Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 42
Текст из файла (страница 42)
В действительности же всегда наблюдается некоторое отклонение от этой нормальной величины. При правильно поставленном процессе производства такие отклонения могут вызываться лишь случайными причинами, каждая из которых произ- Гл. 8. Классическая прелеаьная теорема 250 водит лишь незаметный эффект.
Суммарное же их действие производит заметное уклонение от нормы. Подобных примеров можно привести сколько угодно. Таким образом, возникает задача изучения закономерностей, свойственных суммам большого числа независимых случайных величин, каждая из которых оказывае~ лишь малое влияние на сумму. Этому последнему требованию мы придаднм позднее более точный смысл. Вместо того чтобы изучать суммы очень большого, но конечного числа слагаемых, мы будем рассматривать последовательность сумм со все большим и большим числом слагаемых и считать, что решения интересуюших нас задач даются предельными функциями распределения для последовательности функций распределения сумм.
Такого рода переход от конечной постановки задачи к предельной является обычным как для современной математики, так и Лля многих отделов естествознания. Итак, мы пришли к рассмотрению следуюшей задачи; дана последовательность взаимно независимых случайных величин о которых мы предположим, что онн имеют конечные матемашческие ожидания и дисперсии. В дальнейшем мы станем придерживаться следуюшнх обозначений: аь =Мах, Ь =0$а, В'„= Х Ь' =0 Х е=~ к=! Спрашивается, какие условия нужно наложить на величины й», чтобы функции распределения сумм (2) сходились к нормальному закону распределения? В следуюшем параграфе мы увидим, что для этого достаточно выполнения условия Линдеберга: при любом г > О и 1пп — Е ) (х — аа)эйР„Я = О, ь В„ь = Ых — аь~ > твь где Еь(х) обозначает функцию распределения величины 4.
Выясним смысл этого условия. Обозначим через Аь событие, сосгояшее в том, что ) «ь — аа ) > тВ„(х = 1,2,...,п') 251 а 40. Теорема Лиллееерга и оценим вероятность Р ( !пах 1 $„— аь!>тВ„) !кькл Так как Р ( !пах 1$е - а„,'>тВ») = Р(А, + А! +... +Ал) !кьел Р(А, +Аз +... + Ал) » <2' Р(А! ) е =1 то, заметив, что 1 Р(Ае) = ) дЩх) < ) (х — ае)таге(х) !х — ах!> тВ» л) !х — аь! > тВ» 'В о находим неравенство л Р ( и!ах ~ $х — а1, ~ > тВ») ( — а. ) (х — ах) дРх(х). 1Кье» т~В„'Е = ! !х — аа1>твл В силу условия Линдеберга, каково бы ни было постоянное т > О, последняя сумма при п — стремится к нулю. Таким образом, условие Линдеберга представляет собой своеобразное требование равномерной малости 1 слагаемых — (й„— ае) в сумме (2) .
Вл Отметим е!це раз, что смысл условий, достаточных для сходимости функции распределения сумм (2) к нормальному закону, был вполне выяснен уьхе исследованиями А.А. Маркова и А.М. Ляпунова. 5 40. Теорема Линдеберга Мы начнем с доказательства достаточности условия Линдеберга. Т е о р е м а. Если последовательность взаимно независимых случайных величин йг,$т,...,й„,... при любом постоянном т> О удовлетворяет условию Линдеберга л йщ 2, ) (х — а„)'бра(х) = О, (1) л Вл Е = 1 1х — аь!>тВ» Гл.
8. Класснческая предельная теорема 252 то при и — ' равномерно относительно х и 1 1 Р1 — 2 Я„- аа)< х ~ — ( и * г~ей. Л о к а з а т е л ь с т в о. Лпя краткости введем обозначения р„ — аа г =, с' а(х)=Р($ <х), Ви Очевидно,что 1 М$„,, б, 0~„а !У~а иа Вз а и, следовательно, !~ела к =г (2 ) Легко убедиться, что условие Линдеберга в этих обозначениях принимает следующий вид: !пп 2' ) х'с!г"„а(х) = О.
