Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 44
Текст из файла (страница 44)
нием мтя отсылаем читателя к упоминавшейся монографии Гнеденко и Колмогорова. В качестве простого следствия излагаемых нами общих теорем мы получим упомянутое нами необходимое и постаточное условие сходимости функций распределения сумм к нормальному закону. Последний параграф главы посвяшен новому направлению исследований — предельным теоремам для сумм случайного числа случайных слагаемых.
б 42П Свойства безгранична деланых законов 2бб 5 42. Безгранично депимые законы и их основные свойства Закон Ф(х) называешься безгранично делимым, если при любом н его характеристическая функция является н-й степенью некоторой другой характеристической функции. Исследования последних пет показали, что безгранично депимые законы играют значительную роль в различных вопросах теории вероятностей. В частности, оказалось, что класс предельных законов дпя сумм независимых случайных величин совпадает с классом безгранично депимых законов.
Мы перейдем теперь к изложению необходимых нам для дальнейшего свойств безгранично-депимых законов. Это изложение мы начнем с доказательства того, что законы нормальный и Пуассона безгранично ценимы. Лействительно, характеристическая функция нормального закона, имеющего математическое ожидание а и дисперсию о, равна 2 2вс — — С 1 2 2 р(г) = е При любом и корень н-й степени из ьс(г) есть снова характеристическая функция нормального закона, только с математическим ожиданием атн и дисперсией аз/н Мы несколько обобщим встречавшееся ранее понятие закона Пуассона и скажем, что случайная величина $ распределена по закону Пуассона, если она может принимать только значения а!с + Ь, где а и Ь вЂ” вещественные постоянные, а к = О, 1, 2,...
и е- лЛь Р(е = а/с + Ь) = (1) И! где Л вЂ” попожитепьное постоянное. Характеристическая функция дяя закона (1), как легко подсчитать, дается формулой 102 зс — 1121ьс мы видим, что при любом а корень н-й степени из ч2(г) есть снова характеристическая функция закона Пуассона. но с другими параметрами: Л 1 а, — и — Ь. н и Т е о р е м а !. Характеристическая функция безгранично делимого закона не обращается е нуль. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Ф(х) — безгранично цепимый закон н р(г) — его характеристическая функция. Тогда, по опрецелению, при любом п мы имеем равенство ~(г) =( .(1))", (2) Гл.
9. Теаряя безгранично льняных законен где Р„(г) — некоторая характеристическая функция. В силу непрерывности функции Р (г) существует область значений аргумента ! г! < а, в которой Р (т) Ф О; цонятио, что в этой же области Р„(г) Ф О. Прн достаточно большом н мы можем величину 1 Р„(т)1 = ~/ 1 Р(г)1 сделать сколь угодно близкой к единице равномерно по т (! т1 < а). Возьмем теперь две взаимно независимые случайные величины и, и и„ распределенные по некоторому закону Е(х), н рассмотрим их разность П = П1 — 1!з, Характеристическая функция величины и равна ~.~(т) !ь)е 1 я !йае ~ )2 !г(г))2 Мы видим, хаким образом, что квадра~ модуля любой характеристической функции является характеристической функцией.
Далее, так как вещественная характеристическая функция имеет вид у'(Г) =) созхМг(х), то, следовательно, мы можем написать неравенство 1 — К(2т) = 3(1 — соз2хг) дЕ(х) = 2) ил зхг г1Г(х) = = 2) (1 — сотке) (! + созхг) г(Г(х) » 4) (1 — созхг) гЖ(х) = 4(! — Р(г) ) . Из сказанного мы видим, что функция 1Ф„(г)! удовлетворяет неравенству 1 — ~~д,(21)1» 4(! — ~ ~Рн(г)! ). Из этого неравенства следует, что если и столь велико, что 1 — ! Р„(г)1 < < е прн 1г~ »а, то в тойже области 1 — |,г„(2г)1» ! — 1чг„(2т)1' < 4(! — ! Рн(г)!') < б(1 — ! Р,(г)!) < Зе.
Итак,вобласти 1!1» 2а 1 — 1~Рн(Г)1» бе. Таким образом, при достаточно больших п в области ! П < 2а, Р„(г), а вместе с тем н Р(т) в нуль не обращаются. Подобным же способом мы докажем, что Р(г) чь О в области ! г! < 4а, и тд. Это доказывает нашу теорему. Т е о р е м а 2. Функция распределения суммы независимых случзаных величин, ииевигих безгранично делимме Функции распределении, также базе!занично Делима. До каза т ель с т во. Очевидно, что для доказательства теоремы достаточно ограничиться случаем двух слагаемых. если Р(г) и чР(г)— характеристические функции слагаемых, то по условию теоремы газ й 43.
