Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Доказательство этого факта запекает нз того факта, что если случайная величина р с функцией распределения А(х) представнма в виде суммы р = р, + р, независимых случайных величии р, и рз, то Ф(г) = Ф! (() Фз(г) из определения безграничной делимости. 289 Упражнения П р и м е ч а н и е. Отсюда, в частности, следует, что распределение Лапласа (упр. 6 к гл. 5) безгранично делимо. 4. Найти функцию С(х) и параметр т в формуле Колмогорова для логарифма безгранично делимой характеристической функции для распределений: а) примера 2, 6) Лапласа. 5. Показать, что если сумма двух независимых безгранично делимых случайных величин распределена.
а) па закону Пуассона, 6) па нормальному закону, то каждое слагаемое распределено в случае а) по закону Пуассона, б) по нормальному закону. 6. Найти условия сходимости функций распределения сумм случайных величин, составляюпзих элементарную систему, к распределению: а) примера 2, 6) Лапласа. 10. Б.В. Гнсдснко ГЛАВА 10 ТЕОРИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ з 49. Вводные замечания Совершенствование физической статистики, а также ряда отраслей техники, поставило перед теорией вероятностей больцюе число новых, не укладывающихся в рамки классической теории, задач.
В то время как физика и техника интересовало изучение п р о ц е с с а, т. е. явления, протекающего во времени, теория вероятностей не имела ни общих приемов, ни разработанных частных схем для решения задач, возникающих при изучении таких явлений. Появилась настоятельная необходимость в разработке общей теории случайных процессов, т. е. теории, которая изучала бы случайные величины, зависящие от одного или нескольких непрерывно изменяющихся параметров. Перечислим несколько задач, иллюстрирующих необходимость построения теории случайных процессов.
Представим себе, что мы задались целью проследить за движением какой-либо молекулы газа или жидкости. Эта молекула в случайные моменты времени сталкивается с другими молекулами и меняет при зтом свои скорость и положение. Состояние молекулы, таким образом, подвержено случайным изменениям в каждый момент времени.
Многие физические явления требуют для своего изучения умения вычислять вероятности того, что определенное число молекул успеет за тот или иной промежуток времени переместиться на то нли иное расс~ояние. Так, например, если приведены в соприкосновение два газа или две жидкости, то начинается взаимное проникновение молекул одной жидкости в другую: происходит диффузия. Как быстро протекает процесс диффузии, по каким законам, когда образующаяся смесь становится практически однородной? На все зги и многие другие вопросы дает ответ статистическая теория диффузии, в основе которой лежит теория случайных процессов, или, как принято теперь говорить, те ори я стохасти ческих процессов.
Очевидно, что подобная же задача возникает в химии, когда изучают процесс химической реакции. Какая часть молекул уже вступила в реакцию, как реакция протекает во времени, когда практически реакция уже закончилась? Весьма важный круг явлений протекает по принципу радиоактивного распада. Это явление состоит в том, что атомы радиоактивного вещества й 49. Вводные замечания 291 распадаются, превращаясь в атомьг другого элемента. Распад каждого атома происходит мгновенно, подобно взрыву, с выделением некоторого количества энергии.
Многочисленные наблюдения показывают, что распад различных атомов для наблюдателя происходит в случайно взятые моменты времени. При этом расположение этих моментов времени независимо друг от друга в смысле теории вероятностей. Для изучения процесса радиоактивного распада существенно определить, какова вероятность того, что за определенный промежуток времени распадется то или иное количество атомов? Формально, если задаваться только выяснением математической картины явлений, точно так же протекают н другие явления: число вызовов, поступающих на телефонную станцию за определенный промежуток времени (загрузка телефонной станции), обрывность нитей на ватере 1ватер — прядильная машина) нли изменение числа частиц, находюцихся в броуновском движении, оказавшихся в какой-либо момент времени в заданной области пространства.
Мы дадим в этой главе простое решение тех математических задач, к которым приводят указанные явления. К тому, с чем мы только что познакомились, добавим следующее: первые задачи физического характера, являющиеся одновременно задачами теории случайных процессов, бьши рассмотрены выдающимися физиками начала нашего века. Изложим сейчас вкратце, как, исходя иэ рассмотрения весьма схематической проблемы блуждания по прямой, Максом Планком и Фоккером было получено дифференциальное уравнение теории диффузии. Пусть частица, находящаяся в момент времени г = 0 в точке х = О, в моменты кт (к = 1, 2, ...) испьпывает случайные толчки, в резулыате которых она каждый раз перемешается с вероятностью р на величину Ь вправо и с вероятностью 2 = 1 — р также на величину й влево.