(1') и а=! ~а!>т Характеристическая функция суммы и и — 2' Я вЂ” аа)и 2 Виь=г л=г равна р„(г) = П,Г„а(г). «=г Нам нужно доказать, что йгп сг„(г) = е и 4и„(г) — 1 = )'(еох — ! — Лх) г!т'ил(х) . С этой целью мы установим прежде всего, что множители у„а(г) при и — равномерно относительно Ц! < Ы и) стремятся к 1. Лействи гельно, принимая во внимание равенство М $„а = О, находим, что 253 б 40. Теорема Линдеберга Так как при любом вещественном а ) ! ега — 1 — га(< ат/2, то ~ Т„«(г) — 1 ( < — ) хтН' «(х) .
Пусть е — произвольное положительное число; тогда очевидно, что Хх'г/~и«(х) = Х х'Ыи«(х)+ У х'г/Яп«(х) <е + /' х'г/Рп«(х). )х!<е!х!Ье !х!) е Последнее слагаемое может быть, согласно (! ), при достаточно больших и сделано меньше, чем е'. Таким образом, для всех достаточно больших и равномерно отноагтельно /с(1 </г <и) и г в любом конечном интервале 1г!<Т ()и«(Г' 1 ~ < тТт Отсюда мы заключаем, что равномерно относительно /с(1 < /г < и) бп) ги«(Г) и и что лля всех достаточно больших л при г, лежащих в произвольном конечном интервале ~ ! ( < Т, выполняется неравенство (5) Мы можем, следовательно, в интернале (г(< Т написать разложение «) Это неравенство и целую серию ему подобных можно вывести хотя бы следуюшим путем.
Ит тот, что (о> О) )е — 1!=!/е г/х!<о е вытекает неразснсгво оз !е — 1-гг )=!!' (е — 1)с!х!< —. «г з 2 Из последнего неравенства далее следует, что й' з з зй о зх !х х и ! е — 1 — !о + — ! = ! / (е — ! — !х) з/х ! < / ! е — 1 — гх ! с/х < / — пзх = —, 2 з з 2 б и т.д Гп. В. Классическая предельная теорема (1п ооозначает г л а в н о е з н а ч е н и е логарифма). 1п рл(!) = Х 1п !'„а(г) = Х 1и (! е (Гла(г) — 1)) = «=! а=! ~ (,('„а(г) — 1)+А„, (6) гле л ( 1)а А = ч' Х 0' а(г) — 1)' а=! г=2 а В силу (5) л 1 )!и ~ -- ~ ~ — 1Хла(!) — 1 ~' л а=!а=-2 2 л )г (г) 112 — Х < 2 а = ! 1 — !)'„а(г) — 1 ! Так как л л 1У;а(г) — 11= Х ~ У(егьа !си! а=! ~ 1Уаа(!) — 1 ~' — 1 — гтх) йЕиа(х) ) < Гг л 22 — 21 )'хапала(х) =— 2 а=! 2 то гг (Ли!< — - игах 1~„а(г) — 1 ~.
2 !<ь<л Но и !' (у а(г) — 1)= — — +" а=! 2 (81 где 12 рл = — + Е ((ел" — 1 — ггх) с!гиа(х). 2 а=-! Из (4) вытекает,что равномерноотносительно т в произвольном конечном интервале ! 1!< Т, при ив 255 5 40. Теорема Ляллеберга Пусть е> О произвольно; тогдав силу (2 ) л зс и (ССХ)з '1 ри = Х )' ~ессх — 1 — Ссх — — — ) абри»(х) + Ки11 ~ка 2 и Г Г'х' 2' ) ~ — + енх — 1 — йх дри„(х). » и11Х1)е 2 Неравенства (3) и (3 ) позволяют получить следующую оценку: ~з л ! р„! К - Х ) ~ х ~едри»(х) + сз Х 1 ха с)Р'„к(х) < 6»=11х1ка К = 1~а~) а и и ~ — — -- е 2 У Х дрлк(Х) + Г 2 ) Х асРик(х) = 6 К '= 1~х1) а ~113,! 1Г! К и, . е+ с'~1 — 6~ 2.