Каноническое представление при любом п имеем: ~() = ЬЪ(с))", ф(с) = (ф.(с))", где чзи(с) и ф„(с) — характеристические функции. Поэтому характеристическая функция суммы при любом и удовлетворяет равенству х(с) = ч)(с) ф(с) = ( р„(с) . Ф„(с))". Т е о рема 3. Функция распределения, предельная (в смысле сходи- мости в основном) для последовательности безгранично делимых фунссций распределения, сама является безгранично делимой, До к аз а т ел ь с т в о. Пусть последовательность Ф(")(х) безгранично целимьсх функций распределения схоцится в основном к функции рас. пределения Ф(х). Тогда !пп р(к)(с) =)з(с) (3) равномерно в кюидом конечном интервале с. По условию теоремы при люи бом п функции (под,Г понимается его главное значение) Ф(к)(с) = 7 (к)(с) (4) являются характеристическими функциями.
Из (3) заключаем, что при каждом п !пп р(к)(с) = р„(с). (5) Из непрерывности чс„(с) следует непрерывность чси(с). В силу предель(к) ной теоремы дпя характеристических функций, р„(С) есть характеристическая функция. Из (3), (4) и (5) находим, что при каждом и имеет место равенство р(с) = ( р„(с))", что и требовалось доказать, й 43. Каноническое представление безгранично делимых законов В дальнейшем мы ограничимся изучением безгранично делимых законов с к о печной ди с пер с не й. 1(елью настоящего параграфа является доказательство следующей теоремы, найденной в 1932 г.
А.Н. Колмогоровым и дающей полную характеристику интересующего нас класса законов распределения. Тес р е м а 4. Лм того чтобы' функция распределения Ф(х) с конечной дисперсией была безгранично делимой, необходимо и достаточно, что- 268 Гл. 9, Теория безгранично делимых законов бы логирифм ее характеристической функции имел вио 1 1и зз(г) = гтг + ] (егзк — 1 — (гх) — «(с(х), х где 7 — веитественнал настоянная, а 0(х) — неубывающая функцил ограни«силой варииции.
При х = О подынтегральная функция считается равной — г )2. Д о к а з а т с л ь с т в о. Предположим сначала, что Ф(х) — безгранично делимый закон и р(г) — его характеристическая функция. Тогда при любом и р(г) — (р (О)", где ч н(т) — некотоРаЯ хаРактеРистическаЯ фУнкциЯ. Так как Р(Г) зь О, то это равенство эквивалентно следующему *): Ы р(т) = п1п ци(Г) = п!л(1 + р„(Г) — 1)] . Каково бы ни было Т, при и — ь равномерно в интервале ~ г] ( Т рв(т) 1 поэтому в любом конечном интервале значений г величина ] ко„(г) — 1~ может быль сделана меньше любого. наперед заданно~о числа, лишь бы и было досзазочно велико.
Мы можем, следовательно, воспользоваться равенством 1п(1 ь (чз„(!) 1] = (р„(т) - 1) (1 + о (1) ), которое дает: 1пчк(т)= 11лз п(р,(г) 1)= бщ я)(елк — 1)гзфв(х), (2) н где Ф„(х) — функция распределения, имеьощая рв(т) своей характеристической функцией. Из определения математического ожидания и связи между функциями Ф„(х) и Ф(х) следуез,что н]хг)кРв(х) = (хг)Ф(х) . Обозначим эту величину через 7: тогда равенство (2) мьв можем переписать в следующем вице: 1п р(т)=17т+ 11щ !3) (ел" 1 lгх)с(Фн(х). нПоложим теперь к Пн(х) =и,/ и с(Фн(и).
ь1 Логврвфлк алесь ввнимасзсв в смысле главного значения 9 43 Каноническое нрелсчсинснис 269 Очевидно, что функции 6н(х) не убывают с возрастанием ар1умента н 6„( — ») = О. Кроме того, функции 6„(х) ограничены в совокупности. Последнее утверждение вытекает из свойств дисперсии и связи между функциями Ф(х) и Ф„(х) .
Деиствнтельно, 6„(+ ) = и )'и'61Ф„(л) = = и ! 1н'~2Фн(н) — ( Хне)Ф„(н))' ! ч н( Хит)фн(н))) = о" + — у', (3) т Л где о — дисперсия закона Ф(х), В новых обозначениях (см. свойство 6 интеграла Стюттьеса в а 22) 1 1йсе(г) = 1 г г + !1т ) (енх — 1 -- Их) — В6„(х), ив х~ Согласно первой теореме Хеппи, из последовательности функций 6„(х) можно выбрать лодпоследовательность, сходяшуюся к некоторой прецельной функции 6 (х) . Если А < О и В ) О являются точками непрерывности функций С(х), то в силу второй теоремы Хеппи при й — ' ) (е"" — 1 — Вх) —,В6„(х) ) (е"" — 1 — «х) — с(6(х). (4) А х Мы знаем, что ! е"" 1 — Вх ! < ! гни .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