Обозначим через .Г1х, г) вероятность того, что частица в результате п толчков окажется в момент г (г = лт) в положении х (ясно, что при четном числе толчков величина х может равняться только четному числу шагов Л, а при и нечетном — только нечетному числу шагов й). Если через л4 обозначить число шагов, сделанных частицей вправо (соответственно и — гл есть число шагов, которые частица совершила влево), то согласно формуле Бернулли )(х,г)=С„р я Ясно, что величины т, и, х и и связаны равенством т — 1л — т) = х/л. Легко убедиться непосредственным подсчетом, что функция 1'(х, г) удовлетворяет разностному уравнению .Г(х, 1+т) = ру(х — Ь, г) 4 д1х+Ь, т) 1пь Гл.
10. Теории стохастаческих пропессов и начальным условиям Г(0,0) = 1, т'(х,О) = О при х Ф О, Посмотрим, во что превратится написанное разностное уравнение, если заставить стремиться к 0 как й, так и т. Физическая природа заставит, оказывается, наложить на д и т некоторые ограничения. Точно также вели. чины р и д не могут быть взяты произвольно. Несоблюдение условий, о которых пойдет речь, может привести к тому, что за конечный промежуток времени частица с вероятностью единица уйдет в бесконечность. Для того чтобы избежать такую возможность, наложим следующие требования: прид- йна р — д с х=нй, с=лт, —.+ 2.0, (2) т ' д Р ' где с и Р— некоторые постоянные. Величина с носит наименование скорости течения, а Р— коэффиниенш диффузии.
Отнимем от обеих частей равенства (1) величину т'(х, т). В результате получаем г'(х, г + т) — Г(х, т) = р [ Г(х — Ь, г) — г (х, т)) + + о (Г(х + Ь, г) — У(х, т)1. (3) Предположим, что т (х, г) дифференцируема но т и дважды дифференцируема по х. Тогда д т" (х, г) 1'(х, г + т) — )'(х, г) = т - — + о ( т ), дт дД(х т) 1 дтДх т) Г.(х,т)+ Г(х ~г,г) = -Ь ' + — йт- ' +,(йз) дх 2 дхт дГ(х г) 1 д у'(х т) У(х+й, т) — Я(х, т) = й- + — й' ' +о(й') дх 2 дх' После подстановки этих равенств в (3) получаем Щх, т) дУ(х, т) й' д7(х, т) т — +о(т) = — (р — д)Ь + — — +о(н') дт дх 2 дх' Отсюда, в силу соотношений (2), находим, что в пределе д((х,т) ду(х,г) д'((х,т) = — 2с +Р дг дх дг й 49. Вводные замечания Мы получили уравнение, носящее в теории диффузии наименование уравнения Фоккера — Планка Интересно отметить, что при довольно искусственной постановке задачи получен физически осмысленный результат, хорошо отражающий истинную картину процесса диффузии.
Позднее мы дадим вывод общих уравнений, которым подчиняются распределения для случайных процессов при весьма общих предположениях об их протекании. Начало обшей теории стохастических процессов было положено фундаментальными работами советских математиков А.Н. Колмогорова и А.Я. Хинчина в начале тридцатых годов. В статье А.Н.
Колмогорова *'Об аналитических методах в теории вероятностей" бььчо дано систематическое и строгое построение основ теории с т о х а с т и ч е с к и х п р о ц е с с о в без последействия или,какчастоговорят, процессов марк о в с к о г о тип а. В ряде работ А.Я.Хинчина бьща создана теория так называемых стационарных процессов. Заметим, что прежде чем подвергнуть математическому изучению те или иные явления природы или технические процессы, нужно их схематизировать. Причина этой необходимости лежит в том, что математический анализ применим к исследованию процесса изменения некоторой системы только в том случае, если предположено, что каждое возможное состояние этой системы вполне определено посредством некоторого определенного мате.матического аппарата.
Понятно, что такая математически определимая система не есть сама действительность, но лишь схема, пригодная для ее описания. С такой картиной мы встречаемся, скажем, в механике, когда предполагаем, что реальные движения систем материальных точек полностью могут быть описаны для любого момента времени указанием этого момента времени и ее состояния в любой предыдущий момент времени гв. Иными словами, схема, которая принимается в теоретической механике для описания движения, состоит в следующем: принимается, что для любого момента времени г состояние системы у полностью определяется ее состоянием х в любой предыдущий момент времени гв. При этом под состоянием системы в механике понимается задание положения точек материальной системы и их скоростей.
Вне классической механики, собственно, во всей современной физике, приходится иметь дело с более сложным положением, когда знание состояния системы в какой-либо момент времени гв уже не определяет однозначно состояния системы в последующие моменты времени, а лишь определяет вероятность того, что система будет находиться в одном из состояний некоторого множества состояний системы. Если через х обозначить состояние системы в момент гв, а через Š— некоторое множество состояний системы, то для только что описанных процессов определена вероятность Р(г„х, г, Е) Гл. 1О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