) х сс Рл»(х). 6 6 »=11х~)а Согласно условию (1) второе слагаемое при любом е> О может быть сделано меньше любого ГС > О, лишь бы п бьшо достаточно большим. Атак как е > О произвольно, то мы можем его выбрать настолько малым, чтобы, каковы бы нн были 11 > О и Т, для всех с, заключенных в интервале 1 Г ) < Т, выполнялось неравенство (и> по(е и Т)1.
~ р„!(2сс Это неравенство показывает, что равномерно в каждом конечном интервале значений с 1пп ри = О. (9) Собрав вместе соотношения (6), (7), (8) и (91, мы получаем окончательно, что равномерно в каждом конечном интервале с бт )п„и(с) = — Гз Гз и Теорема доказана. Сл е де та не.
Если независимые случайные величины»1,»з. одинаково распределены и имевт конечнув отличнув от нуля дисперсию, то при п — ' равномерно по х и х р1 — х (4-м$,)< 1- )' (В„» = 1 х/2пп Гя. 8. Классическая предельная теорема 256 Ло к аз ат ель с та о. Нам достаточно проверить, что при сделанных предположениях выполнено условие Линдеберга. С этой целью заметим, что в нашем случае В„= Ьъ/и, где Ь обозначает дисперсию отдельного слагаемого.
Положив М86 х а, мы можем написать следующие очевидные равенства: л 2' —; )' (х — а)'с(Е„(х) = е = ! В„' ~х-с~ > тв„ 1 1 —, и ) (х --а)'аЕ!(х)= —, / (х - а)'дЕ,(х). нЬ ьх — с~ > твх Ь ~х — а!>твк В силу предположения о конечности дисперсии и ее положительности заключаем, что интеграл, стоящий в правой части последнего равенства, стремится к нулю, когда ив Т е о р ем а Л яд у нов а. Если для последовательности взаимно независимых случайных величин Е!,Ет,..., $„,... можно подобрать такое положительное число Ь > О,что лри л- ' 1 и 2' М~3.— ах!' - О, (10) В'„' е= ! то лри п — ' равномерно ло х И х Р~ — 2' Д вЂ” ае)<х — — = ) е ' ~ дт. (В„н=! Да Ло к азат ель с тв о.
Нам снова достаточно проверить, что условие Ляпунова (условие (10)) влечет за собой выполнение условияЛиндеберга. Но это ясно из следующей цепочки неравенств: 1 и — Х )' (х — а„)'61Еь(х) < Вх е 1 ~х са! > тв» 1 < — т — 6 х.
Х !» — аь~ ' ~Ж,(х)< Вя(тВх) х = ! ~х — ах! > тв„ х — ан~~' бра(х) Х ! е=! <— 6 Вз'6 и 257 Ч 4!. Локальная предельная теорема з 41. Локальная предельная теорема Мы приведем теперь достаточные условия для применения другой классической предельной теоремы —,!окольной теоремы. При этом мы ограничимся рассмотрением только случая взаимно независимых слагаемых, имеющих одно и то же распределение вероятностей. Условимся говорить, что дискретная случзйная величина 1 имеет решетчатое распредетение, если существуют такие числа а и й) О, что все возможные значения $ могут быть представлены в виде а + Кй, где параметр К может принимать любые целые значения ( — '< К < ' ) .
К решетчатым относятся, например, распределения Пуассона, Бернулли и др. Выразим теперь условие решетчатости распределения случайной величины й в терминах характеристических функций. С этой целью докажем следующую лемму. Л е м м а. Для того чтобы случайная величина 1 имела решетчатое распределение, необходимо и достаточно, чтобы при некотором ! ть О модуль ее характеристической функции был равен а)инице. До к а з а т е л ь с т в о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
