательно, события не наступают. Интерес представляет лишь третий случай, в котором положим р = е где Л вЂ” некоторое положительное число (Л = — 1пр). Итак, из предположений стационарности и отсутствия последействия мы вывели, что цри любом г > О Ро(г) = е Понятно, что при любом г имеет место равенство Р,(г) + Р,(т) + Р>,(г) = 1, Из (1) вытекает, что при малых 1 Р (г) = 1 — Лг + о(г) Следовательно, в силу условия ординарности, Р,(С) = ЛГ + о(Г).
(2) й 50. Пронесс Пуассона Теперь мы можем перейти к выводу формул для вероятностей Ра(г) при я > 1. С этой целью определим вероятность того, что за время г + саг событие наступит ровно к раз. Это может осуществиться я +! различными способами, а именно: 1) за промежуток времени длительности г произойдут все а событий, а за время са à — ни одного; 2) за время г произойдут к — 1 событие, а за время саг — одно; ... к + 1) за время г событие не наступит ни раза, а за время Ы произойдет 1с раз. По формуле полной вероятности Р,(г + Ьг) = Х Рт(г)Р„;(дг) 1=о (при этом принято во внимание как условие стационарности, так и условие отсутствия последействия) . Положим а — 2 Р,(г) Р„,(дг), )=о Очевидно, что а 2 Яа ~~ Е Рь 1(дг) Е Р (Аг) ( у=о < Е Р(сат) = Р> (Ы) = о(ат), а=э согласно условию ординарности.
Таким образом, Ра(г+Ьг)=Ра(г) Р (Ьг)+ Ра 1(г)Р,(Ьг) + о(ду), Далее, согласно (2) Ро(ст г) =е ла' = 1 — ЛЫ + о(саг), Р,(саг) = Л Ьг+о(Ьг), поэтому Ра(г+ ьг) = (1 — лдг) Ра(г) + льгРа (г) +о (ы). Отсюда Р, (г+ дг) — Р„(г) = . ЛР„(г) + Л Р, ,(г) Ьг Гл. 10. Теории стохастических лролессоа 11оскольку при сег - 0 предел правой части равенства существует, сущест- вует и предел левой части.
В результате получаем уравнение т7Р (г) = — ЛР„(г)+ ЛР,(г) ~й для определения Ре (г) . Начальные условия мы выберем такие; Р (О) = 1, Р (0) = О при К > (3) (4) Решение системы уравнений (3) проще всего осуществить посредством замены .(г) = -"".() (5) где ое (г) — новая искомая функция. Заметим, что, в силУ (1) оо (г) = 1. Соотношения (4) приводят пас к таким начальным условиям: ио(0) = 1 и оь(0) = 0 при К > 1. Подстановка (5) в (3) приводит нас к уравнению Ьх(г) = Лоь-т(г).
дг В частности, (7) с7оз(г) СКЕ (7') (Лг)з (Лт)з оз(г) Лг, оз(г), оз(г) 2 3! и вообще (Лк)" иь(т) = —, К! Таким образом, окончательно (лг)" м Р (т)— К! (8) при любом К > О. Задача, стоявшая перед нами, решена. Последовательное решение уравнений (7') и (7) приводит нас лри учете начальных условий к равенствам; й 50. Процесс Пуассона Высказанные нами в начале параграфа условия с большой точностью выполняются в многочисленных естественнонаучных явлениях и технических процессах.
Пля примера укажем на число спонтанно распавшихся атомов радиоактивного вещества за тот нли иной промежуток времени (когда этого вещества не слишком мало и не слишком много); на число космических частиц, попавших на определенную плошадку за промежуток времени г. Если мы имеем дело с какой-нибудь сложной радиотехнической системой, состоящей из большого числа элементов, каждый из которых лишь с малой вероятностью может отказатьв работе за единицу времени независимо от состояния лругих э,темеитов, то число элементов, отказавших за промежуток времени (О, г), представляет собой случайный процесс.
Этот процесс во многих случаях будет хорошо описываться только что рассмотренным процессом Пуассона. Число подобных примеров можно увеличивать без всяких затруднений. Промежуток времени, протекший между появлениями двух цоследовательных появлений интересующих нас собьпий, представляет собой случайную величину, которую мы обозначим через т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
