Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 41
Текст из файла (страница 41)
К гому же он приносит, как это видно из формулы, более ощутимые результаты; особенно, если а = О, т.е. если длительность восстановления оказывается, как правило, меньше длительности безотказной работы элемента. Предположим теперь, что мы совершенствуем процесс восстановления и на л-й стадии достигаем функции распределения е „(х) такой, что а„- О, не обращаясь при этом в О.
Докажем, что если математическое ожидание длительности безотказной работы конечно и равно а, а а„-' О, то имеет место следующее предельное соотношение: 243 1 38. Преебратоваиие Лапласа-Стилтьеса Иными словами мы докажем, что аснмптотнчески длительность безотказной работы рассматриваемой системы двух элементов имеет показательное распределение. Согласно сформулированным нами свойствам преобразований Лапласса — Стилтьеса нам следует показать, что преобразование Лапласа— аи Стилтьеса для величины — стремится к .
С этой целью преоб1ез разуем выражение .~ — -а. ( — ) Ч'и 1 — я„ следующим образом: Но очевидно, что 1 — з' .à — — Х (0) -г 10)=а (и- ). Т„ Ясно, что Гл. 7. Характеристические функции 244 Теперь / (1 е та )(1 6„(х)) с(ь"(х) '('.)- О ол о Оценим интеграл, стоящий в правой части последнего соотношения. С этой целью разобьем его на два слагаемых: ел чГ7'и ( 1 ь 1 )(1 — е т )(! — 6„(х))с(т(х). о,ут В первом слагаемом воспользуемся неравенством 1 — е " < х, а во втором — неравенством 1 — е Я ~1.
В резулыате получим, что тт. ( (1 — е т" ) (1 — бв(х))с1т(х) ~ о з ч/Т„ (1 — Ги(х)) «тт (х) = о(а„), Т„о (1 — е '" )(1 — би(х))с!1(х)< 1 (1 — бл(х))тут(х)=о(ал). ,.Гт„ ,Гт„ Собрав все оценки вместе, окончательно получаем /41 1 ~а ~ — )= -(1+ о(1)), Ти 1+т что н требовалось доказать. Уярвасяеяия 1.
Доказать, что фуикини ллт ~;ц) = В ая совьет,я= Т, ая» я=о ' а=о тдс а . Л О, аь = 1, являются яарактеристичсскиии. Определить соответ' а =о ствующие распределения вероятностей. 245 Упражнения 2. Найти характеристические функции для следуюших плотностей вероятностей: а -а !с! а) р(х) = — с 7 при (х!ва, при (х(<аг Замечание.
Внимательный читатель заметит, что примеры а) и б), а также в) и г) являются, так сказать, обратными. 3. Доказать, что функции 1 ! ! р, (г) = —, згс(г) = ра(с) = сис си с сЬ с являются характеристическими соответственно Пля плотностей распределения 4. Найти распределения вероятностей случайных величин. характеристические функции которых равны а ип аг а) соас, б) сот*с, в).
—, г) а ей ас 5. Доказать, что функция, определяемая равенствами С(г) =) (- С), Г'(Г +2а) = Г'(Г), а )'(с) =.— — - при О н г а а, является характеристической. 3 а м с ч а н и е. Характеристические функции примеров 2г и 5 обладают следуюшим замечательным свойством: )г(с) =С,(г) при !г(ка, !г()а и с Ф". 2а, 2;(с) аГ,(г) при а б) р(х) =— е(а*ах*) О в) Р(х) = и — !х! а' ах 2 оп' г) р(х) = . 2 1г ах ! р, (х) = ах 2сЬ— 2 рг(х) =. ех 4сЬ' 2 х Рз (х) ах 2зЬ --— 2 Гл.
7. Характеристические функции 244 Таким образом, существуют характеристические функции, значения которых совпадают в сколь угодно большом сегменте (- а, а) и не равные тождественно. Первый пример таких двух характеристических функций был указан Б.В. Гнеденко; затем ВБГ. Крейн указал необходимые и достаточные уссловия, при которых из раиенсзва двух характеристических функций в каком-либо сегменте ( — а, а) следует их тождественное равенство. 6. Доказать, что можно найти такие независимЫе случайные величины 1,. что распределения 1, и 1, различны, а функции распределения сумм 1, + 1, и 1, + 1, одинаковы.
У к а з а н и е. Воспользоваться результатами примеров 2а и 5. 7. Доказать, что если Е(Г) является характеристической функцией, то функция 1(Г) при ~Г ~ К а, 1'(Г) = Г(Г+ 2а) при <ГК также является характеристической. У к а з а н и е: Воспользоваться теоремой Бохнера — Хннчина 8. Доказать, что если Е(Г) является характеристической функцией, то функция (Г) 1(Г) 1 также является характеристической.
9.Доказать, что если функция Г(Г) является характеристической, то функция ! р(Г) = — )' Е(Г) гГГ Г о также является характеристической. 10. Доказать, что для любой вещественной характеристической функции Г(Г) имеет место неравенство 1 — Г(2Г) К 4(1 — Я(Г)), а, значит, для любой характеристической функции — неравенство ! — ~Г(2Г) !' К 4(1 — 1Е(Г)!'). 11. Доказать, что цля любой вещественной характеристической функции имеет место неравенство 1+ 7 (2Г) > 2(Г'(Г)! '.
12. Доказать, что если Е(х) — функция распределения, а Г(Г) — ее характеристическая функция. то прн любом значении х верно равенство 1 Т 1лп ( Г(Г)е гГГ=Е(я+О) — Е(х — О). — пх 2т 13. Доказать. что есть Е(х) — функция распределения, а Е(Г) — ее характеристическая функция и ха — абсциссы скачков Б(х), то 1 т 1Гщ — ) (Е(Г) ~ * ггг = 2: (Е'(ха + О) — Е(ха — ОЦ.
т 21'. а Упражнения 1я.доказать, что если случайная величина имеет плотность распределения, то еехарактеристическаяфункцияпри т стремится к О. 15. Случайная величина 1 распределена по закону Пуассона; й(1 = л. доказать, ( — Л что при Л распределение величины — стремится к нормальному с парахул метрами а = 0 и а' = 1. 16. Случайная величина 1 имеет плотность распределения при х<О, 0 р(х) = а Р а-1 — Дх — х е Г(а) при х>0. с( - а Доказать, что при а распределение величины сходится к нормаль- ному с параметрами а =О, о* =1.
'3 а меча ни е. Результаты упр. 15 и !6 позволяют при вычислении вероятностей р (аж( (Ь) для больших значений л соответственно а) использовать таблицы нормального распределения. В частности, оказывается, что для распределения хз уже при л и 30 указанное предельное распределение дает прекрасную точность. Это последнее замечание постоянно используется в статистике. 17. доказать, что если е(т) — характеристическая функция и функция р(т) такова, что лля некоторой последовательности (й л) (й л лри л ) произведения )н(т) = о (т) $(й ну) также являются характеристическими функциями, то функция с (т) — харак юристичесхая.
!ВА 8 КЛАССИЧЕСКАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА э 39. Постановка задачи « ний события А в и последовательных испьпаниях равно 2 рю Далее, ь =- ! « « в примере 3 325 мы подсчитютн, что М Х рь = пр и 0 Х рь = прц. ь= ! е= ! Поэтому теорема Муавра — Лапласа может быть записана в таком виде: прил— Е где-Мдь) х=! а< — — - — <Ь Ода ь=! 1 ь ) — а' /2 х/2л а и словами сформулирована так: вероятность того, что сумма укпонений независимых случайных величин, принимаюпшх два значения О и 1 с вероятностями, соответственно равными Ч и р = 1 — д (О <р < 1'), от их математических ожиданий, деленная на квадратный корень из суммы дисперсий слагаемых, будет заключаться в пределах от а до Ь, при увеличении числа слагаемых до бесконечности, равномерно относительно а и Ь стремится ь кинтеграпу — - )'е ' г~ !22.
х/2л, Естественно возникает вопрос: насколько тесно связано соотношение П) со специальным выбором слагаемых дь, не будет ли оно иметь место и при Интегральная предельная теорема Муавра — Лапласа, доказанная нами в главе 2, послужила источником большого цикла исследований, имеюших фундаментальное значение как дпя самой теории вероятностей, так и дпя ее многочисленных приложений в естествознании, технических и экономических науках. Дпя того, чтобы составить себе представление о направлении этих исследований, мы придадим теореме Муавра — Лапласа несколько иную форму.
А именно, еспи, как это мы неоднократно делали, через дь обозначиаь число появлений события А в х-м испытании„то число появле- й 39. Постановка задачи 249 более слабых ограничениях, наложенных на функции распределения слагаемых? Постановка этой задачи, а также ее решение являются в основном делом П.Л Чебьппева и его учеников А.А.
Маркова и А.М. Ляпунова. Их исследования показали, что на слагаемые следует нютожить лишь самые общие ограничения, смысл которых состоит в том, что отдельные слагаемые должны оказывать незначительное влияние на сумму. В следующем па. раграфе мы дадим точную формулировку этого условия. Причины, в силу которых эти результаты приобрели огромное значение в приложениях, лежат в самом существе массовых явлений, изучение закономерностей которых, как мы говорили ранее, и составляет предмет теории вероятностей. Одной из важнейших схем, по которой идет использование результатов теории вероятностей в естествознании и технике, состоит в следующем. Считают, что процесс протекает под влиянием большого числа независимо действующих случайных факторов, каждый из которых лишь ничтожно мало изменяет течение явления или процесса. Исследователь, интересующийся изучением процесса в целом, а не действием отдельных факторов, наблюдает лишь суммарное действие этих факторов.
Приведем два типичных примера. П р н ме р 1. Пусть производится некоторое измерение. На результат неизбежно действует больпюе количество факторов, порождающих ошибки в измерении. Сюда относятся ошибки, вызванные состоянием измерительного прибора, которое может нечувствительно изменяться под влиянием различных атмосферных или механических причин. Сюда относятся личные ошибки наблюдателя, вызванные особенностями его зрения нли слуха и также могущие незначительно изменяться в зависимости от психического или физического состояния наблюдателя, и тд.
Каждый из этих факторов породил бы ничтожную ошибку. Но на измерении скаэьюаются сразу все эти ошибки, наблюдается "суммарная ошибка'*. Иначе говоря, фактически наблюдаемая ошибка измерения будет случайной величиной, являющейся суммой огромного числа ничтожных по величине и независимых между собой случайных величин. И хотя этн последние неизвестны, так же как неизвестны их функции распределения, нх влияние на результаты измерений заметно и поэтому должно быть подвергнуто изучению. П р и м е р 2.
В процессе массового производства, Существующего во многих отраслях промышленности, изготовляются большие партии одинаковых предметов. Обратим внимание на какую-нибудь числовую характеристику интересующего нас продукта. Поскольку это изделие находится в соответствии с техническими нормами, существует некоторая нормальная величина избранной нами характеристики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
